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1、运用集合的三条性质解题 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性等特性，它是我们判断一组对象能否构成集合的依据，也是解决集合中较复杂问题的理论依据下面根据以上知识解决有关问题.1.确定性对于集合问题，要确定属于哪一类集合（数集、点集或某类图形），然后再确定处理此类问题的方法对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的，对于这个集合和一个对象，这个对象是否为这个集合的元素，只有“是”与“不是”两种情况例如，“著名的数学家”，“漂亮的人”这类对象，一般不能构成数学意义上的集合，因为找不到用以判别每一具体对象是否属于集合的明确标准. 例1.用适当的方法表示下列集合 不大于6的非负整数所组成的集合 大于4
2、的所有奇数组成的集合 直角坐标系内第一象限的点组成的集合 方程(x-1)（x2-5)一。的根组成的集合 解: 0，1，2，3，4，5，6 x|x=2k1，k2且kN (x，y)|x0且y0 -，1，点评: 本题体现了集合中的元素具有确定性和互异性.在用列举法表示集合时，应把集合中的元素无重、无遗漏、不计顺序地表示出来描述法表示集合时应写清楚集合中元素的代号，说明该集合中元素的公共属性多层次描述时，应准确使用“且”，“或”等逻辑联结词2.互异性对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的，例如由1,2,3,1构成的集合为1,2，3，而不能写成1，2，3，1；又如把两个集合(1,2,3,4)，3
3、，4, 5,6,7的元素合并在一起构成一个新集合，那么这个新集合只能写成1，2, 3, 4, 5，6，7在如含参数的集合问题，多根据集合的互异性处理，有时需要用到分类讨论、数形结合的思想例2.已知集合A=a,ab,a2b，B=a,ac,ac2若A=B，求c的值分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式 解：分两种情况进行讨论 （1）若ab=ac且a2b=ac2，消去b得：aac22ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a0c22c1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又
4、相同，此时无解（2）若ab=ac2且a2b=ac，消去b得：2ac2aca=0，a0，2c2c1=0，即(c1)(2c1)=0，又c1，故c=点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正例4.求满足集合AB=a,b的集合A、B 解; 本题需对A的元素个数进行分类讨论. (1)若A=，则B=a，b (2）若Aa，则B=b，或Ba，b； 若Ab，则Bb，或Ba，b (3）若Aa，b，则Ba，或Bb，或Ba，b，或B点评: 在求AB时，只要把A和B两集合中的元素并在一起即可当然，在两集合的并集中，原两个集合的公共元素只能出现一次，不准重复若已知xAB，那么它包含3种
5、情形：xA且xB；xB且xA；xA且xB,这在解决与并集有关问题时应引起注意要有分类讨论的意识，能自觉进行分类讨论，不要漏掉空集的情况例5.已知集合A=a,a+d,a+2d,B=a,aq,aq2，其中a0，若A、B是两个相同的集合，求q的值.分析：A、B是两个相同的集合，对应元素相等，即有，由消去d解得q=1，但此时a=aq=aq2,与集合中元素的互异性矛盾；由消去d，解得q=1(舍去)或q=-1/2，故q的值为-1/2.点评: 本题中，利用集合元素的无序性和相同的两集合的元素特征，得出两个方程组，打开了解题的大门.求出q的值后，又利用元素的互异性进行检验，保证了所求结果的准确性，离开了元素分析法，必然寸步难行.3. 无序性 集合中的元素是不排序的，如集合1，2与2，1是同一个集合，但实际上在书写时还是按一定顺序书写的，如-1，0，1，2而不写成0，1，-1，2，这样写不方便，其更深刻的含义是揭示了集合元素的“平等地位”.另外,集合中的元素还具有任意性.即集合中的元素可以代表任意具体事物例如：可以代表有理数、实数、多项式、直线、平面、函数或一些物体等用心 爱心 专心
