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1、选修 第2章 第1节 知能训练提升考点一：用数学归纳法证明等式1用数学归纳法证明“12222n12n1(nN*)”的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k112k11D12222k12k2k12k解析：当nk时，等式为12222k12k1.那么当nk1时，左边12222k12k，因此只需在归纳假设两端同时添加2k，即12222k12k2k12k.答案：D2设f(x)1(xN*)求证：nf(1)f(2)f(n1)nf(n)(nN*且n2)证明：(1)n2时，左边2f(1)213，右边2f(2)2(
2、1)3，等式成立(2)假设nk时等式成立，即kf(1)f(2)f(k1)kf(k)那么当nk1时，左边(k1)f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)1(k1)f(k)1(k1)f(k1)11(k1)f(k1)即nk1时，等式亦成立由(1)(2)知对于nN*，且n2等式成立考点二：用数学归纳法证明不等式3(2010云南模拟)用数学归纳法证明不等式(n1且nN)时，在证明nk1这一步时，需要证明的不等式是()A.B.C.D.解析：(n1且nN)的左边有n项，在证明nk1这一步时，需要证明的不等式是，故选D.答案：D4当n1，且nN*时，求证：.证明：(1)当n2时，
3、左边，不等式成立(2)假设nk(k2)时，不等式成立，即.当nk1时，()()().即nk1时，不等式成立由(1)、(2)可知，原不等式对任意n1且nN*都成立考点三：用数学归纳法证明整除问题5用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步时，正确的证法是()A假设nk(kN*)，证明nk1命题成立B假设nk(k是正奇数)，证明nk1命题成立C假设n2k1(kN*)，证明nk1命题成立D假设nk(k是正奇数)，证明nk2命题成立解析：A、B、C中，k1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k2为奇数答案：D6用数学归纳法证明：(3n1)7n1(nN*)能被9整除证明：令f(
4、n)(3n1)7n1，(1)f(1)(311)71127能被9整除；(2)假设f(k)(kN*)能被9整除，则f(k1)f(k)(3k4)7k11(3k1)7k19(2k3)7k能被9整除f(k1)能被9整除，由(1)、(2)知，对一切nN*，命题成立考点四：用数学归纳法解决探索性问题7观察下式：112；23432；3456752；4567891072，则得出的结论：_.解析：各等式的左边是第n个自然数到第3n2个连续自然数的和，右边是奇数的平方，故得出结论：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)28已知数列an满足条件(n1)an1(n1)(a
5、n1)，且a26，设bnann(nN*)，求bn的通项公式解：当n1时，由(n1)an1(n1)(an1)，得a11.当n2时，a26，代入(n1)an1(n1)(an1)，得a315，同理可得a428，再代入bnann，有b12，b28，b318，b432.由此猜想bn2n2(也可由an1，a2623，a31535，a42847，猜想ann(2n1)要证bn2n2，可证anbnn2n2n，当n1时，a121211，前面已求得a11，猜想正确假设nk时，ak2k2k(k1，kN*)，则当nk1时，由已知(n1)an1(n1)(an1)，得(k1)ak1(k1)(ak1)，ak1(ak1)(2k
6、2k1)(2k1)(k1)(k1)(2k1)2(k1)2(k1)nk1时，an2n2n成立综合可知，对一切nN*，an2n2n都成立，bn的通项公式为bn2n2.1.(2009湖南)将正ABC分割成n2(n2，nN*)个全等的小正三角形(图1，图2分别给出了n2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列若顶点A、B、C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)2，f(3)_，f(n)_.解析：n3时，如图，设A、B、C三点对应的数分别为xA、xB、xC，三边上其他点对应的
7、数分别为x1、x2、y1、y2、z1、z2，中间交叉点对应的数为，则f(3)xAxBxCx1x2y1y2z1z2.因为xAxBxC1，由题意共线上的数成等差数列，x1x2xAxC，y1y2xBxC，z1z2xAxB又(x1y1)(xAxB)(xAxBxC)，f(3)3(xAxBxC)(xAxBxC).解法一：当n4时，同上依次设三边上顶点以外对应的数依次为x1、x2、x3；y1、y2、y3；z1、z2、z3.中间三点对应的数为1、2、3，则：f(4)xAxBxCx1x2x3y1y2y3z1z2z3123.由题意得x1x2x3xAxB(xAxB)同理y1y2y3(xBxC)，z1z2z3(xCx
8、A)，同分析：1(xAz1x3)，2(x1y1xB)，3(xCz3y3)，123(xAxBxCx1x3y1y3z1z3)，而x1x3xAxB，y1y3yCyB，z1z3xAxC，代入得123xAxBxC，f(4)5(xAxBxC)5，由f(1)1，f(2)2，f(3)，f(4)5，即f(1)23，f(2)34，f(3)45，f(5)56，由此猜想an(n1)(n2)解法二：逐步调整，不妨假设xAxBxC，共(n1)(n2)个顶点，f(n)(n1)(n2)答案：；(n1)(n2)2(2009安徽)首项为正数的数列an满足an1(a3)，nN.(1)证明：若a1为奇数，则对一切n2，an都是奇数；
9、(2)若对一切nN都有an1an，求a1的取值范围解析：(1)已知a1是奇数，假设ak2m1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得ak1m(m1)1是奇数根据数学归纳法，对任何nN；an都是奇数(2)解法一：由an1an(an1)(an3)知，an1an当且仅当an1或an3另一方面，若0ak1，则0ak11；若ak3，则ak13.根据数学归纳法，0a110an1，nN，a13an3，nN.综合所述，对一切nN都有an1an的充要条件是0a11或a13.解法二：由a2a1，得a4a130，于是0a11或a13.an1an，因为a10，an1，所以所有的an均大于0，因此an1an与anan1同
10、号根据数学归纳法，nN，an1an与a2a1同号因此，对一切nN都有an1an的充要条件是0a11或a13.3(2009陕西)已知数列xn满足x1，xn1，nN*.(1)猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论；(2)证明：|xn1xn|()n1.解析：(1)由x1及xn1得x2，x4，x6.由x2x4x6猜想：数列x2n是递减数列下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，已证命题成立(2)假设当nk时命题成立，即x2kx2k2，易知xn0，那么x2k2x2k40，即x2(n1)x2(n1)2.也就是说，当nk1时命题也成立结合(1)和(2)知，命题成立(2)证明：当n1时|xn1xn|x2x1|，
11、结论成立；当n2时，易知0xn11，1xn12，xn，(1xn)(1xn1)(1)(1xn1)2xn1，|xn1xn|xnxn1|()2|xn1xn2|()n1|x2x1|()n1.1.已知函数f(x)x2x2，数列an满足递推关系式：an1f(an)(nN*)，且a11.(1)求a2、a3、a4的值；(2)用数学归纳法证明当n5时，an2；(3)证明当n5时，有 n1.解：由a11及an1aan2计算，得a2，a3，a4.(2)证明：a5()222(1)22，即当n5时，结论成立假设结论对nk(k5)成立，即ak2.an1(an1)2，函数f(x)(x1)2在(1，)上递增，ak1(21)222，即当nk1时结论也成立由知，不等式an2对一切n5都成立(3)证明：当n5时，an2，n.又由an1aan2，得，且a11. ()1n1.2已知数列an满足：a11，an1an(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)证明：an1；(3)设Tnan，且knln(1Tn)T，证明：.解：(1)由an1an，得2n1an12nann，令bn2nan，有bn1bnn，bnb1(b2b1)(bn1bn2)(bnbn1)b1123(n1)b1n(n1)又b1
