《高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.2平面的法向量与平面的向量表示学案新人教B版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.2平面的法向量与平面的向量表示学案新人教B版选修2-1（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2.2平面的法向量与平面的向量表示1理解直线的方向向量与平面的法向量2会用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系3会利用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角4理解并会应用三垂线定理及其逆定理1用向量表示直线或点在直线上的位置(1)直线的方向向量给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量ta，这时点P的位置被t的值完全_，当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是通过点A且_向量a的一条_，向量a称为该直线的_一条直线有无数个方向向量(2)空间直线的向量参数方程点A为直线l上的一个定点，a为直线l的一个方向向量，点P为直线l上任一点，t为一个任意实数，以A为起
2、点作向量ta.对空间任一个确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式ta.如果在l上取a，则式可化为tt()，即(1t)t.以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程(3)线段AB的中点M的向量表达式设O是空间任一点，M是线段AB的中点，则_.【做一做1】若A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A(1,2,3) B(1,3,2)C(2,1,3) D(3,2,1)空间三点P，A，B满足mn，且mn1，则P，A，B三点共线2用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行(1)直线与直线平行设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v
3、2，则l1l2或l1与l2重合_.(2)直线与平面平行已知两个不共线向量v1，v2与平面共面，一条直线l的一个方向向量为v，则l或l在内存在两个实数x，y，使_(3)平面与平面平行已知两个不共线的向量v1，v2与平面共面，则或与重合_.【做一做2】l1的方向向量v1(1,2,3)，l2的方向向量v2(，4,6)，若l1l2，则_.3用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角(1)设两条直线所成的角为(锐角)，则直线方向向量间的夹角与_；(2)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，直线l1与l2的夹角为，则l1l2_，cos _.【做一做3】设直线l1和l2的方向向量夹角为120，则l1
4、和l2这两条直线所成的角为_两条直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两直线所成的角4法向量的概念已知平面，如果向量n的_与平面_，则向量n叫做平面的法向量，或说向量n与平面正交【做一做4】若n(2,2,1)是平面的一个法向量，下列向量中能作平面的法向量的是()A B(2,3,1)C D(2,2,2)5平面的向量表示式设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件n0的点M构成的图形是过空间一点并且与一个向量垂直的_，_通常称为一个平面的向量表示式【做一做5】n为空间任一非零向量，若n0，n0，则向量A，M，B，N四
5、点是否在同一平面内？6利用法向量判断平面与平面的平行与垂直设n1，n2分别是平面，的法向量，则容易得到平面平面或与重合n1_n2；平面平面_.【做一做6】平面，的法向量分别是a(4,0，2)，b(1,0,2)，则平面，的位置关系是()A平行 B垂直C相交不垂直 D无法判断(1)用空间向量的方法证明立体几何中的平行或垂直问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理(2)用向量方法证明平行或垂直问题的步骤：建立空间图形与空间向量之间的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建立)通过向量运算研究垂直关系问题根据运算结果解释相关问题7三垂线定理及三垂线
6、定理的逆定理三垂线定理：如果在_的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的_垂直，则它也和这条_垂直三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条_垂直，则它也和这条斜线在平面内的_垂直定理中的已知直线必须是已知平面内的直线三垂线定理与逆定理主要解决异面直线垂直问题【做一做7】斜线b在平面内的射影为c且直线ac，则a与b_垂直(填”一定”或”不一定”)1空间直线的向量参数方程有什么作用？剖析：直线的向量参数方程ta是ta和(1t)t的基础空间中P，A，B三点共线的充要条件是(1)2如何用向量的方法证明空间中的平行关系？剖析：空间中的平行关系本质上是线线平行，根据共线向量定理，只需证明直
7、线的方向向量ab即ab(R)此外，证明线面平行也可用共面向量定理，即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可；证明面面平行也可用证明平面的法向量平行的方法3如何理解平面的法向量？剖析：平面的法向量并不唯一，并且垂直于平面内的所有向量设n1，n2分别是平面，的法向量：平面平面或与重合n1n2；平面平面n1n2n1n20.题型一 利用向量方法判定线、面的位置关系【例1】(1)设a，b分别是直线l1，l2的方向向量，判断l1，l2的位置关系：a(2,3，1)，b(6，9,3)；a(5,0,2)，b(0,4,0)(2)设u，v分别是平面，的法向量，判断，的位置关系：u(1，1,
8、2)，v；u(0,3,0)，v(0，5,0)(3)设u是的法向量，a是直线l的方向向量，判断，l的位置关系：u(2,2，1)，a(3,4,2)；u(0,2，3)，a(0，8,12)反思：解答这类问题的关键：一是要清楚直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法在向量问题转化为几何问题时，注意两者的区别，如第(3)问中的题，直线的方向向量和平面平行，则直线可能在平面内，也可能与平面平行题型二 平面的法向量的求法【例2】四边形ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC2，AD1，求平面SCD和平面SAB的法向量分析：解答
9、本题可先建立空间直角坐标系，写出每个平面内不共线的两个向量的坐标，再利用待定系数法求出平面的法向量反思：平面的法向量有无数个，一般用待定系数法解一个三元一次方程组，求得其中的一个即可构造方程组时，注意所选平面内的两向量是不共线的，赋值时保证所求法向量非零，本题中的法向量的设法值得借鉴题型三 利用向量法证明空间中的平行关系【例3】在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点求证：CE平面C1E1F.反思：此类题目，能建坐标系的先建立坐标系，找出相应直线的方向向量和平面的法向量，并确定它们对应的坐标，进行求解、证明；不方便建系的可以用基
10、向量法题型四 向量法证明线线垂直、线面垂直【例4】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点求证：(1)AECD；(2)PD平面ABE.分析：(1)建立空间直角坐标系确定，的坐标计算AECD；(2)求平面ABE的法向量n判断满足kn(kR)PD平面ABE或确定，的坐标计算，PD平面ABE.反思：(1)证明线线垂直一般转化为证明直线上的向量数量积为零(2)证明线面垂直有两种方法一是用线面垂直的判定定理证明；二是通过证明直线上的向量与平面的法向量平行来证题型五,向量法证明面面垂直【例5】在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCCD，B
11、CD90，ADB30，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面BEF平面ABC.分析：本题首先可证出为平面ABC的一个法向量，然后再证明两平面的法向量垂直即数量积为零即可反思：证明面面垂直的传统方法是转化为线面垂直、线线垂直，另一种方法是证明两个平面的法向量垂直应用后一种方法的关键是建立适当的空间直角坐标系；求出平面的一个法向量；判断两个法向量的关系；由法向量的关系转化为平面关系1两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则l1与l2的位置关系是()A平行 B相交 C垂直 D不确定2已知动点P的竖坐标为0，则动点P的轨迹是()A平面 B直线C不是平面也不是
12、直线 D以上都不对3已知两条异面直线l1，l2的方向向量分别为v1和v2，若cosv1，v2，则l1与l2所成角的余弦值为_4已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量坐标为_5已知v(2,2,5)，u(6，4,4)分别是平面，的法向量，则与_.6求证：在正方体ABCDA1B1C1D1中，是平面ACD1的法向量答案：基础知识梳理1(1)确定平行于直线l方向向量(2)()【做一做1】A2(1)v1v2(2)vxv1yv2(3)v1且v2【做一做2】23(1)相等或互补(2)v1v2|cosv1，v2|【做一做3】604基线垂直【做一做4】A5平面n0【做
13、一做5】解：不一定6n1n2n1n20【做一做6】B7平面内射影斜线斜线射影【做一做7】不一定(因为a不一定在平面内)典型例题领悟【例1】解：(1)a(2,3，1)，b(6，9,3)，ab.ab.l1l2.a(5,0,2)，b(0,4,0)，ab0.ab.l1l2.(2)u(1，1,2)，v，uv0.uv.u(0,3,0)，v(0，5,0)，uv.uv.(3)u(2,2，1)，a(3,4,2)，ua0.ua.l或l.u(0,2，3)，a(0，8,12)，ua.ua.l.【例2】解：AD，AB，AS是三条两两垂直的线段，以A为原点，以，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)，(1,0,0)是
