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1、天然肠衣搭配问题摘要本文针对天然肠衣原料的搭配方案进行设计，充分考虑最优化原则，在满足搭配方案具体要求同时兼顾效率的情况下，设计线性规划模型，并借助软件Lingo求解出最理想的捆数与搭配方案。对于题目给出的五个具体要求，我们经过分析之后将其划分优先级，逐层递进地找出答案。首先我们将条件（1）设为最优先条件即对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好。在此基础上，条件（2）的优先级次之。对于条件（3）和（4），我们经过讨论后认为其意在于放宽较为苛刻的长度与每捆根数要求以符合实际生产。因而理想情况应是所有捆的根数与长度都恰好满足规格。当由于给定数据原因使得理想情况不能实现时，再考虑放宽剩余原料的组
2、装长度与根数要求，条件（3）与（4）的优先级最次。在建模过程中，我们先对各规格在不考虑（3）与（4）的情况下进行线性规划，求每种每捆可行搭配方案所能组装出的最大捆数，再将其加和得出各规格的最大捆数。这种方法在数据量较大的情况下兼顾了精确度与效率。对上述不能组合的剩余材料我们则放宽条件。因条件（2）要求最短长度最长的成品数量尽可能多，再结合条件（4）中原料可以降级使用的规则，故我们采用先从规格三的剩余原料考虑，再依次降级并入次级的原料使用考虑搭配。由于剩余材料数量较少，故可以不必考虑效率问题。最后满足条件（5）将结果求解。利用上述模型和Lingo软件最后求解出了最大捆数183。并可以根据已知原料
3、数量求出具体的搭配方案。关键词：搭配方案 线性规划 Lingo1. 问题重述天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，表示没有上限，但实际长度小于26米。表1 成品规格表最短长度最大长度根
4、数总长度36.52089713.588914589表2为某批次原料描述。表2 原料描述表长度3-3.43.5-3.94-4.44.5-4.95-5.45.5-5.9根数435939412728长度6-6.46.5-6.97-7.47.5-7.98-8.48.5-8.9根数342124242025长度9-9.49.5-9.910-10.410.5-10.911-11.411.5-11.9根数212321183123长度12-12.412.5-12.913-13.413.5-13.914-14.414.5-14.9根数225918253529长度15-15.415.5-15.916-16.416.
5、5-16.917-17.417.5-17.9根数304228424549长度18-18.418.5-18.919-19.419.5-19.920-20.420.5-20.9根数506452634935长度21-21.421.5-21.922-22.422.5-22.923-23.423.5-23.9根数271612206长度24-24.424.5-24.925-25.425.5-25.9根数0001要求根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。公司对搭配方案有以下具体要求：(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；(2) 对于成品捆数相同的方
6、案，最短长度最长的成品越多，方案越好；(3) 为提高原料使用率，总长度允许有0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。要求对上述问题建立数学模型，给出求解方法，并对表1、表2给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。2. 模型假设1) 原料丈量无错误，设备无故障。2) 原料不被破坏或截断使用。3) 原料等级仅有长度决定，且可以降多级使用。4) 方案产生时间仅包括数据运算处理时间，不包括丈量及其它工序的时间5) 问
7、题中0.5米的误差不属于装配时的粗大误差6) 原料长度不会超过或达到26米3. 符号说明x1x46 每一捆在不同长度区间内所用根数y1 每一规格计算时逐次筛选得到的不同组合的捆数Y 每一规格总捆数f1 理想最大捆数4. 问题分析本题提出一个肠衣搭配的问题，旨在寻找简便快捷的方法找出优秀的肠衣搭配方案以实现最大效益。题中给了五个要求，经过分析，我们确定要求一最大捆数和要求二最短长度最长的成品最多为实现最大效益的最关键因素，而题中所给的要求三四则是为了最大程度利用原料而作出的妥协。至于要求五则对方案产生时间提出要求，也是为了效益考虑，在建模时则体现为模型的简单性与程序的求解速度。以下将会对五个要求
8、进行逐一分析.4.1要求一：对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；实际上这是一个拥有多个约束条件求最大值的问题。在初步思考中，我们打算利用lingo进行非整数线性规划，逐一将约束条件列出，利用矩阵乘法进行简化，求出捆数的最大值以及方案。实际操作过程中却发现在规格三时变量数量过于庞大，求解过程过于繁杂，不满足要求五，故作出调整。简化的方案首先考虑一捆的情况，分析每一捆所用不同长度肠衣的根数，再辅以诸多约束条件结合lingo即可求出一组相同的捆绑组合的情况，在应用此方法不断重复即可得到一批不同组合的捆绑组，最后无法再捆绑的肠衣作为剩余原料处理。4.2要求二：对于成品捆数相同的方案，最短长度最
9、长的成品越多，方案越好；成品捆数中的最短长度最长的显然是由第三组，也就是长度最长的规格三捆绑组合所决定的，但在采用简化后方法之后，这一条件已经被自动满足。4.3要求三：为提高原料使用率，总长度允许有 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；此条件在处理剩余材料时有重要意义，由于剩余材料数量比较小，可以采用利用矩阵乘法结合lingo进行非整数线性规划并且考虑 0.5米的误差和根数少一的情况。4.4要求四：某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；在本文解法中，此要求同样会在剩余材料处理时体现，由于规格三的
10、剩余材料数量还比较客观，故在规格三内部采用矩阵乘法并考虑 0.5米的误差和根数少一的情况处理一遍。然后再将剩余材料降级与规格二的剩余材料组合采用上述方法操作，剩余材料再与规格一的剩余材料混合操作。4.5要求五：为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。此要求主要针对模型求解速度提出要求，而简化模型并有机结合复杂和简单两种处理方法的手段有效保证了时间上的高效性。由于简化后的模型虽然操作步骤多，但是程序运行时间很短；并且在运用矩阵乘法结合lingo考虑多种误差的方法只针对数量较少的剩余材料使用，使程序效率大大提高。因此此要求能够顺利满足。5. 模型建立5.1. 求最大捆数和捆绑方案的逐次筛选模型一建
11、立。规格一： 规格一要求20根组成89米，且共有8个不同区间。现对每一捆设其在每个区间里分别用了x1,x2x8,可以得到：而x1,x2x8 满足的限制条件为 在lingo第一遍计算得出结果后（lingo程序代码见附录），假设第一遍得到y1捆，对应的不同区间根数分别为x11,x21x81，在第二次计算时则将限制条件改为：记录所得数据并且继续进行操作直至无法再产生合理的捆绑组合。最终这一环节所得捆数即为 规格二：规格二要求8根组成89米，且共有14个不同区间。现对每一捆设其在每个区间里分别用了x9,x10x22,可以得到： 同规格一在第二次计算时，将限制条件改为： 记录所得数据并且继续进行操作直至
12、无法再产生合理的捆绑组合。最终这一环节所得捆数即为 规格三：规格三要求8根组成89米，且共有14个不同区间。现对每一捆设其在每个区间里分别用了x23,x24x44,可以得到： 同规格一在第二次计算时，将限制条件改为： 记录所得数据并且继续进行操作直至无法再产生合理的捆绑组合。最终这一环节所得捆数即为 5.2. 矩阵乘法结合lingo考虑各种误差的模型二建立由于此模型要求数据量较小，故只在处理剩余原料时选择性使用，因此此处以规格三为例介绍模型建立方法。第三规格理想最大捆数可由总长度除以每捆长度以及总根数除以每捆根数的较小值得到，为 135 捆。利用矩阵将数据简化如下：，代入数据后具体模型如下：
13、上述条件中：第一个不等式即代表每一捆长度都介于88.5和89.5之间；第二个不等式即代表每一捆根数都是4或者5；第三个不等式即代表每一种肠衣所用总数必小于提供总数；第四个不断等式即为根据理想最大捆数得到捆数必不大于135。编程带入lingo求解最优解即可。（详细代码见附录）6. 问题求解6.1. 模型（1）求解6.1.1. 对规格一求解根据提供数据，规格一的理想捆数应为：对规格一利用Lingo软件进行最优化筛选得到如下结果（程序代码与运行结果见附录9.1.1）：规格一第一次筛选结果长度33.544.555.566.5数量34331231本次筛选得到捆数为11规格一第二次筛选结果长度33.544.555.566.5数量34225202本次筛选得到捆数为3经过两次筛选，搭配捆数已经达到理想捆数14，故筛选结束。规格一剩余原料长度33.54.5566.5数量1321146.1.2. 对规格二求解根据提供数据，规格二的理想捆数应为：对规格二利用Lingo软件进行最优化筛选得到如下结果（程序代码与运行结果见附录9.1.2）：规格二第一次筛选结果长度77.588.599.51010.51111.51212.51313.5数量01010000111201本次筛选得到捆数为22规格二第二次筛
