《数学初等几何类论文.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学初等几何类论文.doc（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 初等几何问题的证题法研究摘 要初等几何的证题法的研究是初等几何问题研究的一个重要的课题。初等几何的证题法千变万化，考虑的角度不同，所得的证明方法也就各有不同。古代埃及丰富的几何知识的积累，一经与古希腊形式逻辑相结合，便使几何学成了最早成熟的科学典范。在这里起作用的是严格的逻辑证明。只有经过严格的逻辑证明，才能使我们观察到的事物之间的联系，上升为理论并得到广泛的运用。本文就初等几何中的一些基本的几何证题法、解几何证明题的一些基本步骤以及一些常用的解几何证明题的方法进行探讨，以期望对初等几何的证题法有一个深入的认识关键词：初等几何；证题法；解题步骤；常用方法 The evidence eleme
2、ntary geometry problems method research AbstractThe evidence elementary geometry method of the research is an important hot topic in the field of elementary geometry problems.The evidence elementary geometry method is protean, considering different angles, proof of income method can vary. In ancient
3、 Egypt the accumulation of knowledge of geometry, once combined with formal logic in ancient Greece, and made the earliest mature science out of geometry model. Here is the strict logical proof Only through strict logical proof, can we observe the connection between things, to rise to the theory and
4、 widely used In this paper, some of the basic method of the geometry of the elementary geometry solving geometry proving some of the basic steps, and some of the most common methods of solving geometric certificate carries on the discussion, to expect that the evidence of elementary geometry method
5、have a deep understanding.Keywords elementary geometry; Evidence law; The problem solving steps; Commonly used method目 录第1章 绪论11.1 引言11.2 相关知识简介1第2章初等几何证题时思路及其解题步骤22.1 初等几何证明题中有关命题的研究22.2 解证明题的步骤3第3章初等几何证题时的常用方法43.1综合法43.2 分析法63.3反证法73.4面积法12第4章 几种问题的证明方法 4.1线段和角相等 4.2平行与垂直 4.3两直线平行 4.4点共线与线共点的问题 4.
6、5点共圆与圆共点结 论19致 谢20参 考 文 献21附录X 译文22附录Y 外文原文24 第一章 绪论1.1 引言 随着时间迈入21世纪的 步伐，我国进入了一个全新的电子信息化时代。在日新月异的今天，几何学的研究应用对国家经济、文化、信息产业的贡献越来越大。在现如今的大中学校教育中，数学作为一门比较抽象化的学科，学生普遍表示学习难度较大。作为数学的一个分支，几何学以形象思维为主，具有较强的直观效果，对学生认识事物有较大的提益，所以在学习几何的同时，培养这种思维方式也极其重要。 初等几何的证题法是初等几何主要研究的一方面。历史证明，如果仅仅是经验积累是远远无法成为理论的，只有经过严格的逻辑证明
7、，才能使我们从表在联系内在，从偶然发现必然，通过自我的能动性，抓住客观事物本质，上升为理论，从而得到普遍性规律性的结果，使其具有广泛的应用性。 在这篇论文中我将着重研究初等几何的集中关键证题法以及他们在数学研究以及教育里的作用，如何去引导学生爱上几何，发现隐藏在数学里的几何美。1.2 相关知识简介 几何是明代徐光启翻译几何原本时，将Geometry一词译为几何学，从其音译而来。在公元七世纪以前，几何都是用于一些生活劳动中具体问题的解答，其后当这些知识积累到一定程度的时候经过系统的整理，便开始出现了几何学。初等几何的证题法千变万化，考虑的角度不同，所得的证明方法也就各有千秋。就像宋代诗人苏东坡所
8、说横看成岭侧成峰，远近高低各不同。一般而言几何的证题法可以分为常规性方法和特征性方法。化归法、分析法、综合法、设想法、反证法、数学归纳法、解析法等属于常规性方法。特征性方法包括割补法、面积法、复数法、向量法、几何变换法、射影法、物理模拟法、构造法等。面对同一道几何证明题，看问题的角度不同，学习知识的深度不同，往往会演绎出多种证题方法。 第二章 初等几何证题时思路及其解题步骤2.1 初等几何证明题中有关命题的研究 在研究初等几何证题法时我们首先要研究命题的概念。我们所接触过的定义、公理、定理等都是命题。命题可以分为两部分，前提或者假设属于他的第一部分而结论则是第二部分。前面的代表我们的已知条件，
9、而后面的则是我们由前者得出的结论。我们以后所接触的几何证明都是根据由命题所得的定义、公理、定理通过一系列逻辑推理证明得出的。一个命题可以经过换位得出四个命题我们分别把他们归类为： （1）原命题：若则 （2）逆命题：若则 （3）否命题：若非则非 （4）逆否命题：若非则非例1：（1）原命题：菱形的对角线互相垂直 （真） （2）逆命题：若四边形的对角线互相垂直，那么他是菱形。 （假） （3）否命题：若四边形不是菱形，那么它的对角线不互相垂直。 （假）（4）逆否命题：若四边形的对角线不互相垂直，那么他不是菱形。 （真）上面的例题中（1）（2）互为逆命题（1）（3）互为否命题（1）（4）互为逆否命题（2
10、）（3）也互为逆否命题。同时我们得出以下结论：（1）若原命题为真，那么它的逆命题，否命题未必为真。（2）互为逆否的两个命题，若真则同真，若假则同假。2.2 解证明题的步骤 解证明题的步骤主要可以分为三步： 分析遇到较为困难而不能一下子找出证明方法的问题是，我们常假定结论成立，研究结论与条件所存在的关联，从而得出证明的线索，这就是分析的方法，是解决问题的重要的一步。证法根据分析的线索，按照所给出的已知条件，利用已知条件证明。证明写出证明过程。在解答证明题时，我们一定要确切理解题意，题目给了我们什么条件，要我们得出什么结论并且在初学时就要求我们简洁，明白的写出证明过程。只有这样我们才会知道从哪里出
11、发，到哪里去，然后才能谈得上去证明。 第三章 初等几何证题时的常用方法3.1 综合法在遇到一道几何证明题时，我们的推理路径从已知条件开始，一步步推导出结论，这种方法就是综合法。综合法相对于其他几何证题法而言，它的优点在于叙述比较简单明了，比较容易使人理解。而他的缺点则在于，我们在进行推理的过程中，会遇到很多支路，往往在这些之路面前我们可以应用的定理也会有很多，往往使人眼花缭乱，难以抉择。例1：已知平行四边形外接于平行四边形证明其对角线共点 我们用综合法来证明这道题，我们设和的交点是点，由平行四边形的有关性质可以得到点是的中点。有已知条件我们可以得知，有三角形的全等条件我们可以得知，由全等可以得
12、到AE=CG，AH=CF，我们可以得到AE与GC平行相等，即AECG是平行四边形，所以互相平分，所以通过中点，可证。点评：由上面这道例题我们可以了解到综合法就是充分利用已知条件，结合我们所学过的知识，通过推理可以逐步得证。例2：已知，。求证ABC是等腰三角形。证明：延长到使，连接AE。已知，所以，所以，由三角形的全等判定条件可以得知，所以，。在中，可以得到是等边三角形，所以，即是等腰三角形。3.2 分析法分析法是由结论起手，在承认结论是正确的基础上，由果索因，寻求结论正确时的所需条件，就这样一步步逆推，最后与假设会和，从而得到证题思路。分析法首先认定结论的正确性，倒推而上，容易在推理过程中启发
13、解题思路，从而得到推理依据。我们经常运用分析法来得到思路然后运用综合法来写出证题过程。例1：证明等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离之和是常量。： 证1：我们设是等腰三角形底边上任意一点，已知，我们所要证明的就是之和是一个常量。我们先取一个特殊点，若点在点的位置那么我们所求的距离之和就变成了，如果结论成立，那么我们就要证明，我们在上取一点使，同时做，因为是一个矩形，所以我们可以得到，接下来我们只要求证，我们只要求证，这很容易求证。所以当我们在证明的时候，做完辅助线，先求证，然后得到，再证明，就可以得证。点评：这是分析法与综合法的一次完美的配合应用，应用分析法来寻找解题思路，然后综合法来写出解题
14、过程，这是初等几何证题法中的一个非常常见的方法。 证2：延长到点，使，根据上题可知只要证明，此时根据条件可知是一个矩形，那么问题就可得证。那么我们就只要证，也就是证明，只要证明，此时已知，那么整道题就可以得证了。3.3 反证法反证法：欲证明命题的结论，我们可以从结论的否定出发，经过合理的推理论证，导出与命题的条件或几何中的定理，公理相矛盾的结论，从而说明结论的否定是错误的，而原命题的结论是正确的。例1证明：等腰三角形的底角必为锐角。思考方法：按照反证法的证题步骤，我们首先要否定结论，也就是否定两底角为锐角，设他的对立面两底角是直角或者钝角成立，从这个假设出发，推出矛盾。证明：假设，为直角或者钝
15、角，那么这与三角形内角和为180矛盾，所以假设不成立，所以等腰三角形底角一定是锐角。例2 已知圆的两条弦，相交于，且，不是直径。求证，必不能平分。思考方法：首先确定，CD不能互相平分的反面是能互相平分，假设反面成立进行逆推，找出矛盾，否定假设。证明：连接，假设互相平分，那么是平行四边形所以是圆的直径与题意不符得证3.4 面积法人们在很久以前就开始用面积在证明几何命题与认识几何性质。我们在求解初等几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或者面积比来表示有关几何量或者其比，从而把需要论证的几何量之间的关系转化为有关面积之间的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，我们称之为面积法
