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1、一个圆过定点问题的探究和推广已知圆的方程为,直线过定点且与圆相切.(1)求直线的方程;(2)设圆与轴交与两点,是圆上异于的任意一点,过点且与轴垂直的直线为,直线交直线于点,直线交直线于点.求证:以为直径的圆总经过定点,并求出定点坐标. 解:(1)省略;(2)对于圆方程,令,得,即.又直线过点且与轴垂直，直线方程为.设，则直线方程为解方程组,得同理可得,以为直径的圆的方程为， 又，整理得， 若圆经过定点,只需令,从而有,解得，圆总经过定点坐标为.备注:本题是09年江苏省苏北四市(徐州、宿迁、淮安、连云港)第三次调研考试第17题)笔者对命题者提出的参考解法不是很认同,参考解法中引进的参数不太合理,
2、导致后期定点的出现不自然,同时完全掩盖了该问题的几何背景.对此,笔者给出了如下的改进解法:解:设直线的斜率分别为,则直线,令,则,直线,令,则,以为直径的圆的方程为,即令,则.即以为直径的圆总经过定点坐标为. 从上述的改进解法中,我们注意到,由点在圆上运动而生成的两个动点始终满足一个不变的条件,即它们纵坐标的乘积始终为定值.记以为直径的圆与轴的交点为,则由圆的相交弦定理可得到结论:,易知,点即为以为直径的圆经过的定点.由此,我们不难发现,此类圆过定点的问题是根据圆的相交弦定理来命制的.将问题一般化后,即可得到如下的命题:命题1:已知圆与轴交与两点,垂直于轴的直线过定点,是圆上异于的任意一点,若
3、直线交直线于点,直线交直线于点,则以为直径的圆总经过定点.证明:设直线的斜率分别为,则直线,令,则,直线,令,则,即设以为直径的圆与轴的交点为,则由圆的相交弦定理可得,所以即为以为直径的圆经过的定点.在得到圆的优美结论后,我们自然会产生联想,圆锥曲线也有这样的优美性质吗?笔者经过探究,得到如下的一组命题:命题2:已知椭圆与轴交与两点,垂直于轴的直线过定点,是椭圆上异于的任意一点,若直线交直线于点,直线交直线于点,则以为直径的圆总经过定点.证明:设直线的斜率分别为,则直线,令,则,直线,令,则,即设以为直径的圆与轴的交点为,则由圆的相交弦定理可得,所以即为以为直径的圆经过的定点.特别地,当时,以
4、为直径的圆经过椭圆的右焦点.命题3:已知双曲线与轴交与两点,垂直于轴的直线过定点,是双曲线上异于的任意一点,若直线交直线于点,直线交直线于点,则以为直径的圆总经过定点.证明:设直线的斜率分别为,则直线,令,则,直线,令,则,即设以为直径的圆与轴的交点为,则由圆的相交弦定理可得,所以即为以为直径的圆经过的定点.特别地,当时,以为直径的圆经过椭圆的右焦点.命题4:已知抛物线,垂直于轴的直线过定点,是抛物线上异于的任意一点,点在直线上的射影为点,直线交直线于点,则以为直径的圆总经过定点. 证明:设,则直线,令,则,所以设以为直径的圆与轴的交点为,则由圆的相交弦定理可得,所以即为以为直径的圆经过的定点.特别地,当时,以为直径的圆经过抛物线的焦点. 4
