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1、实变函数论实变函数论 实变函数论实变函数论实变函数论实变函数论 第18、19讲 第五五章积 分 理 论积 分 理 论 （一）（一）L积分与L可积概念的建立及L积分的基本性质 一、勒贝格积分建立方式简介一、勒贝格积分建立方式简介 1、勒贝格积分的勒贝格积分的非非勒贝格式的建立方式勒贝格式的建立方式 2、勒贝格积分的勒贝格积分的勒贝格式的建立方式勒贝格式的建立方式 1、非勒贝格式的建立方式1、非勒贝格式的建立方式 （1）非负简单函数的Lebesgue积分（1）非负简单函数的Lebesgue积分 1 ( ), ( )( ) kkk n kkk E k f xc x EEE ELf xdxcmE =
2、= = ? n k=1 设,(k=1, ,n)为上 的 简 单 函 数 可 测 ， 相 互 不 交 ， 则 ( ) ( )f xE fL E 若积分值，称在 上 勒贝积，记做可格 有限( )(0,1),( )( )0D xLLD x dx= 0,1 例1：且 （2） 非负可测函数的Lebesgue积分（2） 非负可测函数的Lebesgue积分 0( )( ) ( )( )sup( )( ):( ) EE xfx Lf x dxLx dxxE = 为上的简单函数 （3） 一般可测函数的勒贝格积分（3） 一般可测函数的勒贝格积分 ( )( )( )( ) EE Lfx dxLfx dx + 若与至
3、少一个有限，( ) ( )( )( )( )( ) EEE Lf x dxLfx dxLfx dx + = 用上述思想、方式引进勒贝格积分的教 材很多。如： 【1】 用上述思想、方式引进勒贝格积分的教 材很多。如： 【1】周民强周民强 实变函数 【2】 实变函数 【2】郑维行 王声望郑维行 王声望 实变函数与泛函分析概要（上册） 【3】 实变函数与泛函分析概要（上册） 【3】钱佩玲、柳藩钱佩玲、柳藩实变函数论实变函数论 2、勒贝格积分的勒贝格式的建立方式2、勒贝格积分的勒贝格式的建立方式 (1)集上有界函数的勒测度有限贝格积分 2非负函（ ）测度有限集上的数勒贝格积分 (3)上非负函数的勒一般
4、可测集贝格积分 (4)一般函数一般可测集上的勒贝格积分 类比 推广 R积 分 R积分R积分积分区间积分区间长度有限长度有限，被积，被积函数有界函数有界 （1）测度有限集上有界函数的L积分（1）测度有限集上有界函数的L积分 1）几个概念：）几个概念： a) 集合E的可测分划集合E的可测分划： 1 , m n ii i EREEE = =设若， 互不相交、可测 12 ,., m E EEE称为 的一个可测分划 1 m i i EE = 或称为 一个可测分划 类比定积分中 a,b的 分割 b) 集合E可测分划的加密（细）b) 集合E可测分划的加密（细）： 1 (1) 1 :, m i i A EE
5、= =若 2 (2) 1 : m i i B EE = = 12 (1)(2) 11 :()AB mm ij ij D EEE = = 则为 、 的加细 类比定积分 分割的加细 c)可测集E上有界函数c)可测集E上有界函数 ()fx 的小和与大和的小和与大和 11 (),() mm iiii ii s DbmES DBmE = = 1 :,inf ( ),sup ( ) i i m iii x E x E i D EEbf xBf x = = 令 类比定积分 的大、小和 1 , ,|1,2,., ii Ea bxxin =的分割： 121 ,( ,.,(, n ax xxb 不是可测分划不是可
6、测分划 是是 1引理引理1 ）E的 可测分划加细，大和不增，小和不减；的 可测分划加细，大和不增，小和不减； inf (,)( )( )L sup (,)( )( )L D E D E S D ff x dxf xE s D ff x dxf xE = = d) 称为在上的积分 称为在上的 上 下积分 * * D D SS * D D 设E的两个分划D比D更细，则ss * * ii) D S D 对于任意两个分划D 和D，均有s iii) sup ( ,)inf ( ,) D D s D fS D f大和有下界，小和有上界，而且 类比定积分 的Darboux上下积分 e）测度有限集上有界函数的
7、勒贝格积分定义）测度有限集上有界函数的勒贝格积分定义： ,( )mEf xE +设在 上有界. ( )( ) EE fx dxfx dxA = 若 ( )LL( ) E Af xEf x dxA= 称 为在 上的 积分，记做（ ） ( )L( )Af xEfL E+因这里： ，所以称在 上 可积，记做 L可积 充要条件 L积分 存在 ,( ) n ERmEf xE = 的可测分划 ， 使得其中 ,( )mEf xE +（程版108设在）定理2上有界 ( )f x在E上勒贝格可积( )f x在E上勒贝格可测 2）测度有限集上有界函数）测度有限集上有界函数L可积的可积的两个两个充要条件：充要条件：
8、 （2）测度有限集上非负函数的勒贝格积分）测度有限集上非负函数的勒贝格积分 ,( )mEf xxE +设0， 对任意正整数m，做m截断函数对任意正整数m，做m截断函数 ( ),( ) ( ) ( )min ( ), ,1,2,. ,( ) mm f xf xm fxf xf x mm mf xm = ( ) m fx则函数列的性质: ( )( ), mm fxfxmmi) 有界: 123 ( )( )( )( ) m fxmf xfxfx?ii) 关于 递增: lim( )( ), m m fxf x xE =iii) 0 xE事实上, 0 (),f x= +若 0 ,() m mfxm=则对
9、有 0 + = ()f x 0 (),f x +若 0 ,()Mf xM=从而时 lim ( )0 m Em f xdxAA = + 总有存在,且 ( )m E f xdxm 为关于 的单增的广义数列 lim ( )( )E( ) m Em f xdxAf xf x dxA = E 称为在 上的勒贝格积分，记为 0A+若( )Ef x称在 上勒贝格可积 ( )m E f xdx ( )m E f xdx 则存在 ( )f xE在 上可测 利用已有的利用已有的（1）测度有限集上有界函数的）测度有限集上有界函数的L积分积分的概念，考虑的概念，考虑 ( )mf xE在 上可测 L积分存在 充要条件
10、是f 可测 （3）一般可测集上非负函数的勒贝格积分）一般可测集上非负函数的勒贝格积分 ,E对点集用测度有限的一列可测集来逼近,即 ( )0,f xxE设mE + , mm mEEK=对令(0, ) m Kx dxm=其中 m E则的性质: mmm EEK + nn EE E f dxf dx =+ 11 (|( )|)(|( )|) n nn Ef xEf xnE = = + =证：证： , E nf dx 0mE f= ( |( )|)0mE xf x = + =所以 n E f dx 1 n E mEf dx n 当m有 0( ), m fxmxE + 而 ,0( ) 2 m E a Nf
11、xdx + 当m有 此示：此示：任意任意改变零集改变零集上的函数值，上的函数值，不不影响函数的影响函数的可积性可积性与与积分值积分值 4、证明：零集上任意函数都、证明：零集上任意函数都L可积，且积分值等于可积，且积分值等于0 0,m mE= 矛盾，证毕。 . .fg aeE=证：设于 00 ( ),(),()fL EfL EEfL E若则 5、几乎处处相等的函数，其可积性与积分值相同、几乎处处相等的函数，其可积性与积分值相同 且积分值同。且积分值同。 0 00 L (),() E E fg gL EEgL E 在与 相等 零集上任意函数 可积 ( )gL E 积分区域的可加性 000 ,EE mEfg xEE =0, 6、可测函数可积的充要条件是绝对可积、可测函数可积的充要条件是绝对可积 ( )|( )fL EfL E即： 证： ( ),( )fL EffL E + 分析： |( ),| EEE fL Ef dxf dxf dx + =+ + 设即 EEEEE f dxf dxf dxf dxf dx + = 所
