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1、山西省阳泉市2013高三第二次调研考试试题理科数学一、选择题1已知集合Ax|xa,Bx|1x2,且A(RB)R,则实数a的取值范围是()Aa1 Ba22. 复数z(i是虚数单位)则复数z的虚部等于( )A1 Bi C2 D2i3已知三棱锥的底面是边长为的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为( )A B C D 4. 已知随机变量服从密度函数为的正态分布,其中参数 ,如果,则( )A. B. C. D. 5. 已知圆的半径为,椭圆的左焦点 为,若垂直于轴且经过点的直线与圆相切,则的值为( )ABCD6. 下列结论错误的是()A命题“若,则”与命题“若非,则非”互为逆否命题B命题
2、,则是假命题C为得到函数的图象,只需把函数的图象向右平移个长度单位D若函数的导函数为为的极值的充要条件是7. 已知函数,且函数有且仅有两个零点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.8. 在中,分别为ABC的对边,如果,成等差数列,B=30,的面积为,那么等于( )A B CD9. 若,定义一种向量积:,已知,且点在函数的图象上运动,点在函数的图象上运动,且点和点满足:(其中O为坐标原点),则函数的最大值及最小正周期分别为 A B C D10. 过双曲线的左焦点,作圆 的切线,切点为,延长交双曲线右支于点,若,则双曲线的离心率为( )A B C D 否n=0, s=0n10000x=r
3、and( ), y=rand( ) s=s+1P=s / n输出P结束开始是是否 n=n+111. 利用随机模拟方法可估计某无理数m的值,为此设计如右图所示的程序框图,其中rand( )表示产生区间(0,1)上的随机数, P为s与n之比值,执行此程序框图,输出结果P是m的估计值,则m是 ( )A. B. C. ln2 D. lg3 12已知在处取最大值,以下各式正确的序号为( ) A B C D二、填空题13已知N的展开式中含的项为第3项,则的值为 14设,满足约束条件,向量,且,则的最小值为 .15. .如果一个位十进制数的数位上的数字满足“小大小大小大”的顺序,即满足:,我们称这种数为“波
4、浪数”;从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数,这个数为“波浪数”的概率是 .16.如图,在平行四边形中,,若将其沿折成直二面角 ,则三棱锥的外接球的体积为 _ .三、解答题17 (本小题满分12 分)已知各项都不相等的等差数列的前项和为,且为和的等比中项()求数列的通项公式;()若数列满足,且,求数列的前项和18(本小题满分12分).空气质量指数(单位:)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,根据现行国家标准GB3095 2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米 75毫克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量
5、为超标。从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:PM2.5日均值(微克/立方米)25,35(35,45(45,55(55,65(65,75(75,85频数311113()从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽取3天,求恰有1天空气质量达到一级的概率;()以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量状况,则一年(按366天算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级;(精确到整数)()从这10天的数据中任取3天数据,记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求的分布列和数学期望求.19.(本题满分12分)如图,在三棱柱
6、中,是边长为的等边三角形,平面,分别是,的中点. ()求证:平面;()若为上的动点,当与平面所成最大角的正切值为时,求平面 与平面所成二面角(锐角)的余弦值.20.(本题满分12分)已知点,是抛物线上相异两点,且满足()若的中垂线经过点,求直线的方程;()若的中垂线交轴于点,求的面积的最大值.21. (本小题满分12分)已知函数()当时,求函数的最小值;() 当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分22(本小题满分10分)【选修41:几何证明选讲】如图,直线过圆心,交于,直线交于,(不与重合),直线与相切于,交于,且与垂
7、直,垂足为,连结.求证:(); (). 23. (本小题满分10分)选修44:极坐标和参数方程已知直线的参数方程为 (为参数),曲线的极坐标方程为 ()求曲线的普通方程;()求直线被曲线截得的弦长.24(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数. ()解不等式;()对于实数,若,求证参考答案一、选择题题号123456789101112答案CAABDDCBDACB二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17(本小题满分12 分)解:(1)设等差数列的公差为,则 解得 . 4分 (2) 由, , , 8分,.12分18(本小题满分12分).解析:()记“从10天的PM2.5日均监
8、测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一级”为事件, . 4分()依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为,一年中空气质量达到一级或二级的天数为,则, 6分,一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级。 8分()依据条件,服从超几何分布:其中,的可能值为,其分布列为: , 10分 。 12分19.(本题满分12分)()证明:取的中点,连接、.为的中点,且. ,且,. 四边形是平行四边形. . 平面,平面,平面. 4分()解:平面,平面,. 是边长为的等边三角形,是的中点, ,. 平面,平面,平面, 为与平面所成的角. ,在Rt中,当最短时,的值最大,则最大. 6分当时,最大
9、. 此时,. 在Rt中,.RtRt, ,即. .8分以为原点,与垂直的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立空间直角坐标系.则,.,.设平面的法向量为,由,得 令,则.平面的一个法向量为. 10分平面, 是平面的一个法向量. 平面 与平面所成二面角(锐角)的余弦值为. 12分20. (本题满分12分)解析:(I)当垂直于轴时,显然不符合题意,所以可设直线的方程为,代入方程,得 ,2分 得:,直线的方程为. 中点的横坐标为1,中点的坐标为. 4分 的中垂线方程为, 的中垂线经过点,故,得. 直线的方程为. 6分()由(I)可知的中垂线方程为,点的坐标为, 因为直线的方程为,到直线的距离
10、.由 得, 8分, , 设,则,10分,由,得,在上递增,在上递减,当时,有最大值.当时, 12分21(本题满分12分)解:()由题知函数的定义域为,当时, ,令解得或(舍).当时,此时函数单调递减,当时, 此时函数单调递增,的极小值为, 此即为函数的最小值. 4分() 由不等式可得: ,化简得:, 6分, 构造函数 . 8分 只需在为增函数即可, . 10分即在上恒成立,即, 。 12分22解析()连结BC,AB是直径,ACB=90,ACB=AGC=90.GC切O于C,GCA=ABC.BAC=CAG. 5分()连结CF,EC切O于C, ACE=AFC.又BAC=CAG, ACFAEC.,AC2=AEAF. 1023.解析:()由曲线,得, 化成普通方程为.()方法一:吧直线参数方程化为标准参数方程为(为参数), 把代人得:,整理,得:.设其两根为,则从而弦长为.方法二:把直线的参数方程化为普通方程为,代人,得.设直线与曲线交于,则,