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1、2020全国硕士研究生入学统一考试数学一全国硕士研究生入学统一考试数学一真真题详解题详解一、选择题：一、选择题：18小题，每小题小题，每小题4分，共分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）当x0时，下列无穷小量中最高阶是（）（A）0 xet21dt（B）0 xln1t2dt（C）sin20sinxtdt（D）1cos20sinxtdt【答案】（D）【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。（A
2、）222011xtxedtex（B）220ln1ln1xxxtdt（C）sin2220sinsinsinxxxtdt（D）1cos32201sinsin(1cos)sin2xxxxtdt经比较，选（D）（2）设函数fx在区间1,1内有定义，且0lim0,xfx则（）（A）当00limxfxx时，fx在0 x处可导。（B）当20lim0 xfxx时，fx在0 x处可导。（C）当fx在0 x处可导时，00limxfxx。（D）当fx在0 x处可导时，20lim0 xfxx【答案】（C）【解析】当fx在0 x处可导，且0lim0 xfx，则有00f，0()lim0 xfxx（fx为x的高阶无穷小量）
3、，所以00limxfxx，选（C）。（3）设函数,fxy在点0,0处可微，0,00,00,1fffnxy（），非零向量n与垂直，则（）（A）22,0,0,0limxynxyfxyxy存在（B）22,0,0,0limxynxyfxyxy存在（C）22,0,0,lim0 xyxyfxyxy存在（D）22,0,0,0limxynxyfxyxy存在【答案】（A）【解析】由题意可知，2222(,)(0,0)(,)(0,0)(0,0),(0,0),1,limlimxyxyxyffxyfxynxyfxyxyxy22(0,0)(,)0)(0,0)(0)(0,0)(0,0),lim00yxxyyxffffxyy
4、x，由于函数,fxy在点0,0处可微，所以22(,)(0,0),0limxynxyfxyxy，选（A）。（4）设R为幂级数1nnnax的收敛半径，r是实数，则（）（A）当221nnnar发散时，rR（B）221nnnar发散时，rR（C）当rR时，221nnnar发散（D）当rR时，221nnnar收敛【答案】（A）【解析】因为R为幂级数1nnnax的收敛半径，所以R为幂级数221nnnax的收敛半径，当221nnnar发散时，由阿贝尔定理得rR，选（A）。（5）若矩阵A经初等变换化成B,则（）（A）存在矩阵P，使得PAB（B）存在矩阵P，使得BPA（C）存在矩阵P，使得PBA（D）方程组0A
5、x与0Bx同解【答案】（B）【解析】由题意可知，对于矩阵A进行列变换得到矩阵B，则存在初等矩阵12,tQQQ，使12tAQQQB，则112tABQQQ，即ABP，选（B）。（6）已知直线22211112:xaybcLabc与直线33322222:xaybcLabc相交与一点，法向量1,2,3,iiiiabic，则（）（A）1a可由23,aa线性表示（B）2a可由13,aa线性表示（C）3a可由12,aa线性表示（D）123,aaa线性无关【答案】（C）【解析】设交点为000(,)xyz，则020202111xaybzckabc，030303222xaybzclabc，所以01223012230
6、1223;xakaalaybkbblbzckcclc，从而有312(1)kl，选（C）。（7）设,ABC为三个随机事件，且1,4PAPBPC0,PAB112PACPBC,则,ABC中恰有一个事件发生的概率为（）（A）34（B）23（C）12（D）512【答案】（D）【解析】设,ABC中恰有一个事件发生的概率为p，则()()()pPABCPABCPABC，,()0()0ABCABPABPABC，()()()()111()()()()=4126PABCPABCPAPABCPAPABPACPABC；)()()(111=)()()()6124CPBAPBCPBAPABCPABCPBCPABPB；)()
7、()(121=)()()()12124BPCAPCBPCAPABCPABCPBCPACPC；代入，可得5111121266p.（8）设12100,XXX为来自总体X的简单随机样本，其中1012PXPX，()x表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得100155iiPX的近似值为（）。（A）1(1)（B）(1)（C）1(0.2)（D）(0.2)【答案】（B）【解析】由题意可知，1()2EX，1()4DX，10011501002iiXE，10011100254iiDX，利用中心极限定理可得10010011505550(1)552525iiiiXPPX。选（B）二、填空题：二、填空题：914小题
8、，每小题小题，每小题4分，共分，共24分，请将答案分，请将答案写在写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.（9）011lim1ln1xxex=_.【答案】1【解析】由题意可知，00ln1111limlim1ln11ln1xxxxxxeexex222000ln11ln11limlimlimxxxxxxxxexxxexxx01111lim12222xxex(10)设2211)ln(xtytt，212tdydx_.【答案】2【解析】22211111tdytdytdtdxtdxtttdt22dydx22321111dttdtdyttdxdtttdx2221dytdx(11)若函数()fx满足()()()
9、0(0)fxafxfxa，且(0),(0)fmfn，则0()fxdx=_.【答案】nam【解析】由题意可知，特征方程为210rar，24a，因为0a，所以进行如下讨论：1）当2a时，方程有两个负实根，即121212(),rxrxfxCeCeCC为任意的常数，此时，000()()()()()namfxdxfxafxdxfxafx；2）当02a时，方程有共轭复根，即222212144()cossin,22axaafxeCxCxCC为任意的常数，此时，000()()()()()namfxdxfxafxdxfxafx；3）当2a时，方程有两个相等的负实根，即1212(),xfxCCxeCC为任意的常数
10、，此时，000()()()()()namfxdxfxafxdxfxafx；故0()fxdxnam(12)设函数20,xyxtfxyedt则21,1xxy_.【答案】4e【解析】由题意可知，20(,)xyxtfxyedt，令2xtu，得32011(,)2xyufxyeduxu，则23232323233203233223311;24331122224xyuxyxyxyxyfyexeduxufxyyeexyexxyxy，故2(1,1)4fexy。（13）行列式110110011110aaaa_.【答案】424aa【解析】01100101011110111110110aaaaaaaaaaaa23201
11、222112aaaaaaaaaa424aa（14）设X服从区间(,)22的均匀分布，sinYX，则(,)CovXY_.【答案】2【解析】由题意可知，1(,)()0()220 xExfxother，则cov(,)cov(,sin)(sin)()(sin)XYXXEXXEXEX，其中2212(sin)sinEXXxxdx，故2cov(,)cov(,sin)(sin)()(sin)XYXXEXXEXEX。三、解答题：三、解答题：1523小题，共小题，共94分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.（1
12、5）（本题满分10分）求33,8fxyxyxy极值【答案】极小值为111(,)216612f【解析】由题意可知，223,24ffxyyxyx；令2230240fxyxfyxy，解得2112106,0112xxyy再有222226,1;48fffxyxxyy，得2221(0,0)1(0,0)1(0,0)220,1,0fffABCxxyy；11(,)612222211112222(,)(,)61261241,1,fffCBAyxyx因为22111222210,30,10ACBACBA且，所以(0,0)不是极值点，11(,)612为极小值点，极小值为111,)(216612f.（16）（本题满分10
13、分）计算曲线积分2222444xyxyIdxdyxyxy，其中I是曲线22:2Lxy，方向为逆时针方向。【答案】【解析】由题意可知，补线2221:4Lxy，0，且任意小，方向是顺时针，则12222444LLxyxyIdxdyxyxy122222222444444LDxyxyxyxydxdydxdyxyxyxyxy12211(4)()2LDxydxxydydxdy。（17）（本题满分10分）设数列na满足11a，11(1)2nnnana（，证明：当1x时，幂级数1nnnax收敛，并求其和函数。【答案】2()21Sxx【解析】由题意可知，1121limlim1nnnnnaxxxna，故当1x时，幂
14、级数1nnnax收敛。因为11a，11(1)2nnnana（，所以02a。令1()nnnaxSx，则1110011011011()1211221()()12nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSxanxanxanxxanxaxxanxaxaxSxSx，即1(1)()()12xSxSx，解微分方程，得()21CSxx。由(0)0S，得2C，故2()21Sxx。（18）设为曲面2222(14)xyxyz的下侧，()fx是连续函数，计算)()2()2()zdxdyzfxyxdzdxyyfxyydydzxIxfxy。【答案】143【解析】由题意可知，22222222()2)()2)()()1)(
15、)2)()2)143DDxfxyxydydzyfxyyxdzdxzfxyzdxdyIyxxydxdyfxyyfxyyxxfxyxyxyxyxydxdy（19）（本题满分10分）fx在0,2上具有连续导数，(0)(2)0ff，,0,2maxxfxM，证明（1）0,2，使得Mf；（2）若0,2x，()fxM，则0M.【证明】（I）由题设，fx在0,2上连续，且0,2maxxfxM.若0M，则结论必成立。若0M，则00()(0,2),Mfxx使.若001,x由拉格朗日中值定理，可得000000()()(0)(),(0,)(0,2)0fxfxfMfMxxxx.若012,x由拉格朗日中值定理，可得000
16、000()(2)()(),(,2)(0,2)222fxffxMfMxxxx.(II)根据第一问，00(0,2),()xfxM使，则000000000000222000(),(1)()(0)()()()(2),(2)(2)()()()xxxxxxfxdxMdxMxfxffxMfxdxfxdxMdxMxffxfxMfxdx由式（1）则0(1)0Mx，由式（2）则0(1)0Mx。显然若01x，则0M。若01x，且()fxM，则11002211()()(1)(0)(1)()()(2)(1)(1)fxdxMfxdxfffMfxdxMfxdxfffM故(),(0,1)(1,2)fxMx，即()fxM。若0,M则()fx不连续，这与题设矛盾，故0M.（20）（本题满分11分）设二次型22121122,44fxxxxxx经正交变换1122yxQyx化为二次型22121122,4gyyayyyby，其
