《关于牛顿世界观万有引力作用等效于质点的证明.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《关于牛顿世界观万有引力作用等效于质点的证明.pdf（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、关于牛顿世界观万有引力作用等效于质点的证明 武汉二中 王尤睿 高中学习里我们已经知道在处理行星间万有引力的力学问题时，各个行星可看作质点（其重心） ，以便 于计算，高中人教版教材必修 2 中已明确指出实心球间万有引力作用可等效于其球心（质点）进行处理， 下面给出详细证明： 证明： 1.建立圆环与质点模型（微元思想） 假设有一圆环（厚度不计,质量均匀）半径为 r，圆环质量为 m，现有一质点 A 与圆环圆心连线垂直于 圆环所在平面质量为 M，与圆心距离为 R，如图，现将圆环分成 n 份，每份长度为 dx，质量为 dm，则有： 2.建立圆片与质点模型（积分） 假设有一圆片（厚度不记,质量均匀）半径为
2、 r，原片质量为 m，现有一质点 A 与元片圆心连线垂直于 圆片所在平面质量为 M，与圆心距离为 R，如图，现选取圆片内某一圆环，半径设为 x，半径为 dx（0） 3.建立实心球与质点模型（积分） 假设有一实心球体（质量均匀）半径为 r，质量为 m，现有一质点 A 与球体球心相距 R，以球心与质点 连线为横轴建立直角坐标系，质点 A 质量为 M，如图 当n时，每份都可看作为质点，则对每份质点，有： 22 r dm R M GF，竖直方向上分离为 22 r R R FF 则对整个圆环，圆环收质点 A 在竖直方向上的合力为 3 2 - 22 rmn）（ 合 RRGMFF 由对称性可得圆环在水平方向
3、收的力为 0 所以， 合合 FF mdm r n 2dxn 此圆环面积为： dxx2dxdxx2- 2 xdxx ）（SSS 此圆环收到质点 A 引力为： 3 2 - 22 2 xm r dxx2 RRGMF 引 于是，对圆环面积求定积分 ）（ 合 22 2 r 0 3 2 - 22 2 r 1 - 1 r m2 xm r dxx2 R R R GM RRGMF 即圆片受质点 A 引力大小 万有引力作用质点等效证明 Page1 武汉二中王尤睿 现选取球体上某一圆片，圆片圆心与球心距离 x，再选取一圆片圆心距离球心 x+dx（dx0） 那么由这两个圆片组成的圆台可看作圆柱，有 圆柱地面半径 22 0 x-rr ，圆柱高 h=dx,圆柱体积dxx-r 22 ）（ 柱 V 此圆柱所受质点 A 引力大小为） ）（ （ 球 222 22 x-rx- 1 - x- 1 x-r x m2 R R R V V GMF 于是对球体所受 A 引力求定积分， 2 r r - 222 22 3 22 r Mm G dx x-rx- 1 - x- 1 x-r x m r 3 4 x-r 2 ） ）（ （ ）（ 合 R R R GMF 此时，球体所受合力与等质量其球心所受质点 A 引力大小相同 所以，实心球间万有引力作用可等效于其球心（质点） 证毕 万有引力作用质点等效证明 Page2 武汉二中王尤睿
