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1、用心 爱心 专心- 1 - 九年级上第一章第四节九年级上第一章第四节角平分线角平分线 试题资料库： 例 1.如下图，AP、BP 分别平分ABO 的外角，AOB40，则AOP 。 解：20 例 2.如图ABC 中，ABAC，BD、CE 分别是ABC 两底角的平分线，求证：BDCE。 证明：ABC 中ABAC ABCACB. 又BD、CE 分别平分ABC 和ACB ACBABC 2 1 2, 2 1 1 12 在BDC 与CEB 中 21 CBBC EBCDCB BDCCEB（ASA） BDCE 例 3. 已知：如图，C=90B=30，AD 是 RtABC 的角平分线。求证：BD=2CD。 用心
2、爱心 专心- 2 - 分析：根据已知条件可求出BAC 的度数，再由 AD 是 ABC 的角平分线，可分别求出上图中其余 各角的度数，再证明结论就容易了。 证明：由C=90，B=30，知BAC=60。 因 AD 是 ABC 的角平分线，故BAD=CAD=30。则B=BAD。可知 AD=BD。 在 ADC 中，DAC=30，C=90，则 AD=2CD。故 BD=2CD。 引申：该题中，若条件不变，如上图，从 D 点向 AB 作垂线交 AB 于点 E，请问： ADEADC 是否成立？BD=2DE 是否成立？ 不难看出，因为 AD 是 ABC 的角平分线，由角平分线的性质可知 DE=DC，则 ADE
3、与 ADC 全等 的条件可轻松找到，BD=2DE 显然也成立。这是在特殊角三角形的情况下考虑的，若推广到一般三角形 的情况，解答该题的主要依据“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”依然是一个重要的解题 条件。 例 4. 已知：如下图，ABC 的外角CBD 和BCE 的平分线相交于点 F。 求证：点 F 在DAE 的平分线上。 分析：该题图比较简单，单从上图中很难看出应该怎么证明结论。但问题既然涉及角平分线，我 们很容易想到定理“在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上” ，所以不妨 过点 F 分别作 BD，BC，CE 的垂线段，这样就找到了解决问题的切入点。 用心 爱心
4、 专心- 3 - 证明：如上图，过点 F 分别作 BD，BC，CE 的垂线段 FG，FH，FM。 因 BF 是CBD 的平分线，所以 FG=FH。同理 FH=FM，则 FG=FM。 因点 F 在DAE 内，且点 F 到 AD，AE 的距离相等，故点 F 在DAE 的平分线上。 引申：该题中，若条件不变，请问：A 与BFC 有怎样的数量关系？ 请同学们进一步探索。 例 5. 已知：如图 1 所示，ABC，ACB 的平分线交于 F，过 F 作 DE/BC，交 AB 于 D，交 AC 于 E，求 证：（1）BD+EC=DE A D E F 3 1 2 B C 图 1 （2）若将已知改为过一内角和一外
5、角平分线交点作平行线，如图 2 所示，那么 DB、EC 和 DE 之间还存 在怎样的关系。 A E D F B C 图 2 （3）若将已知改为过两个外角平分线交点作平行线如图 3 所示，那么 DB、CE、DE 之间还存在什么关 系。 用心 爱心 专心- 4 - A B C D F E 图 3 证明：（1）DE/BC，2=3 1=2，1=3 BD=DF，同理 FE=EC BD+EC=DF+FE=DE （2）DE=BDCE （3）DE=BD+CE 例 6. 如图所示，ABC 的边 BC 的中垂线 DF 交BAC 的外角平分线 AD 于 D，F 为垂足，DEAB 于 E， 且 ABAC，求证：BEA
6、C=AE D A E B F C 证明：过 D 作 DNAC 垂足为 N，连结 DB、DC 则 DN=DE，DB=DC 又DEAB，DNAC Rt DBERt DCN BECN ADADDEDN 又， Rt DEARt DNA ANAE BEACANACAE BEACAE 用心 爱心 专心- 5 - D N A E B F C 例 7. 已知：如图所示 PA、PC 分别是ABC 外角MAC 和NCA 平分线，它们交于 P，PDBM 于 D，PFBN 于 F，求证：BP 为MBN 的平分线。 M D A P B C F N 证明：过 P 作 PEAC 于 E PA、PC 分别是MAC 与NCA
7、的平分线且 PDBM，PFBN PD=PE，PF=PE PD=PF 又PDBM，PFBN 点 P 在MBN 的平分线上 即 BP 为MBN 的平分线 M D A P E B C F N 例 8. 如图 DE 是ABC 的 AB 边的垂直平分线，分别交 AB、BC 于 D、E，AE 平分 30BBAC，若 ， 求C 的度数。 用心 爱心 专心- 6 - 解答：DE 是 AB 的垂直平分线 EAEBABE1 30B 301 又 AE 平分BAC 21 30 即BAC 60 C 180BBAC 90 例 9. 如图 BD 是ABC 的角平分线，DE/BC 交 AB 于 E。求证：BED 是等腰三角形
8、。 证明：BD 是ABC 的角平分线 EBDDBC DE/BC EDBDBC EBDEDB EBED，即BED 是等腰三角形 例 10. 已知：P 是AOB 内一点，PDOA，PE OB，D，E 分别是垂足，且 PDPE，则点 P 在AOB 的 平分线上，请说明理由。 分析：“点在线上”的另一种说法是“线经过点” 。直接说明点 P 在AOB 的平分线上不易说明， 可以反过来先过 P 作射线 OP，说明 OP 平分AOB，这样就相当于说明了点 P 在角的平分线上。此时问 题就转化为说明DOPEOP。 解：作射线 OP。 用心 爱心 专心- 7 - PDOA，PE OB PDOPEO90 PDPE
9、，OPOP RtPDORtPEO（HL） DOPEOP 即 P 点在AOB 的平分线上。 归纳：在直接说明某个问题有困难时，我们常常把问题进行转化成可以直接说明的问题来解决。 例如：请说明三角形的三个角的平分线刚好相交于一点。我们知道两直线相交只有一个交点，于 是两个角的平分线 CD、BE 相交于点 O，想说明第三个角的平分线也刚好经过 O 点不易，因此可转化为 “连结 OA，说明 AO 平分CAB” ，即说明OABOAC，就相当于说明了第三个角的平分线与前两个角 的平分线相交于一点。 例 11. 如下图，等腰直角ABC 中，ABAC，BD 平分ABC，DEBC 于 E。试说明：ABBE。 分
10、析：AB、BE 分别属于两个直角三角形，要说明它们相等，只要能够说明它们所在的直角三角形 全等即可。 解：等腰直角ABC 中， A90，ABAC DEBC，BD 平分ABC DADE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等） ADEB90，DADE，BDBD RtADBRtEDB（HL） ABBE。 变式：说明上题中 AB+ADBC。你能说明吗？ 用心 爱心 专心- 8 - 学习小结： 这节内容要注意两点：一是勾股定理与其逆定理表述上的区别；二是判定直角三角形全等时若使 用 HL，一定要强调直角三角形，若仍用 SAS、ASA、AAS 或 SSS 来判定直角三角形全等，则不需要强调 直角三角形。
11、例 12. 如图 1，在 RtABC 中，BAC=90，B=30，C=60，AT 平分BAC，AHBC，垂足为 H，则TAH=_。 图 1 解析：因 AHBC，所以TAH=90ATH。 由三角形外角性质可知，ATH=BBAT BAT=BAC 2 1 =（180BC） 2 1 =90（BC） 2 1 ATH=B90（BC） 2 1 TAH=90B90（BC） 2 1 =（CB） 2 1 =15 想一想，如果BAC 是锐角或者钝角，那么TAH=（CB）还成立吗？自己动手做做看。 2 1 用心 爱心 专心- 9 - 2. 过三角形角平分线所在直线上任一点向第三边作垂线，角平分线与垂线的夹角等于三角形
12、另外 两角差的绝对值的一半。 例 13 如图 2，在ABC 中，BC，AQ 平分BAC，AQ 交 BC 于点 Q，点 T 是 AQ 延长线上的一点， THBC 于点 H，试说明HTA=（CB） 。 2 1 图 2 解析：过点 A 作 AHBC，则 AH/TH。根据平行线的性质，可得HTA=AQH 由上题的结论，可得QAH=（CB） 2 1 故HTA=（CB） 2 1 例 14. 如图 1，OC 平分，P 是 OC 上一点，D 是 OA 上一点，E 是 OB 上一点，且 PD=PE，求证：AOB 。 PDOPEO180 分析：要证，、在图形的不同位置，又无平行线使它们联 PDOPEO180PDO
13、PEO 系起来，但若考虑设法把其中的一个角转化为另一个角的邻补角，问题便可以解决。由于 OC 是角平分 线，故可过 P 点作两边的垂线，构造出两个直角三角形，再证明这两个三角形全等即可。 证明：过点 P 作，垂足分别为 M、NPM OAPN OB 因 OC 是角平分线，故 PM=PNPM OAPN OB 用心 爱心 专心- 10 - 由 PD=PE，PM=PN，得Rt PMDRt PNE MDPNEP 则，而 PEOMDP MDPPDO180 PDOPEO180 点拨：遇到角平分线问题，我们可以过角平分线上的一点向这个角的两边引垂线，以便充分运用角 平分线定理。 例 15. 如图 2，在中，的
14、平分线与 BC 边的垂直平分线相交于点 P。过点 P 作ABCBAC AB、AC（或延长线）的垂线，垂足分别是 M、N。求证：BM=CN。 分析：要证 BM=CN，由图形特征可构造以 BM、CN 为边的两个三角形，并证明这两个三角形全等。 考虑的平分线与 BC 边的垂直平分线相交于点 P，于是连接 PB、PC，则利用垂直平分线和角平BAC 分线的知识即可解决。 证明：因 AP 是角平分线，故 PM=PNPM ABPN AC 又因 PD 是 BC 的垂直平分线，故 PB=PC 因 PB=PC，PM=PN，故Rt PBMRt PCN BMCN 点拨：这是一道垂直平分线与角平分线的综合运用问题。上述解答省去了两次全等的证明，相信同 学们一定能体会到线段的
