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1、暑期特训:实数实数(一)二. 重点、难点:1. 了解平方根,算术平方根,立方根的概念,会用根号表示某些数的平方根,算术平方根,立方根2. 会求某些非负数的平方根及某些数的立方根3. 了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应4. 能用有理数估计一个无理数的大致范围三. 教学过程(一)知识要点1. 算术平方根的定义:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即xa,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,记为“”,读作“根号a”,我们规定0的算术平方根是0,即0。2. 平方根的定义:一般地,如果一个数的平方等于a, 即xa,那么这个数x就叫做a的平方根,记为“”,读作“正负根号a”。3. 平方根
2、的特性:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0,负数没有平方根.4. 开平方:求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方,其中a叫做被开方数重要提示1. 算术平方根具有双重非负性;(1)被开方数是非负数,即a0;(2)算术平方根的本身是非负数,即a0。2. 平方根与算术平方根的区别与联系:区别:(1)定义不同:“如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根”;“非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根”;(2)个数不同:一个正数的平方根有两个,它们互为相反数;而一个正数的算术平方根只有一个,且也是正数;(3)表示方法不同;正数a的平方根为;正数a的算术平方根为,特别注意:。联系:(1
3、)平方根中包含了算术平方根,算术平方根是平方根中的一个;(2)平方根和算术平方根都只有非负数才有;(3)0的平方根和0的算术平方根是其本身。典型例题例1. 下列各数有没有平方根?如果有的话,求出它的平方根和算术平方根,如果没有的话,请说明理由。(1)64 (2)0.49 (3) (5) (4)3 (5) 0 (6)2 (7) 分析:(1)要判断一个数有没有平方根,就要看它是不是负数,若是负数就没有平方根,不是负数就有平方根; (2)“平方与开方是互逆运算”是解这些题的关键解:(1)因为640,所以64有平方根,因为()64,所以64的平方根是8,即,64的算术平方根是8,即8。(2)因为0.4
4、90,所以0.49有平方根;因为(0.7)0.49,所以0.49的平方根是0.7,即0.7,0.49的算术平方根是0.7,即0.7。(3)因为(5)250,所以(5)的平方根是5,即5, (5)的算术平方根是5,即5。(4)因为390,所以有平方根,因为3的平方根是,所以的平方根是,的算术平方根是。反思:(1)求一个数的平方根时,应注意它的平方根通常用的形式来描述,不可粗心大意而丢掉“”号,它正是平方根与算术平方根的区别所在。(2)当带分数开平方时,要先把带分数化成假分数,然后再开平方,如第(7)题;当一个正数的算术平方根开平方时,要特别注意先求出3,再求出3的平方根是。例2. (1)如图所示
5、,小明想剪一块面积为25cm的正方形纸板,你能帮他求出正方形板的边长吗?(2)若小明想将两块边长都为3cm 的正方形纸板沿对角线剪开,拼成如下图所示的一个大正方形,你能帮他求出这个大正方形的面积吗?它的边长是整数吗?若不是整数,那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间? 解:(1)由于正方形的面积公式为:Sa,而(5)25,所以a5或5,但a是边长,故a5舍去,所以a5.所以这个正方形的边长是5cm。 (2)由图示可知,大正方形纸板的面积是由两个小正方形纸板剪凑而成,因此大正方形面积3+318(cm),大正方形的边长是cm(舍去)。显然不是整数。由于416,所以4;而525,所以5,因此可以估
6、计,即在整数4与5之间。反思:从本例的研究中我们可以得到启示:(1)由于正方形的边长不能是负数,因此,已知正方形面积求边长,要用它的算术平方根,而不是平方根;(2)问题2中,大正方形的面积(即两个小正方形的面积之和)是客观存在的,但表示大正方形边长的数,既不是整数,也不能化成分数,那它又是一个什么数呢?(二)知识要点1. 实数的意义:有理数和无理数统称为实数2. 实数的分类(1)按定义分类:实数(2)按大小分类:实数3. 在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义和有理数范围内的相反数,倒数,绝对值的意义完全一样。4. 实数与数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过
7、来,数轴上的每一个点都表示一个实数。重要提示1. 无理数的常见类型有:(1)所有开方开不尽的数都是无理数:如,等。(2)圆周率及一些含有的数都是无理数,如/2,2+1等。(3)像似循环,但不循环的无限小数是无理数,如0.1010010001(两个1之间依次多一个0),0.232232223(两个3之间依次多一个2)等。2. 有理数大小的比较法则,利用数轴比较有理数的大小方法仍适用于实数大小的比较。典型例题例1. 把下列各数填入相应的集合里0,3.1415926,2,0.12,1.212121,0.2020020002(两个2之间依次多1 个零)自然数集合 有理数集合 正数集合 整数集合 无理数
8、集合 分数集合 分析:对实数进行分类时,应先对某些数进行计算并化简,然后根据最后结果进行分类。解:因为1,所以自然数集合0, ,有理数集合0,2,3.1415926,1.212121正数集合,3.1415926,1.212121,/4,0.2020020002(两个2之间依次多1个零) 整数集合0,2,无理数集合,0.202002(每两个2之间依次多1个零) 分数集合3.1415926,1.212121反思:本题的易错点是把1.212121,当成无理数,把当成分数,解题关键在于认真审视各个数据,严格按照各自定义去予以判断。例2. 某位老师在讲“实数”时,画了如图所示的图形,即“以数轴的单位长线
9、段为边作一个正方形,然后以O为圆心,正方形的对角线长为半径画弧交数轴原点右侧于一点A,作这样的图是用来说明 分析:根据图得到边长为1的正方形的对角线长为,即OC,而是一个无理数,又OAOC,A所代表的是数,这说明数轴上的点可以表示无理数。解:“无理数可以在数轴上表示出来”或“数轴上的点也可以表示无理数”等。反思:本题只要涉及到“无理数和数轴上的点能对应”均为正确答案。例3. 下列说法中正确的个数是( )两个无理数的和必是无理数;两个无理数的积必是无理数;有理数与无理数分别平方后,不可能相等;无理数就是平方开不尽的数;有理数的倒数一定是有理数。A. 2个 B. 1个 C. 3个 D. 4个解:错
10、误,如+()0为有理数。 错误,如(3)6为有理数。 正确,因为有理数与无理数不相等,所以平方后也不相等。 错误,如。 错误,如0是有理数,但它不存在倒数。 故本题选B反思:判断一个说法正确,要有充分的根据,而判断一个说法不正确,也要有根据或举出反例。(三)知识要点1. 立方根:一般地,如果一个数x的立方等于a,即xa,那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做a的三次方根)。求一个数的立方根的运算叫做开立方,其中a是被开方数。 2. 立方根的表示法:如果xa,那么x,其中a是被开方数,3是根指数。 3. 立方根的特性:正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根,0的立方根是0。重要提示1. 平方根
11、与立方根的区别平方根立方根表示方法a的取值aa为任意实数特性正数的平方根有两个0的平方根是0,负数没有平方根正数的立方根是正数,0的立方根是0,负数的立方根是负数2. 立方根是本身的数有和03. 的根指数不能省略,要写在根号的左上角。典型例题例1. 判断题 (1)有理数一定有立方根 ( ) (2)27的立方根是3 ( ) (3)一个数的立方根总比这个数的平方根小 ( ) (4)若x的立方根是它本身,则x的值是1或0 ( )分析:由正数的立方根是正数,零的立方根是零,负数的立方根是负数可以判断结果。解:(1)正确,任何数都有立方根 (2)错误,27的立方根是3(3)错误,零的立方根是零,零的平方
12、根也是零(4)正确,立方根是本身的数只有和0 ( )反思:1. 当a,a的平方根为,而a的立方根不是,应为2. 当a0时,a没有平方根,而有立方根为。例2. 求下列各数的立方根(1)0 (2)343(3)0.729(4)1 (5)2解:(1)因为030,所以0的立方根是0,即0; (2)因为(7)3343,所以343的立方根是7,即7; (3)因为(0.9)30.729,所以0.729的立方根是0.9,即0.9; (4)因为1,且()3,所以1的立方根是,即;(5)因为2,且()3,所以2的立方根是,即。反思:1. 求一个数的立方根时,应注意其结果的唯一性,不要与平方根相混淆,出现8的立方根为
13、2的错误结论。 2. 当求一个负数的立方根时,不漏掉其结果前面的负号,如(2)、(3)、(5);和求平方根一样,当被开方数是带分数时,应先将带分数化为假分数再求解。例3. 求满足方程:(x3)3+1913的x的值。分析:此题只需按解方程的步骤进行解答即可。解:由(x3)3+1913 得(x3)332 (x3)364 x3 x4+3 x1一、选择题1、下列各式正确的是( )A、5 B、5C、5D、52、若一个数的平方根是它本身,则这个数是( )A、0B、1C、1D、0或13、和数轴上的点一一对应的是( )A、整数B、有理数C、无理数 D、实数4、下列命题中:(1)无理数是开不尽方的数;(2)带根号的数是无理数;(3)无限小数是无理数;(4)无理数是无限不循环小数;正确的命题有( )A、1个B、2个C、3个D、4个二、填空题1、若+0,则。2、小林家马上要装修房子,现计划用100块地板来铺设面积为36m2的客厅,则需要正方形地板的边长是