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1、第三章导数及其应用单元检测 (时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知f(x)在xx0处可导,则()Af(x0) Bf(x0)C2f(x0) D4f(x0)2函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点的个数为()A1 B2 C3 D43已知P点在曲线F:yx3x上,且曲线F在点P处的切线与直线x2y0垂直,则点P的坐标为()A(1,1) B(1,0)C(1,0)或(1,0) D(1,0)或(1,1)4若函数f(
2、x)x22(a1)x2在区间(,0上是减函数,则实数a的取值范围是()Aa3 Ba1Ca5 Da15设aR,若函数f(x)exax,xR有大于零的极值点,则()Aa1 Ba1C D6已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3,那么此函数在2,2上的最小值是()A37 B29C5 D以上都不正确7曲线yx3x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A1 B C D8若函数f(x)x33xa有3个不同的零点,则实数a的取值范围是()A(2,2) B2,2C(,1) D(1,)9设f(x),g(x)是R上的可导函数,f(x),g(x)分别为f(x),g(x)的导函数,且满足f(x)
3、g(x)f(x)g(x)0,则当axb时,有()Af(x)g(b)f(b)g(x)Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(x)f(b)g(b)Df(x)g(x)f(b)g(a)10设函数yf(x)在定义域内可导,其图象如图所示,则导函数yf(x)的大致图象为()二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分把答案填在题中的横线上)11函数f(x)x2x在点(2,f(2)处的切线方程为_12函数f(x)x33x23的单调递减区间为_13函数f(x)x在(0,)上的最小值为_,此时x_.14已知函数f(x)aln xx在区间2,3上单调递增,则实数a的取值范围是_15给出定义:若函数f
4、(x)在D上可导,即f(x)存在,且导函数f(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f(x)(f(x).若f(x)0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在上不是凸函数的是_(把你认为不是的序号都填上)f(x)sin xcos x;f(x)ln x2x;f(x)x32x1;f(x)xex.三、解答题(本大题共2个小题,共25分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(10分)设函数f(x)6x33(a2)x22ax.(1)若函数f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x21,求实数a的值(2)是否存在实数a,使得f(x)是(,)上的单调函数?若存在,求出a的
5、值;若不存在,说明理由17(15分)某造船公司年造船量是20艘,已知造船x艘的产值函数为R(x)3 700x45x210x3(单位:万元),成本函数为C(x)460x5(单位:万元),又在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)f(x1)f(x)(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)(提示:利润产值成本)(2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?参考答案1. 答案:A2. 答案:A从f(x)的图象可知f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依次为增、减、增、减,所以f(
6、x)在(a,b)内只有一个极小值点3. 答案:C4. 答案:Bf(x)2x2a2,因为f(x)在(,0上是减函数,所以f(0)0,即2a20,a1.5. 答案:B因为f(x)exax,所以f(x)exa.若函数在xR上有大于零的极值点,即f(x)exa0有正根当f(x)aex0成立时,显然有a0,此时xln(a),由x0,得参数a的范围为a1.6. 答案:Af(x)6x212x6x(x2)f(x)在(2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数,当x0时,f(x)最大m,m3.从而f(2)37,f(2)5,最小值为37.7. 答案:B8. 答案:Af(x)3x233(x1)(x1)当x1时,f(
7、x)0;当1x1时,f(x)0;当x1时,f(x)0,当x1时,f(x)有极大值,当x1时,f(x)有极小值要使f(x)有3个不同的零点,只需解得2a2.9. 答案:C令yf(x)g(x),则yf(x)g(x)f(x)g(x),由于f(x)g(x)f(x)g(x)0,所以y在R上单调递减,又xb,故f(x)g(x)f(b)g(b)10. 答案:D由函数yf(x)的图象知,当x(,0)时,f(x)单调递减,故f(x)0;当x0时,f(x)先增,再减,然后再增,故f(x)先正,再负,然后再正故选D.11. 答案:5xy4012. 答案:(0,2)13. 答案:4214. 答案:2,)f(x)aln
8、 xx,f(x)1.又f(x)在2,3上单调递增,10在x2,3上恒成立,a(x)max2,a2,)15. 答案:对于,f(x)(sin xcos x),时,f(x)0恒成立;对于,在时,f(x)0恒成立;对于,f(x)6x,在时,f(x)0恒成立;对于,f(x)(2x)ex在时,f(x)0恒成立,所以f(x)xex不是凸函数16. 答案:分析:(1)极值点是f(x)0的根,利用根与系数的关系解决即可(2)f(x)是(,)上的单调函数方程f(x)0的判别式0.解:f(x)18x26(a2)x2a.(1)x1,x2是函数f(x)的两个极值点,f(x1)f(x2)0,即x1,x2是18x26(a2
9、)x2a0的两个根,从而x1x21,a9.(2)36(a2)24182a36(a24)0,不存在实数a,使得f(x)是(,)上的单调函数17. 答案:分析:(1)将R(x)与C(x)的关系式代入P(x)R(x)C(x)即可;然后将P(x)关系式代入边际利润函数MP(x)即可(2)利用用导数求其定义域上最值的方法求最大值(3)利用用导数求单调区间的方法求单调区间解:(1)P(x)R(x)C(x)10x345x23 240x5(xN*且1x20);MP(x)P(x1)P(x)30x260x3 275(xN*且1x19)(2)P(x)30x290x3 24030(x12)(x9),x0,P(x)0时,x12,当0x12时,P(x)0,当x12时,P(x)0,x12时,P(x)有最大值即年造船量安排12艘时,可使公司造船的年利润最大(3)MP(x)30x260x3 27530(x1)23 305.所以,当x1时,MP(x)是减函数,所以单调减区间为1,19,且xN*.MP(x)是减函数的实际意义是:随着产量的增加,每艘船的利润与前一艘船的利润比较,利润在减少5