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1、高中数学第三章基本初等函数（）3.4函数的应用（）课堂导学案新人教B版必修13.4 函数的应用（）课堂导学三点剖析一、给出函数模型的问题【例1】某民营企业生产A、B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图(1),B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图(2).(注:利润与投资单位:万元)(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式,并写出它们的函数关系式.(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A、B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元(精确到1万元)?解析：(1)设投资为x万元,A产品的利润
2、为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元,由题设f(x)=k1x,g(x)=k2,由图知f(1)=,k1=.又g(4)=,k2=.从而f(x)=x(x0),g(x)=(x0).(2)设A产品投入x万元,则B产品投入10-x万元.设企业利润为y万元.y=f(x)+g(10-x)=+,0x10.令=t,则y=+t=(t)2+(0t).当t=时,ymax=4,此时x=10=3.75.答:当A产品投入3.75万元,B产品投入6.25万元时,企业获得最大利润约4万元.温馨提示 本问题一般有三类:(1)直接给出函数解析式;(2)给出函数图象,根据图象上的关键点求出解析式;(3)给出函数类型,自己设出解析
3、式,利用待定系数法求出解析式.二、构造函数模型【例2】按复利计算利率的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数式.如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和是多少?思路分析：复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起作本金,再计算下一期的利息.解：已知本金为a元,1期后的本利和为y1=a+ar=(1+r)a;2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;3期后的本利和为y3=a(1+r)3;x期后的本利和为y=a(1+r)x,将a=1000,r=2.25%,x=5代入上式得y=1000
4、(1+2.25%)5=10001.02255.由计算器算得y=1117.68(元).答:函数式为y=a(1+r)x,5期后的本利和为1117.68元.温馨提示 在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题,如果原来产值的基础为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值或总产量y,可以用公式y=N(1+p)x表示.解决平均增长率的问题,要用到这个函数式.三、函数模型的综合应用【例3】如下图，河流航线AC段长40千米，工厂B位于码头C正北30千米处，原来工厂B所需原料由码头A装船沿水路到码头C后，再改陆运到工厂B,由于水运太长,运费颇高,工厂B与航运局协商在AC段上另建一码头D,并由码头D到工厂B修一
5、条新公路,原料改为按由A到D再到B的路线运输,设|AD|=x千米(0x40),每10吨货物总运费为y元,已知每10吨货物每千米运费水路为1元,公路为2元.(1)写出y关于x的函数关系式;(2)要使运费最省,码头D应建在何处?思路分析：依题意,每10吨货物总运费y为从A到D的水路运费与从D到B的陆路运费之和,因|AD|=x千米,水路运费为(x1)元,陆路长度由勾股定理求得,陆路运费为(2)元,不难建立y与x的函数关系式.解：(1)由题意|BD|=,易得每10吨货物总运费y=x+2,0x40.(2)由(1)得y-x=2.两边平方,得(y-x)2=4(2500-80x+x2).整理得3x2-2(16
6、0-y)x+10000-y2=0.=4(160-y)2-43(10000-y2)0.解得y40+30或y40-30(舍去).此时,将y=40+30代入方程,得x=40-100,40.当x=40-10时,y取最小值,即当码头建在AC段上与A相距(40-10)千米时,可使运费最少.温馨提示(1)对于应用问题中所提出的问题,要认真领会、理解,要注意观察问题的结构特征,揭示内在联系,挖掘隐含条件,根据实际问题准确地得到函数关系式,进而利用有关的数学知识和函数性质实施解题.(2)对于本题要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系,寻找已知量与未知量之间的内在联系,然后将这些内在联系与数学知识联系建
7、立函数关系式或列出方程,利用函数性质或方程观点来解,则可使应用问题化生为熟,尽快得到解决.各个击破类题演练1某商品在近100天内,商品的单价f(t)(元)与时间t(天)的函数关系式如下:f(t)=销售量g(t)与时间t(天)的函数关系式是g(t)=(0t100,tZ).求这种商品在这100天内哪一天的销售额最高.解析：依题意该商品在近100天内日销售额F(t)与时间t(天)的函数关系式为F(t)=f(t)g(t)=(1)若0t40,tZ,则F(t)=,当t=12时,F(t)max=(元).(2)若40t100,tZ,则F(t)=()()=(t-108)2,t=108100,F(t)在（40,1
8、00上递减.当t=41时,F(t)max=745.5.745.5,第12天的日销售额最高.变式提升1某服装市场今年一月、二月、三月分别销售1万件、1.2万件、1.3万件服装,为了预测以后各月的销售趋势,以这三个月的销售量为依据,用一个函数模拟销售量y与月份x之间的关系,模拟函数可以选用二次函数或y=abx+c(a,b,c为常数),已知四月份的实际销售量为1.37万件,试问用以上哪个函数作为模拟函数较好,求出此函数.解析：由条件知f(1)=1,f(2)=1.2,f(3)=1.3.若用二次函数,可设f(x)=ax2+bx+c,则解得a=f(x)=x2+x+.当x=4时,f(4)=13.若用f(x)
9、=abx+c,则解得f(x)= ()x+.此时当x=4时,f(4)=13.5.又知四月份的实际销售量为1.37,由此可知选用f(x)=()x+,用y=abx+c作模拟函数较好.类题演练2某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题:(1)写出该城市人口总数x(万人)与年份x(年)的函数关系式;(2)计算10年后该城市人口总数;(精确到0.1万人)(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人.(精确到1年)解析：(1)1年后该城市人口总数为y=100+1001.2%=100(1+1.2%);2年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)+100(1+1.2
10、%)1.2%=100(1+1.2%)2;3年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)3;x年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)x.(2)10年后人口数为100(1+1.2%)10112.7(万人).(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%)x=120,x=log1.012=log1.0121.2015(年).类题演练3某公司生产一种产品每年需投入固定成本0.5万元,此外每年生产100件产品还需要增加投资0.25万元.经市场调查知这种产品的年需求量为500件,售出的这种产品数量为t(百件)时,销售所
11、得收入约为5t(万元)(t5).(1)若该公司这种产品的年产量为x(百件),设该公司生产并销售这种产品所得的利润为当年产量x的函数f(x),求f(x);(2)当该公司的年产量为多大时,当年所得的利润最大?解析：产品生产件数与售出件数之间的关系,有两种情况,若生产量不超500件,则能全卖出,若生产超过500件,则只能售出500件,所以要应用分段函数求解.(1)由题意知:当0x5时,产品全部售出,当x5时,产品只能售出5(百件).f(x)=即f(x)=(2)当0x5时,f(x)=x2+4.75x-0.5,当x=4.75时,f(x)max=10.78125(万元).而当x5时,f(x)=12-0.25xy(13),所以用13名工人制作课桌,17名工人制作椅子完成任务最快.6 / 6
