《高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用课堂探究新人教B版选修1-1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用课堂探究新人教B版选修1-1(2页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3.3 导数的实际应用课堂探究探究一 与几何有关的最值问题解决与面积、体积等与几何有关的最值问题,关键是正确引入变量,将面积或体积表示为该变量的函数,结合具体问题确定其定义域,然后利用导数求其最值【典型例题1】 用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5 m,那么高为多少时,容器的容积最大?并求它的最大容积思路分析:设出容器底面一边长为x m,表示出容器的另一边及高,利用长方体的体积公式,将其表示为x的函数,利用导数求解解:设容器底面一边长为x m,则另一边长为(x0.5)m,高为3.22x.由解得0x1.6.设容器的容积为y m3,则
2、y2x32.2x21.6x,所以y6x24.4x1.6,令y0,则15x211x40,解得x11,x2(舍去)在定义域(0,1.6)内只有x1使y0,即x1是函数y2x32.2x21.6x在(0,1.6)内的唯一的极大值点,也就是最大值点因此,当x1时y取得最大值ymax22.21.61.8,这时高为3.2211.2.故容器的高为1.2 m时容积最大,最大值为1.8 m3.探究二 利润最大(成本最低)问题经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减快慢,通常以产量或单价为自变量建立函数关系,从而利用导数来分析、研究【典型例题2】 某商场从生产厂家以每件20元的进价购进一批商品,若该商品的售价定为
3、p元,则销售量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q8 300170pp2.问该商品零售价定为多少时利润最大,最大利润是多少?思路分析:建立销售利润关于零售价的函数,应用导数研究最值解:设利润为L(p),由题意可得L(p)(p20)Q(p20)(8 300170pp2)p3150p211 700p166 000(p0),所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0,得p30或p130(舍去)则L(30)23 000.因为0p30时,L(p)0;p30时,L(p)0,所以p30时,L(p)取得极大值根据实际问题的意义知,L(30)就是最大值,即零售价定为每件30元时,利润最大,最大利润为23 000元2