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1、绝密 启封并使用完毕前 2015年普通高等学校招生全国统一考试（卷） 数学（文史类） 本试题卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）。第卷 1 至 2 页，第卷3 至 4 页。满分l50 分。考试时间l20 分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答 题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 第卷（选择题共 50 分） 注意事项： 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第卷共 10 小题。 一、选择题：本大题共10 个小题 ,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项 是符合题目要求的。 1.设集合|(1)(2)0Axxx，集
2、合|13Bxx，则ABU （A）1|3xx（B）| 11xx（ C）|12xx（ D ） |23xx 【答案】 A 【解析】| 12Axx，|13Bxx，| 13ABxxU，选 A. 2.设向量(2,4)a r 与向量( ,6)bx r 共线，则实数x (A)2(B)3(C) 4(D) 6 【答案】 B 【解析】由共线向量 11 ,ax y r ， 22 ,bxy r 的坐标运算可知 1221 0 x yx y， 即2 6403xx，选 B. 3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异， 是 否 开始 结束 K=k+ 1 K=1 sin 6 k S k4?
3、 输出 S 拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是 （A) 抽签法（ B）系统抽样法 （C）分层抽样法（D ）随机数法 【答案】 C 【解析】因为是为了解各年级之间的学生视力是否存在显著差异，所以选择分层抽样法。 4.设a，b为正实数，则“1ab” 是“ 22 loglogab” 的 (A) 充要条件(B) 充分不必要条件 (C)必要不充分条件(D) 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 由已知当1ab时， 22 loglog0ab ， “1ab”是“ 22 loglogab” 的充分条件。反过来由22 loglog0ab ，可得1ab，“1ab”是 “
4、22 loglogab”的必要条件，综上， “1ab”是“ 22 loglogab”的充要条件， 选 A. 5.下列函数中，最小正周期为的奇函数是 A.sin(2) 2 yxB.cos(2) 2 yx C.sin 2cos2yxxD.sincosyxx 【答案】 A 【解析】 A. cos(2)sin 2 2 yxx,可知其满足题意; B. sin(2)cos2 2 yxx,可知其最小正周期为 ，偶函数 ; C. sin2cos22 sin(2) 4 yxxx,最小正周期为，非奇非偶函 数 ; D. sincos2 sin() 4 yxxx,可知其最小正周期为2，非奇非 偶函数 .选 A 6.
5、执行如图所示的程序框图，输出S的值是 (A) 3 2 -(B) 3 2 (C)- 1 2 (D) 1 2 【答案】 D 【解析】易得当k=1,2,3,4时执行的是否，当k=5 时就执行是的步骤， 所以 51 sin 62 S，选 D. 7.过双曲线 2 2 1 3 y x的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B 两点，则AB （A） 4 3 3 （B）2 3（C）6 （D ） 4 3 【答案】 D 【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为 3yx，且右焦点(2,0) ，则直线2x与 两条渐近线的交点分别为A(2, 2 3)，B(2, 2 3)，|4 3AB ,选 D. 8.
6、某食品的保鲜时间y（单位： 小时） 与储藏温度 x（单位： C）满足函数关系 kx b ye （e=2.718为自然对数的底数，k，b为常数）。若该食品在 0 C的保鲜时间是192 小 时，在 23 C的保鲜时间是48 小时，则该食品在33 C的保鲜时间是 (A)16小时(B)20小时(C)24小时(D)21 小时 【答案】 C 【解析】 0+ 192 kb eQL L ， 22 48 kb eL L L ， 2211 42 kk ee ， 当33x时， 33kb ex L L L ， 3 33 1 24 8192 kk x eex ,选 C. 9. 设实数,x y 满足 210 214 6
7、xy xy xy ，则 xy 的最大值为 (A) 25 2 (B) 49 2 (C) 12 (D)14 【答案】 A 【解析】 由第一个条件得：2 5yx。于是， 2 525 252 22 xx xyxx， xy当且仅当 5 ,5 2 xy时取到最大值 25 2 。经验证， 5 ,5 2 xy在可行域， 选A. 10. 设直线l与抛物线 2 4yx相交于 A，B 两点， 与圆 2 22 50 xyrr相切于点 M ，且 M 为线段 AB 的中点 .若这样的直线 l恰有 4 条，则r 的取值围是 （A）1 3，（B）1 4，（C）2 3，（D ）2 4， 【答案】 D 【解析】 设 11 ,A
8、x y， 22 ,B xy，5cos , sinMrr，则 2 11 2 22 4 4 yx yx 两式相减，得： 121212 4yyyyxx，当直线l的斜率不存在时，显然符合条件 的直线l有两条。当直线l的斜率存在时，可得： 12 1212 12 2 2 sin4 sin AB yy ryyxxk xxr ，又 x y B O M C A sin0sin 5cos5cos MC r k r ， 1cos sin AB MC k k ， 2cos2 2 sinsincos r r 由于 M 在抛物线的部， 2 sin4 5cos204 cos204212rrr， sin2 3r， 2 22
9、4 sin42 3164 r rrrrr r ， 因此，24r，选 D. 第卷（非选择题共 100 分） 注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目说只是的区域作答。作图可 先用铅笔绘出，确认后再用0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试卷、草稿纸上无效。 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分。 11. 设i是虚数单位，则复数 1 i i _. 【答案】2i 【解析】由题意可知： 2 1 2 i iiiii ii 12. 2 lg0.01 log 16的值是 _. 【答案】2 【解析】 24 22 lg0.01 log 16lg10log 2242 13. .
10、 已知sin2cos0，则 2 2sincoscos 的值是 _. 【答案】 -1 【解析】由已知sin2cos0得，tan2， 2 2 222 2sincoscos2tan141 2sincoscos1 sincostan141 14. 三棱柱 111 ABCA B C中，90BAC o ，其正视图和侧视图都是边长为1 的正方形， 俯视图是直角边长为1 的等腰直角三角形，设点M,N,P分别是AB，BC， 11 B C的中点， 则三棱锥 1 PA MN的体积是 _. 【答案】 1 24 【解析】采用等积法， 11 11221 1 322424 PAMNMA PN VV 15. 已知函数2 x
11、fx， 2 g xxax(其中aR)。对于不相等的实数 1 x， 2 x，设 12 12 fxfx m xx ， 12 12 g xg x n xx ，现有如下命题： (1) 对于任意不相等的实数 1 x， 2 x，都有0m； (2) 对于任意a的及任意不相等的实数 1 x， 2 x，都有0n； (3) 对于任意的 a，存在不相等的实数 1 x， 2 x，使得nm； (4) 对于任意的 a，存在不相等的实数 1 x， 2 x，使得nm。 其中的真命题有_(写出所有真命题的序号）。 【答案】 (1) (4) 【解析】 (1) 设1x，2x, 函 数2 x y是 增 函 数 ， 12 22 xx
12、，120 xx，则 21 21 )()( xx xfxf m = 21 x 21 22 xx x 0, 所以正确； (2)设 12 xx，则 12 0 xx， 22 121122 12 1212 g xg x xaxxax nxxa xxxx 不妨我们设 12 1,2,3xxa，则60n，矛盾，所以(2)错。 (3)nm，由 (1)(2) 可得： 1212 1212 fxfxg xg x mn xxxx ，化简得到， 1212 fxfxg xg x，也即 1122 fxg xfxg x，令 2 2 x h xfxg xxax，即对于任意的a函数h x在定义域围存在有两个不 相等的实数根 1 x
13、， 2 x。则2 ln 22 x hxxaaxnx x 22l2)(h，显然当 a时， 0hx恒成立， 即h x单调递增， 最多与x轴有一个交点，不满足题意， 所以错误。 (4)同理可得 1122 fxg xg xfx，设 2 2 x h xfxg xxax，即 对于任意的 a函数h x 在定义域围存在有两个不相等的实数根 1 x， 2 x，从而h x不是 恒为单调函数。 2 ln 22 x hxxa， 2 2ln 220 x hx恒成立， hx单 调递增，又 x 时， 0h，x时， 0h。所以h x为先减后 增的函数，满足要求，所以正确。 三、简答题：本大题共6 小题，共 75 分。解答应写
14、出文字说明、证明过程或演 算步骤。 16. （本小题满分12 分） 设数列 n a的前n项和 1 2 nn Saa，且 1 a， 2 1a， 3 a成等差数列。 （）求数列 n a的通项公式； （）记数列 1 n a 的前n项和 n T，求 n T。 【解答】： （）当2n时有， 1111 2(2) nnnnn aSSaaaa 则 1 2 nn aa(2)n， 1 2 n n a a - =（2n 3） ，数列 n a是以 1 a为首项， 2 为公 比的等比数列。 又 由 题 意 得 213 22aaa， 111 2 224aaa， 1 2a， 2 n n a * ()nN （）由题意得 11
15、 2 n n a ， 1 11 1( ) 11 22 1( ) 1 22 1 2 n n n ni i T 17. （本小题满分12 分） 一个小客车有5 个座位，其座位号为1,2,3,4,5，乘客 12345 ,P PP P P的座位号为 1,2,3,4,5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客 1 P因身体原因没有坐自己号座位，这时司 机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位。如果自己 的座位已有乘客就坐，就在这5 个座位的剩余空位中选择座位. （I）若乘客 1 P坐到了 3 号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4 种坐法。下表给出其 中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处） 乘客 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 座位号 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 （II ）若乘客 1 P坐到了 2 号座位，其，他乘客按规则就坐，求乘客 5 P坐到 5 号座位的概率。 【解答】 （）当乘客 1 P坐在 3 号位置上，此时 2 P的位置没有被占，只能坐在2 位置， 3 P位置被 占，可选剩下的任何，即可选1、4、5: 当 3 P选 1 位置， 4 P位置没被占，只能选 4 位置， 5 P选剩下的，只有一种情况；当 3 P选 4 位置， 4 P可选 5 位置也可选1 位置， 5 P选剩 下的，有两种情况；当 3
