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1、石景山区20102011学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）考生须知1. 本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟2. 本试卷共6页各题答案均答在答题卡上题号一二三总分151617181920分数第卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（）A B CD2已知复数，则复数的模为（）ABCD+3一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：），则此几何体的体积是（）ABCD 4从名男同学和名女同学中，任选名同学参加体能测试，则选出的名同学中，既有男同学又有女同学的概率为（） ABCD5下列说法中，正确
2、的是（ ） A命题“若，则”的逆命题是真命题B命题“，”的否定是：“，”C命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题D已知，则“”是“”的充分不必要条件6已知函数的图象如图所示，则等于（）ABCD7已知为坐标原点，点与点关于轴对称，则满足不等式的点的集合用阴影表示为（ ）图1图2图38下图展示了一个由区间到实数集R的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1）；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合（从到是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点的坐标为（如图3），图3中直线与x轴交于点，则的象就是，记作 则下列命题中正确的是（ ）A B是奇函数C在其定义
3、域上单调递增 D的图象关于轴对称第卷 非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分 9已知，则 10阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果 输入，则输出的结果为 ， 如果输入，则输出的结果为 11已知直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为 ，离心率为_12已知的三边长分别为， ，则的值为_13 14已知函数，则 ，若，则 （用含有的代数式表示）三、解答题：本大题共6个小题，共80分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）已知函数（）求的值；（）若，求的最大值；（）在中，若，求的值16（本小题满分13分）某地区举办科技创新大赛，有50件
4、科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为，“实用性”得分为，统计结果如下表：作品数量 实用性1分2分3分4分5分创新性1分131012分107513分210934分1605分00113（）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；（）若“实用性”得分的数学期望为，求、的值17（本小题满分14分）已知直四棱柱，四边形为正方形，为棱的中点（）求证：平面；（）设为中点，为棱上一点，且，求证：平面； （）在（）的条件下求二面角的余弦值18（本小题满分13分）已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为 （）求椭
5、圆C的标准方程；（）若直线：与椭圆交于不同的两点（不是椭圆的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出定点的坐标19（本小题满分13分）已知函数（）若，求曲线在点处的切线方程； （）求的极值； （）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围20（本小题满分14分）如图，是曲线上的个点，点在轴的正半轴上， 是正三角形(是坐标原点) .（）求；（）求出点的横坐标关于的表达式；（）设，若对任意正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.yxOA0P1P2P3A1A2A3石景山区20102011学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大
6、题共8个小题，每小题5分，共40分题号12345678答案二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分 题号91011121314答案，注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）解：（） 4分 （） 6分， 当时，即时，的最大值为 8分（），若是三角形的内角，则， 令，得，或，解得或 10分由已知，是的内角，且， 11分 又由正弦定理，得 13分16（本小题满分13分）解：（）从表中可以看出，“创新性为分且实用性为分”的作品数量为件，“创新性为分且实用性为分”的概率为 4分（）由表可知“实
7、用性”得分有分、分、分、分、分五个等级，且每个等级分别有件，件，件，件，件 5分“实用性”得分的分布列为：又“实用性”得分的数学期望为， 10分作品数量共有件， 解得， 13分17（本小题满分14分）解：（）四棱柱为直四棱柱， ， . ， . ， . .又 ， . 4分（）以为原点，为轴，为轴，为 轴，建立空间直角坐标系. ，. 由（）知：为面的法向量， 6分 . .又面， 面. 8分（） 设平面的法向量为，则 ，. ,即. ,即. 令，解得：， . 12分 . 二面角的余弦值为. 14分18（本小题满分13分）解: （）设椭圆的长半轴为，短半轴长为，半焦距为，则 解得 椭圆C的标准方程为 4
8、分（）由方程组 消去，得 6分由题意， 整理得： 7分设，则， 8分由已知， 且椭圆的右顶点为， 10分即 ，也即 ，整理得解得 或 ，均满足 11分当时，直线的方程为 ，过定点，不符合题意舍去；当时，直线的方程为 ，过定点， 故直线过定点，且定点的坐标为 13分19（本小题满分13分）解：（） ， 且 1分又， 3分在点处的切线方程为：，即 4分（）的定义域为， 5分令得当时，是增函数；当时，是减函数； 7分在处取得极大值，即 8分（）（i）当，即时，由（）知在上是增函数，在上是减函数，当时，取得最大值，即又当时，当时，当时，所以，的图像与的图像在上有公共点，等价于，解得，又因为，所以 11分（ii）当，即时，在上是增函数，在上的最大值为，原问题等价于，解得，又 无解综上，的取值范围是 13分 20（本小题满分14分）解：（）. 3分yxOA0P1P2P3A1A2A3（）依题意，则，在正三角形中，有 . 5分， ， 同理可得 . -并变形得， . 数列是以为首项，公差为的等差数列. ， ，. 8分（）， .当时，上式恒为负值，当时，数列是递减数列. 的最大值为. 12分若对任意正整数，当时，不等式恒成立，则不等式在时恒成立，即不等式在时恒成立. 设，则且，解之，得 或，即的取值范围是. 14分注：若有其它
