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1、余弦定理(一),授课人：淅川一高 张娟,一、实际应用问题,5km,8km,某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B、C的距离，分别是AC=5km，AB=8km ，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角， 最后通过计算求出山脚的长度BC。,思考：你能求出上图中山脚的长度BC吗？,二、化为数学问题,已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。 例：在ABC中，已知BC=a，AC=b，BCA=C 求：c（即AB）,探 究： 在ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA 的夹角为C， 求边c.,设,由向量减法的三角形法则得
2、,三、证明问题,C,B,A,c,a,b,由向量减法的三角形法则得,探 究： 若ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.,设,C,B,A,c,a,b,由向量减法的三角形法则得,探 究： 若ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.,设,同理：,D,bcosC,bsinC,a-bcosC,同理：,探 究： 在ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA 的夹角为C， 求边c.,(0，0),(a,0),(bcosC,bsinC),坐标法,同理：,余 弦 定 理,思考交流：,1、余弦定理如何用文字语言描述？ 2、余弦定理含有哪些量？已知哪些条件时可
3、 用余弦定理求解？ 3、余弦定理与勾股定理有何联系？,余 弦 定 理,三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。,剖析余弦定理：,（1）本质：揭示的是三角形三条边与某一角的关系， 从 方程的角度看，已知三个量，可以求出第四个量；,（2）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；,（3）主要解决两类三角形问题：已知三边求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边；,题型一、三角形的求解,经检验两根均符合题意,解决实际应用问题,5km,8km,某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚
4、B、C的距离，分别是AC=5km，AB=8km ，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角， 最后通过计算求出山脚的长度BC。,例2、在锐角ABC中，若a=3，b=4，求边c的取值范围。,题型二、判断三角形的形状,解：,推论：,知识提炼：,提炼：设a是最长的边，则,ABC是钝角三角形,ABC是锐角三角形,ABC是直角三角形,（1）、在ABC中，（a+b+c）（b+c-a）=3bc，则A= ( )。 （2）在ABC中,a=6,b=8,c=9求,练一练：,反馈练习,答案：,小结:,三、余弦定理可以解决的有关三角形的问题： 1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。 2、已知三边求三个角； 3、判断三角形的形状,一、余弦定理的发现与证明,课外作业： P10 A组 3、4,二、余弦定理及其推论:,四、数学思想： 化归思想、数形结合的思想、 分类讨论的思想、方程的思想,谢谢大家！,
