《高中数学第四章导数应用4.2导数在实际问题中的应用4.2.2最大值、最小值问题导学案北师大版选修1-1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第四章导数应用4.2导数在实际问题中的应用4.2.2最大值、最小值问题导学案北师大版选修1-1(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、4.2.2最大值、最小值问题学习目标1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.知识点函数的最大(小)值与导数如图为yf(x),xa,b的图像.思考1观察a,b上函数yf(x)的图像,试找出它的极大值、极小值.答案极大值为f(x1),f(x3),极小值为f(x2),f(x4).思考2结合图像判断,函数yf(x)在区间a,b上是否存在最大值,最小值?若存在,分别为多少?答案存在,f(x)minf(a),f(x)maxf(x3).思考3函数yf(x)在a,b上的最大(小)值一定是某极值吗?答案不一定,也可能是区间端点的函数值.梳理(1)函数的最大(小)值的存
2、在性一般地,如果在区间a,b上函数yf(x)的图像是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值.(2)求函数yf(x)在闭区间a,b上的最值的步骤:求函数yf(x)在(a,b)内的极值;将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.类型一求函数的最值命题角度1不含参数的函数求最值例1求下列函数的最值:(1)f(x)2x312x,x2,3;(2)f(x)xsin x,x0,2.解(1)因为f(x)2x312x,所以f(x)6x2126(x)(x),令f(x)0,解得x或x.因为f(2)8,f(3)18,f()8,f()8;所以当x时
3、,f(x)取得最小值8;当x3时,f(x)取得最大值18.(2)f(x)cos x,令f(x)0,又x0,2,解得x或x.因为f(0)0,f(2),f(),f().所以当x0时,f(x)有最小值0;当x2时,f(x)有最大值.反思与感悟求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点(1)对函数进行准确求导,并检验f(x)0的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值.(3)比较极值与端点函数值大小,确定最值.跟踪训练1求函数f(x)ex(3x2),x2,5的最值.解f(x)3exexx2,f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1).在区间2,
4、5上,f(x)ex(x3)(x1)0,函数f(x)在区间2,5上是减少的,当x2时,函数f(x)取得最大值f(2)e2;当x5时,函数f(x)取得最小值f(5)22e5.命题角度2含参数的函数求最值例2已知a是实数,函数f(x)x2(xa).(1)若f(1)3,求a的值及曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)求f(x)在区间0,2上的最大值.解(1)f(x)3x22ax.因为f(1)32a3,所以a0.又当a0时,f(1)1,f(1)3,所以曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为3xy20.(2)令f(x)0,解得x10,x2.当0,即a0时,f(x)在0,2上是增加的,
5、从而f(x)maxf(2)84a.当2,即a3时,f(x)在0,2上是减少的,从而f(x)maxf(0)0.当02,即0a0,则令f(x)0,解得x.由x0,1,则只考虑x的情况.当01,即0a1时,当x变化时,f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(0,)(,1)f(x)0f(x)2a故f(x)maxf()2a;当1,即a1时,f(x)0,函数f(x)在0,1上是增加的,当x1时,f(x)有最大值f(1)3a1.综上,当a0,x0时,f(x)有最大值0;当0a0,求f(x)的最小值为2时m的值.解因为f(x)(x0),所以当x(0,m)时,f(x)0,f(x)在(m,)上是增加的,所以当
6、xm时,f(x)取得极小值,也是最小值,即极小值为2.即f(m)ln m2,所以me.反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.跟踪训练3设f(x)x3x22ax.当0a2时,f(x)在1,4上的最小值为,求f(x)在该区间上的最大值.解f(x)x2x2a,令f(x)0,得两根x1,x2.当x(,x1),(x2,)时,f(x)0,所以f(x)在(,x1),(x2,)上是减少的,在(x1,x2)上是增加的.当0a2时,有x11x24,所以
7、f(x)在1,4上的最大值为f(x2).又f(4)f(1)6a0,即f(4)f(1),所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)8a,故a1,x22,从而f(x)在1,4上的最大值为f(2).类型三与最值有关的恒成立问题例4已知函数f(x)(x1)ln xx1.若xf(x)x2ax1恒成立,求a的取值范围.解f(x)ln x1ln x,xf(x)xln x1,而xf(x)x2ax1(x0)等价于ln xxa.令g(x)ln xx,则g(x)1.当0x1时,g(x)0;当x1时,g(x)0,x1是g(x)的最大值点,g(x)g(1)1.综上可知,a的取值范围是.反思与感悟“恒成立”问题向最值问题转
8、化是一种常见的题型,对于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参函数的最值即可.一般地,可采用分离参数法.f(x)恒成立f(x)max;f(x)恒成立f(x)min.跟踪训练4已知函数f(x)ax4ln xbx4c(x0)在x1处取得极值3c,其中a,b,c为常数.若对任意x0,不等式f(x)2c2恒成立,求c的取值范围.解由题意,知f(1)3c.因此bc3c,从而b3.所以对f(x)求导,得f(x)4ax3ln xax412x3x3(4aln xa12).由题意,知f(1)0,即a120,得a12.所以f(x)48x3ln x(x0),令f(x)0,得x1.当0x1时,f(x)0,此时f(x)为
9、减函数;当x1时,f(x)0,此时f(x)为增函数.所以f(x)在x1处取得极小值f(1)3c,并且此极小值也是最小值.所以要使f(x)2c2(x0)恒成立,只需3c2c2即可.整理,得2c2c30,解得c或c1.所以c的取值范围是(,1.1.函数f(x)x24x7,在x3,5上的最大值和最小值分别是()A.f(2),f(3) B.f(3),f(5)C.f(2),f(5) D.f(5),f(3)答案B解析f(x)2x4,当x3,5时,f(x)0,故f(x)在3,5上是减少的,故f(x)的最大值和最小值分别是f(3),f(5).2.函数f(x)x33x(|x|1)()A.有最大值,但无最小值B.
10、有最大值,也有最小值C.无最大值,但有最小值D.既无最大值,也无最小值答案D解析f(x)3x233(x1)(x1),当x(1,1)时,f(x)0,又x(0,1),0aC.m D.m答案A解析f(x)2x36x2,令f(x)0,得x0或x3,验证可知x3是函数的最小值点,故f(x)minf(3)3m,由f(x)90恒成立,得f(x)9恒成立,即3m9,m.5.设函数f(x)2x39x212x8c,若对任意的x0,3,都有f(x)0;当x(1,2)时,f(x)0.当x1时,f(x)取极大值f(1)58c.又f(3)98cf(1),当x0,3时,f(x)的最大值为f(3)98c.对任意的x0,3,有
11、f(x)c2恒成立,98cc2,即c9.故c的取值范围为(,1)(9,).1.求函数在闭区间上的最值,只需比较极值和端点处的函数值即可;若函数在一个开区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.2.已知最值求参数时,可先确定参数的值,用参数表示最值时,应分类讨论.3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.40分钟课时作业一、选择题1.函数yxsin x,x,的最大值是()A.1 B.1C. D.1答案C解析y1cos x0,故yxsin x在,上是增加的,所以当x时,ymax.2.已知函数f(x),g(x)均为a,b上的可导函数,在a,b上连续且f(x)g(x),则f(x)g(x)的最大值为()A.f(a)g(a) B.f(b)g(b)C.f(a)g(b) D.