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1、高中数学第三章基本初等函数（）3.3幂函数学习导航学案新人教B版必修13.3 幂函数自主整理1.幂函数的定义(1)定义:一般地，我们把形如y=x(R)的函数叫做幂函数，其中x为自变量，为常数.(2)关于定义的理解：幂的底数是自变量;幂的指数是一个常数，它可以取任意实数;幂值前面的系数是1，否则不是幂函数,如函数y=5x就不是幂函数.幂函数的定义域是使x有意义的所有x的集合，因的不同，定义域也不同,如函数y=x2的定义域为R，而函数y=的定义域为x|xR,且x0.2.函数y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x-1的图象与性质:y=xY=x2y=x3y=xy=x-1图象定义域RRR0,+)(-
2、,0)(0,+)值域R0,+)R0,+)(-,0)(0,+)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增增增定点(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(1,1)3.幂函数的性质当n0时，幂函数y=xn有下列性质：（1）图象都通过点（0，0），（1，1）；（2）在第一象限内，函数值y随x的增大而增大.当n0时，幂函数y=xn的性质：（1）图象都过点（1，1）；（2）图象以直线x=0，y=0为渐近线；（3）在第一象限内的图象是下降的，即函数值y随x的增大而减小；（4）x(0,1)时，n越大曲线越靠近y轴;x(1,+)时，n越小曲线越靠近x轴.高手笔记1.判断函数
3、是否为幂函数时要根据定义，即x的系数为，指数位置的为一个常数，且常数项要为，或者经过变形后满足条件的均可.2.在研究幂的性质时，通常将分数指数幂化为根式形式，负指数整数幂化为分式形式再去进行讨论.3.记忆口诀：如何分析幂函数，记住图象是关键，虽然指数各不同，分类之后变简单.大于0时抛物线，小于0时双曲线，还有0到1之间，抛物开口方向变,不仅开口向右方，原来图象取一半.函数奇偶看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数.图象第一象限内，函数增减看正负.名师解惑1.如何理解幂函数的图象和性质?剖析：幂函数yxn的性质和图象，由于n的取值不同而比较复杂，我们可以从下面几个方面来把握：(1
4、)n0时,图象必经过原点和(1,1)两定点,在第一象限内图象是上升的曲线,并且在区间0,+)上是增函数.(2)幂函数的图象和性质,可归纳为下表:图象幂函数y=xn(n为常数)n0n1且p,q互质）时，若q为偶数，则定义域为0,+)；若q为奇数，则定义域为R；当n=(p,qN*,q1且p,q互质）时，若q为偶数，则定义域为(0,+)；若q为奇数，则定义域为x|x0.讲练互动【例题1】若（a+1）（3-2a），则a的取值范围是_.解析：因为函数yx在0，+)上单调递增，所以yx在(0，+)上单调递减.所以解得a.答案：（，）绿色通道虽然解决恒成立问题方法很多，但这里由于是选择题，用赋值法较方便.黑
5、色陷阱忘记负指数幂函数底数需大于0，将导致解题错误.用幂函数的单调性解不等式，但要注意x的取值范围.变式训练1.已知(x-3)(1+2x)，求x的取值范围.分析:其实质是解不等式(x-3)0时，y0；x0时，y0,原不等式可以化为： 无解；的解为x-4；的解是x3.所以所求的x的取值范围为x|x-4或x0,1.51.6,由幂函数单调性,知1.50,0.60.7,由幂函数单调性,知0.61.30.71.3.(3)3.5与5.3可分别看作幂函数y=x在3.5与5.3处的函数值,且0,3.55.3.(4)0.18-0.3与0.15-0.3可分别看作幂函数y=x-0.3在0.18与0.15处的函数值,
6、且-0.30.15,由幂函数单调性,知0.18-0.30.15-0.3.【例题3】幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限内的图象如图3-3-1所示，则a，b，c，d的大小关系是( )图3-3-1A.bcda B.bcad C.abcd D.adcb解析：重点掌握幂函数在第一象限的图象特征，它是判断一些问题的法宝，当自变量x1时，幂指数大的函数的函数值大.方法一(性质法):由幂函数的性质可知，当自变量x1时，幂指数大的函数的函数值较大，故有bcda.方法二(类比法):当x趋于+时，函数y=xa图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴，类似于典型幂函数y=x-1，故a1.同法可知y=xc
7、,y=xd类似于y=x,故0c1,0d1.a最小，b最大.方法三(特殊值法):作直线x=2，由图象可知2a2d2c2b,由指数函数的性质可知adcb,故选D.答案：D绿色通道通过这道题,可知对于幂函数不仅仅是从“形式上”掌握其概念、图象和性质，更重要的是真正的理解，例如需要掌握幂函数在第一象限的图象特征，这在今后的学习中也应注意.变式训练3.图3-3-2中曲线是幂函数y=x在第一象限的图象，已知取2，四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数依次为( )图3-3-2A.-2,2 B.2,-2 C.,-2,2, D.2,-2,解析：要确定一个幂函数y=x在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数
8、y=x随着值的改变图象的变化规律.随着的变大，幂函数y=x的图象在直线x=1的右侧从低向高分布.从图中可以看出，直线x=1右侧的图象，由高向低依次为C1，C2，C3，C4，所以C1,C2,C3,C4的指数依次为2，-2.答案：B【例题4】画函数y=1+的草图，并求出其单调区间.分析:此函数的作图有两个途径，一是根据描点的方法作图，二是利用坐标系的平移来作图.一般说来，作草图时，利用坐标平移较为方便.解：y=1+=+1.此函数的图象可由下列变换而得到:先作函数y=的图象，作其关于y轴的对称图象，即y=的图象，将所得图象向右平移3个单位，向上平移1个单位，即为y=1+的图象如图3-3-3(1)-(
9、4)所示.图3-3-3黑色陷阱本题容易发生的错误：一是函数概念不清（该函数是以x为自变量的函数）；二是在将函数式变形的过程不是等价变形，导致变形后的函数已不再是原有的函数了.变式训练4.求出函数f（x）=的单调区间，并比较f（-）与f（）的大小.分析:要写出f（x）的单调区间，可通过化简把f（x）转化成我们熟悉的基本初等函数的形式，利用基本初等函数的单调区间，表示出f（x）的单调区间.解：f（x）=1+=1+（x+2）-2，它是由g（x）=x-2向左平移2个单位，再向上平移1个单位而得到的.g（x）的单调增区间是（-，0），单调减区间是（0，+），f（x）=的单调增区间是（-，-2），单调减区间是（-2，+），f（x）的图象关于直线x=-2对称.-（-，-2），（-2，+），关于x=-2对称的点的横坐标是-4，又-4-，f（-4）f（-）,即f（）1与00时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0,+)上是增函数.当1时，幂函数的图象下凸；当00(1)时图象是抛物线型;1时图
