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1、界首中学2013届高三第三次模拟试卷（总分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。不需写出解题过程，请把答案写在答题纸的指定位置上。1、若，且为纯虚数，则实数 解析：为纯虚数，故得分数2、设集合 ，则 （2,3）3、某市高三数学抽样考试中，对分及其以上的成绩情况进行统计，其频率分布直方图如右下图所示，若分数段的人数为人，则分数段的人数为 解析：根据直方图，组距为，在内的，所以频率为，因为此区间上的频数为，所以这次抽考的总人数为因为内的，所以频率为，设该区间的人数为，则由，得，即分数段的人数为 4、已知在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积是9，
2、则常数的值为_15、已知一颗骰子的两面刻有数字1，两面刻有数字2，另两面刻有数字3，现将骰子连续抛掷3次，则三次的点数和为3的倍数的概率为_ 6、已知某算法的流程图如右图所示，则输出的最后一个数组为_ 7、设等比数列的公比为，前项和为则“”是“”的 （充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件或既不充分也不必要条件）充分而不必要条件第8题图8、如图所示的“双塔”形立体建筑，已知和是两个高相等的正三棱锥， 四点在同一平面内要使塔尖之间的距离为m，则底边的长为 m【解析】由正三棱锥的概念知，顶点在底面的射影分别是正三角形和正三角形的中心，因为高相等，所以塔尖之间的距离即为两个正三角形中心间的
3、距离，由平面几何易知，底边的长为9、若椭圆的左、右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成两段，则此椭圆的离心率为 解析：根据题意，可得，解得10、若实数、满足，则的最大值是 411. 已知直线xa(0a)与函数f(x)sinx和函数g(x)cosx的图象分别交于M，N两点，若MN，则线段MN的中点纵坐标为 12、设是定义在上的奇函数，且当时，若对任意的不等式恒成立，则的最大值为 -413如图，两射线互相垂直，在射线上取一点使的长为定值，在射线的左侧以为斜边作一等腰直角三角形在射线上各有一个动点满足与的面积之比为，则的取值范围为_14已知定义在上的函数和满足，令，则使数列的前项和超过15/16的最
4、小自然数的值为5解题探究：本题主要考查函数与导数以及等比数列的定义、通项公式与前项和公式等基础知识，考查运算能力以及灵活地运用所学知识分析问题、解决问题的能力求解本题，关键在于根据题设条件求出的值，从而得到数列的通项公式解析：，且，从而有，又，知为减函数，于是得，由于，故得使数列的前项和超过的最小自然数二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）已知锐角中的三个内角分别为设，求证是等腰三角形；设向量,，且,若，求的值16（本小题满分14分）在直三棱柱中，AC=4,CB=2,AA1=2，E、F分别是ABCEFP的中
5、点（1）证明：平面平面；（2）证明：平面ABE；（3）设P是BE的中点，求三棱锥的体积16.（1）证明：在，AC=2BC=4, ， 由已知， 又 5分（2）证明：取AC的中点M，连结在,而，直线FM/平面ABE在矩形中，E、M都是中点， 而，直线又 故 10分（或解：取AB的中点G，连结FG，EG，证明 EG，从而得证）（3）取的中点，连结，则且，由（1）， P是BE的中点， 14分17. （本题满分14分）如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为(其中点P、Q分别在边BC、CD上)，设，探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积(平方百米)
6、。(1) 将表示成的函数；(2) 求的最大值。18.（本题满分16分）已知椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. 不过A点的动直线交椭圆于P,Q两点（1）求椭圆的标准方程；（2）证明P,Q两点的横坐标的平方和为定值；（3）过点 A,P,Q的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点坐标.18.解：（1）设椭圆的标准方程为.由题意得.2分, , 2分 椭圆的标准方程为.4分（2）证明：设点将带入椭圆，化简得：,6分 , P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.8分（3）(法一)设圆的一般方程为:,则圆心为（）,PQ中点M(), PQ的垂直平分线的方程为
7、:, 9分圆心（）满足，所以,10分圆过定点(2,0)，所以,11分圆过, 则 两式相加得： ,12分, .13分因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以，由解得: 14分代入圆的方程为：,整理得：,15分所以： 解得：或(舍). 所以圆过定点(0,1).16分(法二) 设圆的一般方程为:,将代入的圆的方程:.9分方程与方程为同解方程., 12分圆过定点(2,0)，所以 , 13分 因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以.解得: ,14分 (以下相同)【说明】本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系；考查定点定值问题；考查运算求解能力和推理论证能力.19.
8、（本小题满分16分）已知函数（1）当时，求的单调区间（2）设，当时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围解：（1）= 令 由 解得 2分1）当时，恒成立，此时，函数在上单调递减2）当时，当时，此时，函数单调递减当时，此时，函数单调递减当时，此时，函数单调递减 6分（2）因为由（1）知当时，函数单调递减当时，函数单调递增在上的最小值为 8分由于“对任意存在，使”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值” 10分又，所以1）当时，因为，此时矛盾2）当时，因为，同样矛盾3）当时，因为，解不等式，可得综上所述，的取值范围是 16分20(本小题满分16分)对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,m），
9、即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,m）.求证：（k=1,2,m）；（3）设m=100，常数.若，是的控制数列，求.解（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. 3分（2）因为， 所以. 5分 因为， 所以，即. 因此，. 8分（3）对，； ；. 比较大小，可得. 10分 因为，所以，即； ，即. 又，从而，. 13分 因此 = = =. 16分9
