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1、辅教导学 数学通讯2Ol4年第11、12期(上半月) 49 2014年高考四川卷理科第20题的解法赏析和推广 李 波 (四川省苍溪县红军路中段362号苍溪中学，628400) 2014年高考已经落下帷幕，笔者特别关注了 四川卷理科的第2O题： 例1(2014年四川卷理科第2O题)已知椭圆 c： + 一1(口bo)的焦距为4，其短轴的 两个端点与长轴的一个端点构成正三角形 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线z一 一3上任意一点过F作TF的垂线交椭圆C于点 P，Q (i)证明： 平分线段PQ(其中0为坐标原 点)； (ii)当 取最J、值时 丁的坐标 不难发现，该题考
2、查了考生对椭圆上的准线、 直线位置关系、以椭圆为背景证明共线等知识的 综合运用试题立足于基础，注重技能和知识交汇 的考查，凸显高考对能力的要求，本文赏析这道试 题的解法，并对试题做了进一步的推广 一、解法赏析 1(1)的解法 由题意知：2c一4，口一36，又a。一b =c ，解 得口一6，b一2，所以椭圆C的标准方程为 + 221 2(2)(i)的解法 证明07平分线段PQ，即证明三点共线，证明 三共线的方法有：向量法、任意两点所在直线的斜 率相等、两点所确定的直线经过第三点、反证 法等 解法1 设T(一3，m)，F(2，0) 当m一0时，盯与z轴重合，PQ为通径，结论 成立 当m0时，lm：
3、zmy一2设P(xl，y1)， rXmy一2 Q(xz，Y。)，联立 + 一消去z得(m。+ 3)y。一4my一2一o，则 + 2一 ， z一 ，所以z +zz一 + z一4一 ， 因为E为线段PQ的中点，所以E( ， 一c ， 由 一(一3， )，知 = (一3，m)一 ，所以0，E，T三点共线即OT平分线 m 十J 段PQ 解法2 设F(-2，O)， 当直线PQ的斜率不存在时，FT与X轴重合， PQ为通径，结论成立 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程 为Y=：=k(x+2)，显然k0，设P(x1， 1)，Q(x2， 立 。一十 ： 。，消去 +12k。z+12k 6=0， 1 一 ，
4、 2 一 )+4k- 因为E为PQ的中点，所以E( ， )一(= 墨 一 一 F F 由PQ上TF，且k0知，忌Fr一一，直线盯 庀 的方程为Y一一(z+2)，则点T的坐标为(一3， 庀 T1)，所以直线07的方程为Y一一击z，显然 宠 銎 一一 二 ，所以0，E，丁三点共线，3k 3k 1 3k 1+ 0 + 。 一 、 即OT平分线段PQ 解法3设P(x1，Y1)，Q(x ， 2)，PQ的中点 为E(z ，v ) 5O 数学通讯一2014年第1l、l2期(上半月) 辅教导学 由P、Q在椭圆上，可知吾十等一1，詈+等一 1，将两式相减得生 + =：=o，所以直线 PQ的斜 一等 1一 JL，
5、JL uy l y1， 由E为PQ的中点，可知XO= 丢 ， 。一 ，所以k尸Q一丝 一一 ，因为PQ上 Z SE2一,Z1 0Yo TF，所以k 一一3yo，设直线FT的方程为Y一 3yo( +2)，易知T(-3，一3yo) 显然是饵一kor一 ，所以o，E，丁三点共线， 即OT平分线段PQ 解法4 假设直线OT不平分线段PQ，则必 有直线OE与直线FT的交点不在直线z一一3上 设P(x。， )，Q(x：，Y：)，PQ的中点为E(z。， Yo)，则z。一 ， 。一 当z。一一2时，F丁与z轴重合，PQ为通径，结 论成立 当z。一2时，则直线PQ的斜率kP口一 ，设直线PQ的方程为Y一 (z+
6、2) n 1 n I 联立 孝 +2)，消去 可 时 I吾+等一 ， 2) +3yZox +12yZox+12y：一6(z。+2) 一0，则 -+ z一一 一2一xo， 十 一一 一 化简得3 ：一一 。(z。十2) 因为 上 ，所以志F丁一一 ，则直线 FT的方程为y一一 ( 十2) 易知直线OE和直线F丁的交点为(一3， )，显然交点在直线z一一3上，这与直线0E 和直线F丁的交点不在直线 一3上矛盾 所以0，E，T三点共线，即07平分线段PQ 评注 解法1先设T点的坐标，再将题中各 已知条件代数化，用向量法来证明三点共线；解法 2先设PQ的直线方程，将已知条件等价转化，用两 点所确定的直
7、线经过第三点的方法证明结论；解 法3先巧设中点E的坐标，再根据条件找到其余点 与E点的代数关系，用斜率相等的方法证明结论 解法4先假设OT不经过中点E，从而推出矛盾 3(2)(ii)的解法 求_广 的最小值，需分别将l F丁l、l PQ f 转化为代数式，再来求代数式的最小值 解法1 设T(一3，m)，由(2)(i)知： 当 一0时，F丁与z轴重合，PQ为通径，此时 l TF I_3 _1，f PQ l一 2b2一 以 4 当 0时，由(2)(i)易知l F，f l。一 +1， I PQ I。一(m +1)E(y +Y。) 一4y Y 将Y + z一 ， z一 m 5代入得 m。十 十 FT
8、l 一(m +3)。 =：l(m。+1+ 丌+4) 由均值不等式知 2 删 一1 一 当且仅当m 十1一_三 时等号成立，此时 十l 。一1 显然。)，则g，()一 当o1时，g ()0，g()在 (1，+。)上单调递增所以，g()在(0，+co)上 的最小值为l-g(1) i 一8，此时t一击一1，因此 I FT I： 6O) 的左焦点F，丁为其左准线上任意一点，过F作 丁F的垂线交椭圆C于点P，Q (1)OT平分线段PQ(其中0为坐标原点) (2)线段PQ的中点E的轨迹方程为 (x+2Y+j ：=】 (号) (篆 证明 (1)设T(一aA，m)，F(一c，o)，则 一 一一 n 。 D 一
9、 1- 当m一0时，盯与 轴重合，PQ为通径，结论 成立 当m0时，因为PQ上丁F，所以Z尸口：Y一 ( +c) f 一旦(z+ )， 联立 xz T yZ一 ，消去z得 ( -Jr-a2) 一2 。 一64一o 设P(x1，Y1)，Q(x2，Y2)，则Y1+Y2一 2mcz 2，所以 m 12 m 。c。十口 。 十一 为E(Xo,Yo)为线段尸Q的中点，所以Xo zl+ 一 一a 62c + 一7 。c2 一一mc2+aZb2Yo一 一一EE+b2 因为OT的方程为 一_ ，显然 丽一一 ，所以0，E，T三 m0c0+a。b 。 m c。+0b 。 一 点共线，即OT平分线段P0 (2)由
10、(1)知( ) +( Yo)z一 一aOc D c n b m。c 1 (口。b + c ) (口 b + 。c。)2 以 b +m c 又因为 ：=：=丽Xo ，所以( ) +( ) 一 一一 Xo6 ，将上式移项 配方得 + 一1 (号)2 ( ) 所以，线段PQ的中点E的轨迹方程为 型+ (号) ( )。 类比椭圆，在双曲线和抛物线中是否有类似 的结论呢?笔者经过探究，得出如下结论 结论2 已知双曲线C： 一 一1(口0，6 口。 D O)的左焦点F，T为其左准线上任意一点，过F 作TF的垂线交双曲线C于点P，Q (1)OT平分线段PQ(其中O为坐标原点) (2)线段PQ的中点E的轨迹方程为 一 一 (专) (篆)。 证明同结论1，有兴趣的读者自己完成 结论3 已知抛物线C：Y 一2px(pO)的 焦点F，T为其准线上任意一点，过F作丁F的垂 线交抛物线于点P，Q (1)OTPQ(其中0为坐标原点) (2)线段PQ的中点E的轨迹方程为 ， =p(x- 争 证明同结论1，有兴衙的读者自己完成 (收稿日期：20】406 l2)
