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1、,空间问题的有限单元法,第一节四面体单元单元分析,空间问题的有限元法，与平面问题有限元法,的原理和解题过程是类似的。即将空间结构划分为有限个单元,通过单元分析得到单元的刚度矩阵，采用刚度组集方法，形成,整体刚度矩阵，再确定等效载荷列阵，从而得到整体刚度方程,经过约束条件处理并求解方程得到问题的解。本节采用最简单,的空间单元，即四面体单元，进行空间问题的有限元分析。,一、单元划分及位移模式,采用四面体单元处理弹性力学空间问题时，首先将要研究,的空间结构划分为一系列有限个不相互重叠的四面体。每个四,面体为一个单元，四面体的顶点即为结点。这样连续空间结构,就被离散为由四面体单元所组成的有限元网格。,
2、空间问题的有限单元法,返回,图1空间四面体单元,(1),如图1所示的四面体单元，,单元结点的编码为i,j,m,n。,每个结点的位移具有三个分,量u,v,w。这样单元结点的位,移列阵可表示成：,空间问题的有限单元法,返回,单元的位移模式采用线性多项式,(2),空间问题的有限单元法,返回,其中的系数,（i,j,m,n）,V是四面体的体积，为了使V不为负值，单元的四个结点i,j,m。,空间问题的有限单元法,返回,n必须按顺序标号：在右手坐标系中，使得右手螺旋在按照i,j,m的转向转动时向n方向前进，见图1。,（3）式可以用矩阵形式表示：,(5),式中，I为三阶单位阵，N为形函数矩阵。上式即为单元结,
3、点位移和单元任意点位移之间的关系。,空间问题的有限单元法,返回,二、单元应变和应力,(6),其中,(i,j,m,n),(7),空间问题的有限单元法,返回,将（6）式代入物理方程，就得到单元的应力列阵：,(8),式中：S为四面体单元的应力矩阵，其分块形式为：,(9),空间问题的有限单元法,返回,其中,显然单元中的应力也是常量。因此，四面体单元是常应力,单元。,三、单刚矩阵,对于四面体单元，利用虚功原理，采用类似平面问题,的处理方法可以得到其单刚矩阵,(10),空间问题的有限单元法,返回,其中：Ke为单元刚度矩阵,(11),写成分块形式为,(12),空间问题的有限单元法,返回,式中子矩阵Krs由下
4、式计算,（r,s=i,j,m,n）(13),可以看出，单元刚度矩阵是由单元结点的坐标和单元材料的,弹性常数所决定的，是一个常数矩阵。,如果将空间弹性体划分为ne个单元和n个结点，再经过类似于,平面问题的组集过程，就可以得到弹性空间问题的平衡方程,(14),空间问题的有限单元法,返回,式中，为整体结构结点载荷列阵；为整体结构单元位移列阵；,为整体刚度矩阵。,整体刚度矩阵由单元刚度矩阵组集得到,(15),显然有,(16),四面体空间单元的整体刚度矩阵K同样是对称、带状、稀疏,矩阵。在消除刚体位移后，它是正定的。,空间问题的有限单元法,返回,第二节等效结点载荷,(17),1集中力的等效结点载荷,(1
5、8),其中任意结点i上的结点载荷,(19),式中，,是作用在单元e上的集中力；(Ni)c,是形函数Ni在集中力作用点处的取值。,与平面问题相似，整体结构结点载荷列阵也是通过将,作用在单元上的集中力，表面力和体积力分别等效移置到,结点后，经过组集得到,空间问题的有限单元法,返回,2表面力的等效结点载荷,(20),其中任意结点i上的结点载荷,(21),式中，是作用在单元e单位面积上的表面力。,3体积力的等效结点载荷,(22),其中任意结点i上的结点载荷,(23),式中，,是作用在单元e单位体积上的体积力。,空间问题的有限单元法,返回,2空间8节点等参单元单元,2)坐标变换,图2,二、位移插值函数与
6、几何矩阵,简记为：,三、单元刚度矩阵与等效节点载荷向量,写成矩阵形式有：,所以有：,实际应用时一般只计算上式的数值解。,单元刚度矩阵可以表示为：,将上式中的替换为则有：,进一步写成数值积分形式为：,边界连续性讨论：8节点单元为协调单元。,单元体力载荷向量可以表示为,写成高斯积分形式为,第三节轴对称问题的弹性力学基本方程,轴对称问题是弹性力学空间问题的一个特殊情况。如果弹性体的几何形状、约束以及外载荷都对称于某一轴，则弹性体内各点所有的位移、应变及应力也都对称于此轴，这类问题称为轴对称问题。在离心机械、压力容器、矿山井架等中经常遇到轴对称问题。,图4轴对称结构,轴对称问题,返回,轴对称结构体可以
7、看成由任意一个纵向剖面绕着纵轴旋转一周而形成。此旋转轴即为对称轴，纵向剖面称为子午面，如图4表示一圆柱体的子午面abcd被分割为若干个三角形单元，再经过绕对称轴旋转，圆柱体被离散成若干个三棱圆环单元，各单元之间用圆环形的铰链相连接。对于轴对称问题，采用圆柱坐标较为方便。以弹性体的对称轴为z轴，其约束及外载荷也都对称于z轴，因此弹性体内各点的各项应力分量、应变分量和位移分量都与环向坐标无关，,图4轴对称结构,轴对称问题,返回,轴对称问题,只是径向坐标r和轴向坐标z的函数。也就是说，在任何一个过z轴的子午面上的位移、应变和应力的分布规律都相同。因此轴对称问题可把三维问题简化为以（z，r）为自变量的
8、二维问题。,由于轴对称性，弹性体内各点只可能存在径向位移u和轴向位移w。此时，位移u、w只是r、z的函数，而环向位移v=0。即：,（5-1）,返回,轴对称问题,轴对称问题的物理方程可写为：,（5-2）,其中：D为轴对称问题弹性体的弹性矩阵,返回,第二节单元分析,由于轴对称性，我们只需分析任意一个子午面上的位移、应力和应变情况。其有限元分析计算步骤和平面问题相似。首先进行结构区域的有限元剖分。采用的单元是三角形、矩形或任意四边形环绕对称轴z旋转一周而得到的整圆环，通常采用的单元是三角形截面的整圆环。在单元类型确定之后，单元剖分可以在子午面内进行，如图5-1表示的abcde子午面被分割为若干个三角
9、形，绕对称轴z旋转后即形成若干个三棱圆环单元。,轴对称问题,一、单元剖分及位移模式,返回,这样，各单元在子午面rz平面上形成三角形网格，就如同平面问题中在xy平面上的网格一样。采用位移法有限元分析，其基本未知量为结点位移。单元的结点位移列阵如下：,r,轴对称问题,相邻的单元由圆环形的铰链相连接。单元的棱边都是圆，故称为结圆。每个结圆与rz平面的交点称为结点。,如图5中的i,j,m点。,返回,轴对称问题,（5-3）,对于每一个环形单元，需要假定其位移模式。仿照平面三角形单元，取线性位移模式,类似于平面三角形单元的推导，即将单元的结点坐标及结点位移代入式（5-4）中,可以解出六个待定系数。再将这些
10、待定系数回代到式（5-4）中，就可以得到由结点位移和形函数所表示的单元内任一点的位移表达式,（5-5）,（5-4）,返回,轴对称问题,其中形函数,（5-6）,而,（5-7）,（5-8）,（5-9）,（5-10）,返回,轴对称问题,（5-5）式也可以写成矩阵形式,(5-11),其中：I为二阶单位矩阵,因此，形函数矩阵的表达式为,返回,轴对称问题,二、单元应变与应力,为了将单元任意点的应变和应力用结点位移表示，可按以下步骤推导。,将式（5-5）代入轴对称问题的几何方程，便得到单元体内的应变，即,（5-12）,返回,轴对称问题,式中,（i，j，m）,上式可简写成,（5-13）,其中B为三角形断面环元
11、的应变矩阵，它可写成分块矩阵形式B=BiBjBm,（i，j，m）,返回,轴对称问题,可以看出，单元中的应变分量，都是常量，但是环向应变不是常量，而是坐标r和z的函数。为了简化计算和消除由于结点落在对称轴上使r=0而引起的计算溢出，通常采用单元的形心坐标值来近似代替（5-12）中的r，z值，即令,于是,有限元网格确定后，各单元的就是定值。这样就可以把轴对称问题的各单元看成是常应变矩阵，所求得的应变是形心处的应变值。当轴对称结构的单元划分比较小时，这种近似所引起的误差是很小的。特别当结构上各单元的形心离Z轴较远时，产生的误差就更小了。,返回,轴对称问题,单元的各应力分量可通过将式（5-12）代入轴
12、对称问题的物理方程得到,（5-14）,式中：S是三角形截面环形单元的应力矩阵。它的子矩阵为,返回,轴对称问题,其中,从（5-14）式可知，只有剪应力在单元中是常数，而其他三个正应力在单元中都不是常数，与坐标r和z有关。同样采用形心坐标和来代替，每个单元近似地被当作常应力单元，所求得的应力是单元形心处的应力近似值。,返回,轴对称问题,三、单元刚度矩阵,运用虚功原理来求导轴对称问题结构上任何单元的刚度矩阵。单元在结点力的作用下处于平衡状态，结点力列阵为,假设单元e的三个结点的虚位移为,单元任一点的虚位移为,单元的虚应变为,（5-15）,（5-16）,返回,轴对称问题,根据虚功原理，三角形断面形状的
13、单元体所吸收的虚应变能等于单元结点力所做的虚功,（5-17）,上式等号左边为单元结点力所作的虚功，与平面问题不同的是这里所说的结点力是指作用在整个结圆上的力，等式右边是指整个三角形环状单元中应力的虚功。,将（5-14）式和（5-16）式代入（5-17）式，则得,（5-18）,返回,轴对称问题,由于虚位移列阵是任意给定的，所以有,式中，就是单元刚度矩阵,写成分块形式，则为,（5-19）,（5-20）,（5-21）,返回,轴对称问题,其中每个子矩阵为,在轴对称问题中，矩阵B不是常数而是坐标r,z的函数，所以（5-22）式的积分运算比平面问题要复杂得多。为了简化计算仍取单元形心的坐标代替矩阵B中的坐标r,z，得到一个近似的单元刚度矩阵。此时，（5-22）式可以写成,（5-22）,（5-23）,上式也可以写成,（5-24）,返回,
