《高等数学北大版28定积分讲解学习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学北大版28定积分讲解学习（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2-8定积分,曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成,求其面积S.,1.定积分的概念,矩形面积,梯形面积,解决步骤:,在区间a,b中任意插入n1个分点,用直线,将曲边梯形分成n个小曲边梯形;,(2)近似代替,在第i个窄曲边梯形上任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,矩形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,(1)分割,(3)求和,(4)取极限.,则曲边梯形面积,解(1)分割,变力做功,在插入n个分点,设质量为m的物体沿直线运动。假定它所受的力可以表示为它到初始点的距离s的函数f(s).求物体自s=a到s=b外力所做的功W.,(3)求和,把各小区间上力f所做的功的近似值加
2、起来,即得到在区间上所做功的近似值,即,(4)取极限,令所有小区间的最大长度时,和式的极限即为变力在区间上对物体所做的功,即,定义,各小区间的度为：,并作,和式；,（称作积分和或黎曼和）.,根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述：,曲线、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积S等于函数f(x)在区间a,b上的定积分，即,如果函数f(x)在区间a,b上的定积分存在，则称函数f(x)在区间a,b上可积.,质点在变力f(s)作用下作直线运动，由起始位置a移动到b，变力对质点所做之功等于函数f(s)在a,b上的定积分，即,可以证明:闭区间上的连续函数或单调函数或只有有
3、限个第一类间断点的函数,在该闭区间上可积.(证明略),可积函数一定有界,关于定积分的概念，应注意两点:(1)定积分是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间a,b有关，而与积分变量的记法无关.即有,(2)在定积分的定义中，总假设，为了今后的使用方便，对于时作如下规定：,如果在a,b上，此时由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则定积分在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.,定积分的几何意义：,如果在a,b上，则在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.,如果在a,b上f(x)既可取正值又可
4、取负值，则定积分在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.,例利用定义计算定积分,解,将0,1n等分,分点坐标为,取,将闭区间0,1分成n个小区间:,各小区间的长度为：,注,注利用,得,两端分别相加,得,即,性质两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即,定积分的性质,设下面函数f(x)及g(x)在a,b上可积.,推论有限个函数的代数和的定积分等于各函数的积分的代数和，即,性质1,如果积分区间a,b被分点c分成区间a,c和c,b,则,性质5,性质5表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分.,性质4被积函数的常数因子可以提到积分号外.,性质3,当c在区间a,b之外时，上面表达式也成立.,证:当,时,因,在,上可积,所以在分割区间时,可以永远取c为分点,于是,当a,b,c的相对位置任意时,例如,则有,性质6,性质7,
