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1、第十七章 实数 回顾与反思教学目标（）知识目标1用对比的方法复习概念2.熟练实数的运算（二）能力目标1引导学生梳理和归纳本章内容，把本章的学习内容纳入学生自己的知识体系2.通过典型问题的分析，对重点知识有进一步的认识.（三）情感目标通过介绍我国古代数学家刘徽及祖冲之关于圆周率的研究成果,对学生进行爱国主义教育.教学重点1 无理数、实数 概念的理解2 实数的运算教学难点 无理数的概念的理解教学过程一、课前布置1.阅读P121P122回顾与反思，自己尝试着归纳本章的内容. 整理出本章的难点、重点，找出自己的疑点，盲点，出错点.2.查阅“圆周率”有关资料圆周率趣闻在日常生活中，人们经常与打交道。自行
2、车、汽车的轮胎是圆的，茶杯口是圆的，天上的月亮看起来也是圆的，圆的周长与直径之比是一个常数，这个常数就是。当代数学大师、著名的美籍华裔数学家陈省身教授感慨道：“这个数渗透了整个数学！”有的数学家甚至说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展的一面旗帜。”中华民族历史上对圆周率的研究，有着卓越的成就，曾一度领先于世。根据历史学家的考证，早在夏代以前原始部落时期，我国就有圆形的建筑物和器皿。在中国最早的算书周髀算经(公元前2世纪)里，已经指出了“圆径一而周三”(即=3)。西汉末年、王莽命刘歆(公元前50-23年)制定度量的新标准，根据推算，他所用的圆周率有3.1
3、547，3.1992，3.1498，3.2031等几个值，而没有统一的标准，但已经比径一周三更进一步了。东汉张衡(公元78-139年)认为=3.1623，比印度、阿拉伯数学家算出同样结果约早500年。三国魏景元四年(公元263年)，数学家刘徽在整理九章算术一书时，提出了“割圆术”。他从圆内接六边形算边，令边数一倍一倍地增加，逐个算出六边形、十二边形、二十四边形、四十八边形、九十六边形、一百九十二边形周长与直径的比值，得到了的近似值为3.14。他还特别声明：“此率尚微少”，意思是这只是的不足近似值。刘徽对的推算，是对人类的一大贡献。后人为了纪念他，就把=3.14这个数值叫做“徽率”。到了南北朝，
4、伟大的数学家祖冲之(公元426-500年)对的推算，达到了空前的高峰，他算出3.14159263.1415927。在世界上，计算圆周率精确到小数点后七位的，祖冲之是第一人，后人称之为“祖率”。“祖率”这个纪录保持了近一千年，后才被16世纪的阿尔卡西(AlKashi)打破。祖冲之还同时得出了的分数形式的近似值：约率是，密度是。这两个分数，是分母小于7和113的一切分数中，最接近值的最佳分数，德国人奥托(Valentius Otto)在1573年才获得这个值。在现在，利用计算机已经把的值算到了小数点后几十万位了。是一个什么样的数呢？是一个无限不循环的小数。也就是说，是一个无理数。法国数学家勒让德(
5、Legendre，1752-1833)曾猜测说：“不是有理系数方程的根”。后来，人们把有理系数方程的根称为代数数，不是代数数的叫做超越数。这样，所有的有理数和一部分无理数是代数数。勒让德的猜测实际上说是一个超越数。在高等数学里，抽象地证明超越数的存在性，并不十分困难。但具体地证明某一个特定的数，例如和e是超越数，在历史上是一件十分困难的事情。e=2.718，也是一个无理数，常用来作为对数的底数，这种对数称为自然对数。1873年，法国数学家埃尔米特(Hermite，1822-1901)给出了e是超越数的证明，但他认为证明的超越性更为困难。他在给友人的信中写道：“我不敢试着证明的超越性。如果其他人
6、承担这项工作，对于他们的成功没有比我更高兴的人了。但请相信我，我亲爱的朋友，这决不会不使他们花去一些力气。”1882年，英国数学家林德曼(F.Lindemann，1852-1939)证明了是超越的，从而解决了一些几何作图问题。关于，有许多形式美观、俊俏的公式，例如=2；=1+特别值得一提的是，当代著名的数论专家Atle Selberg(1917-)曾经说，他喜欢数学的一个动机，是以下公式：=1-+大家看，这个公式多美呀！=3.1415926又是一个神秘的数字。有人发现，的前1位小数、前3位小数、前7位小数和分别是前1个自然数、前3个自然数、前7个自然数之和。1=1；1+4+1=1+2+3=61
7、+4+1+5+9+2+6=1+2+3+4+5+6+7=28。这真是惊人的巧合！的前6个有效数字314159是一个素数，也是一个逆素数(倒过来读951413也是一个素数)。314159的补数是796951(互为补数是指两个数的对应数位上的数字之和等于10)，它也是一个素数！有趣的是，把前6个有效数字分成三个两位数：31、41、59，这三个数都是孪生素数中的一个(孪生素数是指相差为2的两个素数)：29与31，41与43，59与61是三对孪生素数。深入研究，还会发现一些奇特的现象。例如，的小数点后从13位数字开始，连续的十八个数字具有相当的对称性：其中79，32，38是关于26对称的。79，32，3
8、8这三个数的所有数字之和7+9+3+2+3+8=32.32是一个很特殊的数，一系列现象可以与它联系起来：水在华氏32结冰，水晶体分32类，人的牙齿有32颗，32个电子可充满原子的第四级轨道，基本粒子有32种长命粒子， 这又是惊人的巧合！更有趣的是，的小数点后一百个数字：=3.1415926535897932384626433832795028841971 6939931510582097494459230781640628620899 86280348253421170679有人把它谱成了曲子，演奏起来还蛮悠扬动听呢！二、教学过程典型例题（鼓励学生讲解教师提供的例题.例题的设置是分层的，安排不
9、同基础的学生尝试讲解，教师予以补充）(一)无理数、实数概念的理解（概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数）1下列各数、,其中无理数的个数是 ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 42一个长方形的长与宽分别时6、3，它的对角线的长可能是 ( )A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 无理数3.下列说法中不正确的是 ( )A. 的立方是，的平方是. B. 两个有理之间必定存在着无数个无理数.C.在1和2之间的有理数有无数个，但无理数却没有.D. 如果，则一定不是有理数.4.下列语句中正确的是 （ ）A. 任意算术平方根是正数 B. 只有正数才有算术平方根 C. 因为3的平方是9，所
10、以9的平方根是3 D. 是1的平方根5.的绝对值等于（）ABCD解： 1. 2.3. C 4.D5.C(二)实数的运算1.设，用含的式子表示，则下列表示正确的是（）2.有一个数值转换器，原来如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）取算术平方根输出y是有理数是无理数输入xA.8 B.C. D.3(06枣庄)下列计算正确的是( ) A . B. C. D.4. 可以借助计算器探究下列几道题的计算结果，则_5.如图面积为30cm2的正方形的四个角是面积为2cm2的小正方形，现将四个角剪掉以后，制作成一个无盖的长方体，求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到0.1cm） 解：1. 2. B 3
11、. A 4. 5.解：因为小正方形的面积是2cm2，所以小正方形的边长为cm,所以长方体的底面边长为（）2.6 cm，高为1.4 cm.三、补充练习作业：P123125习题第十七章实数整章水平测试一、选择题（本大题共10个小题；每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列各数、,其中无理数的个数是 ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 42一个长方形的长与宽分别时6、3，它的对角线的长可能是 ( )A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 无理数3.下列运算中，不是总能进行的是（）A平方 B立方 C开平方 D开立方4.下列说法中不正确的是 ( )A. 的
12、立方是，的平方是. B. 两个有理之间必定存在着无数个无理数.C.在1和2之间的有理数有无数个，但无理数却没有.D. 如果，则一定不是有理数.5.已知一个正方形的边长为，面积为，则 （ ）A. B. 的平方根是 C.是的算术平方根D. 6.下列语句中正确的是 （ ）A. 任意算术平方根是正数 B. 只有正数才有算术平方根 C. 因为3的平方是9，所以9的平方根是3 D. 是1的平方根7下列运算中，错误的有 （ ），A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8.若，则的平方根是 （ ）A. B. C. D. 9.如果3k，那么k的取值范围是（）Ak3Bk3C0k3Dk为任意数10若、为实数，且，则的值为 （
