《高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.2利用导数研究函数的极值学案新人教B版选修1-1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.2利用导数研究函数的极值学案新人教B版选修1-1(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3.2利用导数研究函数的极值1了解函数的极值和最值的有关概念2会用函数的导数求函数的极值和最值1极值的概念已知函数yf(x)及其定义域内一点x0,对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x,如果都有_,则称函数f(x)在_处取极大值,记作y极大值f(x0),并把_称为函数f(x)的一个极大值点;如果都有_,则称函数f(x)在_处取极小值,记作y极小值f(x0),并把_称为函数f(x)的一个极小值点_与_统称为极值_与_统称为极值点(1)函数f(x)在点x0及其附近有定义是指在点x0及其左右邻域都有意义(2)极值是一个局部概念,是相对某一点左右两侧邻域而言(3)极值总是函数f(x)定义域中的内
2、点,因而端点绝对不是函数的极值点(4)函数f(x)在其定义域内的极值点可能不止一个,也可能没有函数的极大值与极小值没有必然的大小关系,函数的一个极小值不一定小于极大值【做一做1】在下图中x1是函数的极_值点,x2是函数的极_值点(填“大”或“小”)2求可导函数yf(x)极值的步骤(1)求_(2)求方程_的所有实数根(3)对每个实数根进行检验,判断在每个根的左右侧,_的符号如何变化如果f(x)的符号_,则f(x0)是极大值;如果f(x)的符号_,则f(x0)是极小值;如果在f(x)0的根xx0的左右侧符号不变,则f(x0)不是极值极值点与导数为0的点的关系:(1)导数为0的点不一定是极值点如函数
3、f(x)x3,在x0处的导数是0,但它不是极值点对于可导函数,导数为0是点为极值点的必要不充分条件(2)函数的导数不存在的点也可能是极值点如函数f(x)|x|,在x0处,左侧(x0时),f(x)10,右侧(x0时),f(x)10,当x0时,f(x)0,x0是f(x)的极小值点,但f(0)不存在【做一做2】方程f(x)0的根一定是函数f(x)的极值点吗?3求可导函数yf(x)在a,b的最大(小)值的步骤(1)求f(x)在开区间(a,b)内的_(2)计算函数f(x)在_和_的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况,是对函数局部的函数值的比较;函数
4、的最值表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较(2)函数的极值不一定是最值,需要极值和区间端点的函数值进行比较,或者考察函数在区间内的单调性(3)如果函数yf(x)在闭区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值【做一做3】函数的最大值一定是函数的极大值吗?1如何理解极值的概念?剖析:极大值与极小值统称为极值在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值(1)极值是一个局部概念由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或是最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大
5、或最小(2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某个区间上或定义域内,极大值或极小值可以不止一个(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值,如图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)f(x1)(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点处2导数为零的点一定是极值点吗?剖析:可导函数的极值点必须是导数为零的点,但导数为零的点不一定是极值点,如f(x)x3在x0处的导数f(0)0,但x0不是它的极值点,也就是可导函数在点x0处的导数f(x0)0是该函数在x0处取得极值的必
6、要不充分条件特别地,函数的不可导点(如尖点)也可能是极值点题型一 求函数的极值【例1】求下列函数的极值:(1)yf(x)3x3x1;(2)f(x)x2ex.分析:首先对函数求导,求得f(x)然后求方程f(x)0的根,再检验方程根的左右两侧导数f(x)的符号如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值反思:按照求函数极值的一般步骤求解即可解答此类问题时要注意f(x)0只是函数f(x)在x0处有极值的必要条件,如果再加上x0左右两侧导数值异号,方能判断函数在x0处取得极值解题时,错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误题型二 求函数的最值【例2】
7、(1)求函数f(x)x32x21在区间1,2内的最值(2)设函数f(x)ln xax(a0)若f(x)在(1,2上的最大值为,求a的值分析:(1)按照求最值的一般步骤求解即可(2)按照求最值的方法求其最大值,其最大值是关于a的表达式由题意知,最大值等于,解方程即可求得a.反思:(1)利用求函数最值的步骤求解此类问题(2)函数最大值点及最小值点必在下面各种点之中:导数等于0的点、导数不存在的点或区间的端点;若函数在区间a,b上连续且可导,则其最大值应在极大值点或区间端点处取得,最小值应在极小值点或区间端点处取得题型三 易错题型【例3】已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10,求a,b
8、的值错解:f(x)3x22axb.由题意得32ab0,1aba210,解得或错因分析:在x1处有极值10,则x1是f(x)0的根但f(x)0的根并不一定是极值点,故对求得的参数的值要进行验证是否满足在x1处有极值1函数yx2x1的极小值是()A1 B C D22函数yx33的极大值()A是0 B是1C是2 D不存在3函数yx(x0)在x1处取得()A极小值B极大值C既有极大值又有极小值D最大值4若a0,函数yx在(0,)的最小值为4,则a_.5已知函数f(x)x32ax2a2x在x1处有极大值,求a的值答案:基础知识梳理1f(x)f(x0)点x0x0f(x)f(x0)点x0x0极大值极小值极大
9、值点极小值点【做一做1】大小2(1)导数f(x)(2)f(x)0(3)导函数f(x)由正变负由负变正【做一做2】不一定3(1)所有极值点(2)极值点端点【做一做3】不一定典型例题领悟【例1】解:y9x21,令y0,解得x1,x2.当x变化时,y和y的变化情况如下表:xy00y单调递增极大值单调递减极小值单调递增此,当x时,y有极大值,并且y极大值.而当x时,y有极小值,并且y极小值.(2)函数的定义域为R.f(x)2xexx2exexx(2x),令f(x)0,得x0或x2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,2)2(2,0)0(0,)f(x)00f(x)极大值极小值0由上表可
10、以看出,当x0时,函数有极小值,且f(0)0.当x2时,函数有极大值,且f(2).【例2】解:(1)f(x)3x24x,令f(x)0,有3x24x0,解得x0或x.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x1(1,0)02f(x)00f(x)211故f(x)x32x21在区间1,2上,f(x)最大值1,f(x)最小值2.(2)f(x)aa.当x(1,2时,f(x)0,f(x)在(1,2上单调递增故f(x)在(1,2上的最大值为f(2)ln 22a.由题意知ln 22a,a.【例3】正解:f(x)3x22axb.由题意得32ab0,1aba210,解得或当a3,b3时,f(x)3(x1)
11、20,所以f(x)单调递增,不存在极值,故应舍去当a4,b11时,满足题意所以a4,b11.随堂练习巩固1B2D3A当0x1时,y10;当x1时,y10.故函数yx(x0)在x1处取极小值44y1.当x时,y10;当0x时,y10.故函数yx在x处取得极小值也是最小值2.由题意知24,解得a4.5分析:函数f(x)x32ax2a2x在x1处有极大值,则x1是f(x)3x24axa20的根,将x1代入上式,求出a的值,要验证函数f(x)是否在x1处取得极大值解:f(x)3x24axa2.由题意得34aa20,解得a1或a3.验证知当a1时,函数f(x)在x1处取得极小值,不满足题意,故舍去a1;a3时,满足题意所以a3.5