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1、一?基础知识 ?角形的心是指重心?外心?垂心?旁心和界心?角形的心是?角形的重要几何点在数 学竞赛中，有关?角形的心的几何问题是竞赛的热点问题，因?，?们对?角形的心的几何 性质做概括归纳，对有关的证明方法和解题技巧做深入探讨 1重心?设G是ABC的重心，AG的延长线交BC于D，则 DCBD =) 1 (， ? 2?3:2:=ADAG ? ?3? 4 22 222 2 BCACAB AD + =， ?4? 3 ABC GBC S S = 2.外心?设O?R?是ABC的外接圆，BCOD于D交O于E，则 ?1?ROCOBOA=? ?2?ABOC=2或)180(2 0 A? ?3?DCBD = BE
2、称 EC? ?4?CBAR R abc S ABC sinsinsin2 4 = ?弦定理? 3.内心?设ABC的内心圆I?)r?边AB于P，AI的延长线交外接圆于D，则 ?1?ABIC+= 2 1 90;(2)acba acb ArAP+= + =)( 2 1 22 1 cot (3)DCDIDB=?(4) 2 )(cbar S ABC + = ; 4.垂心?设HGO,?别是ABC的外心，重心，垂心，BCOD于D，AH的延长线交 外接圆于 1 H，则 ?1?ODAH2=? ?2?H? 1 H关于BC?轴对? ?3?=BCHABC? ?4?,HGO?点共线，且2:1:=GHOG? 5旁心?设A
3、BC在A内的旁?圆 1 I?) 1 r?AB的延长线?于 1 P，则 ?1?ACBI= 2 1 900 1 ? ?2? 22 11 cbaA ctgrAP + = =? ?3? 2 1 cba BP + =? ?4? 2 1 C BAI =? ?5? 2 )( 1 acbr S ABC + = 6?角形中内?圆?旁?圆和外圆半径的几个关系 在ABC中， 内?圆O?别?边相?于点KM,L，BC边?的帝?圆 a O?BC边 ?于点H，且?别?AB边和AC这的延长线相?于点Q?点P设?边BC?CA?AB ?别为cba,，CBA,?别为,，)( 2 1 cbap+=，内?圆半径为r，旁? 圆半径?别为
4、 cba rrr,，外接圆半径为R，?角形面?为 S，则有如?关系式? ?1?pAP=，apAK=，cbLH=? ?2? ap rp ra =? ?3?直角?角形斜边?的旁?圆的半径等于?角形周长的一半? ?4?)( 1 cpbp r ra=? ?5? cba rrrr 1111 =? ?6? 2 tan 2 tan = r ra 7界心 如果?角形一边?的一点和这边对的顶点把?角形的周界?割为两条等长的折线， 那? 就?这一点为?角形的周界中点 其中?角形的周界是指由?角形的?边所?的围 由于 ?角形的任意两边之和大于第?边，可知?角形任一边?的周界中点必介于这边两端点之 间 ?角形的顶点?
5、其对边的周界中点的连线， ?角形的周界中线 ?有时也?周界中线所 在直线为?角形的周界中线? ?角形的周界中线交于一点 定?角形的周界中线的交点为?角形的界心 二?例题?析 例 1设ABC的外接圆O的半径为R，内心为I， =60B，CA，A的外角平?线交圆O于E， 证明? ?1?AEIO=? ?2?RICIAIOR)31 (2+ ?证明? ?1?延长BI交外接圆于M，连结AmOMOA,，易 知=60BAOM，故AOM为?角形， ?CMAMOAOM=易证MAIMIA=，?MIMA= 同理，MIMC=，即CIOA,在以M为圆心，R为半径的圆?， 设AI的延长线交 BC于F， 则AF?AE?别为A的
6、内? 外角平?线，=90EAF， 即EF为O的直径，?AOEOFIOAI= 2 1 又在M中，OMIOAI= 2 1 ，?OMIAOE=，但M?O为等圆，故 OIAE= ?2?连接FC，同?易证FCIF=，又=60ABCIFC，?IFC为等边? 角形，IFIC= ?)60( 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 =CAMOAMIOMIAOEAFE 记AFE为 ?AFAEAFIAAEICIAIO+=+=+ )cos(sin2cos2sin2+=+=RRR )15 2 sin(22)45sin(22+=+= C RR 由CA知，12060C，从而有60 2 1 30C， O B A C I M F
7、 E 即+7515 2 1 45C ?+75sin2245sin22RICIAIOR，又 4 62 75sin + = 故RICIAIOR)31 (2+=+IMBMBIRSSIRI ?面讨论界心的两个性质 例 6 设FED,?别为ABC的ABCABC,边?的周界中点，R?r?别为ABC 的外接圆和内?圆半径，则 ?1? R r S S ABC DEF 2 = ? ?2? ABCDEF SS 4 1 ?证明?设aBC=，bCA=，cAB=，cbap+=2，则由题设条件易知 = = = apBFCE bpAFCD cpAEBD 由?角形面?比的性质，有 bc cpbp ABAC AFAE S S
8、ABC AEF )( = = 同理有? ca apcp S S ABC BFD )( = ? ab bpap S S ABC CDE )( = 从而?)(1 ABC CDE ABC BFD ABC AEF ABC DEF S S S S S S S S += )()()( 1 ab bpap ca apcp bc cpbp + + = abc abcpcabcabp2)(22 2 + = 把?角形恒等式 22 4rRrpcabcab+=+和pRrabc2=代入并整理，得 R r S S ABC DEF 2 = 由欧拉?等式rR2，得 ABCDEF SS 4 1 ?训?题 1已知H是ABC的垂心
9、，且BCAH =，试求A的度数 2FED,?别为ABC的边ABCABC,?的点，且AFDE=，BDEF=，又 设AEF?BDF?CED均为锐角?角形，它们的垂心依次为 321 ,HHH，求证? ?1?EFHDHH 132 =? ?2?DEFHHH 321 3已知O内?于ABC的外接圆O，并且?ACAB,?别相?于QP,证明ABC 的内心I平?PQ 4已知ABC中，高AD在其内部，过ABD?ACD的内心 21,I I引直线?别交 ACAB,于FE, ?1?若=90BAC，则AFAE=? ?2?若AFAE=，则=90BAC也?立吗？若?立，请证明?若?立，请说明理由， 并指出?立的情形 5已知ABC的内?圆I?BC边?于D，DE是I的直径，AE的延长线交BC于 F，求证?CFBD= 6在等腰ABC中，BCAC=，O是它的外心，I是它的内心，点D在BC边?，使得 OD?BI垂直，证明?直线ID?AC平行
