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1、导数的背景 一、导入新课 1.瞬时速度 问题 1：一个小球自由下落，它在下落3 秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是 2 2 1 gts（其中 g 是重力加速度） . 当时间增量t 很小时，从 3 秒到（ 3t ）秒这段时间内，小球下落的快 慢变化不大 .因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3 秒 时的速度 . 从 3 秒到（ 3t ）秒这段时间内位移的增量： 222 )(9.44.2939.4)3(9 .4)3()3(tttstss 从而，t t s v9.44.29. 从上式可以看出，t 越小， t s 越接近 29.4 米/秒；当t 无限趋近于 0 时，
2、 t s 无限趋近于 29.4 米/秒.此时我们说，当t 趋向于 0 时， t s 的极限是 29.4. 当t 趋向于 0 时，平均速度 t s 的极限就是小球下降3 秒时的速度，也叫 做瞬时速度 . 一般地，设物体的运动规律是ss（t） ，则物体在 t 到（tt ）这段时间 内的平均速度为 t tstts t s)()( .如果t 无限趋近于 0 时， t s 无限趋近于 某个常数 a，就说当t 趋向于 0 时， t s 的极限为 a，这时 a 就是物体在时刻t 的瞬时速度 . 2.切线的斜率 问题 2：P（1,1）是曲线 2 xy上的一点， Q是曲线上点 P附近的一个点，当点 Q沿曲线逐渐
3、向点P趋近时割线 PQ的斜率的变化情况 . 析：设点 Q的横坐标为 1x ，则点 Q的纵坐标为（ 1x ）2，点 Q 对于点 P 的纵坐标的增量（即函数的增量） 22 )(21)1(xxxy， 所以，割线 PQ的斜率x x xx x y kPQ2 )(2 2 . 由此可知，当点 Q 沿曲线逐渐向点 P接近时，x 变得越来越小， PQ k越来 越接近 2；当点 Q 无限接近于点 P 时，即x 无限趋近于 0 时， PQ k无限趋近于 2.这表明， 割线 PQ无限趋近于过点 P且斜率为 2 的直线 .我们把这条直线叫 做曲线在点 P处的切线 .由点斜式，这条切线的方程为：12xy. 一般地， 已知
4、函数)(xfy的图象是曲线 C， P （ 00, y x） ， Q （yyxx 00 ,） 是曲线 C上的两点，当点 Q 沿曲线逐渐向点 P接近时，割线 PQ绕着点 P转动. 当点 Q 沿着曲线无限接近点P，即x 趋向于 0 时，如果割线 PQ无限趋近于一 个极限位置 PT，那么直线 PT叫做曲线在点 P 处的切线 .此时，割线 PQ 的斜 率 x y kPQ无限趋近于切线PT的斜率 k，也就是说，当x 趋向于 0 时，割线 PQ的斜率 x y kPQ的极限为 k. 3.边际成本 问题 3：设成本为 C，产量为 q，成本与产量的函数关系式为103)( 2 qqC， 我们来研究当 q50 时，
5、产量变化q对成本的影响 .在本问题中，成本的增量为： 222 )(3300)10503(10)50(3)50()50(qqqCqCC. 产量变化q对成本的影响可用：q q C 3300来刻划，q越小， q C 越接近 300；当q无限趋近于 0 时， q C 无限趋近于 300，我们就说当q趋向于 0 时， q C 的极限是 300. 我们把 q C 的极限 300 叫做当 q50 时103)( 2 qqC的边际成本 . 一般地，设 C 是成本， q 是产量，成本与产量的函数关系式为CC（q） ， 当产量为 0 q时，产量变化q对成本的影响可用增量比 q qCqqC q C )()( 00 刻
6、划.如果q无限趋近于 0 时， q C 无限趋近于常数 A，经济学上称 A 为边际 成本.它表明当产量为 0 q时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本 的一个近似值） . 二、小结 瞬时速度是平均速度 t s 当t 趋近于 0 时的极限；切线是割线的极限位置， 切线的斜率是割线斜率 x y 当x 趋近于 0 时的极限；边际成本是平均成本 q C 当 q趋近于 0 时的极限 . 导数的概念 一、导入新课： 上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从 函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们 引出下面导数的概念。 二、新
7、授课： 1.设函数)(xfy在 0 xx处附近有定义，当自变量在 0 xx处有增量x时，则函数 )(xfY相应地有增量)()(00 xfxxfy，如果0 x时，y与x的比 x y （也叫函数的平均变化率）有极限即 x y 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函 数)(xfy在 0 xx处的导数 ，记作 0 / xx y ，即 x xfxxf xf x )()( lim)( 00 0 0 / 注： 1.函数应在点 0 x的附近有定义，否则导数不存在。 2.在定义导数的极限式中，x趋近于 0 可正、可负、但不为0，而y可能为 0。 3. x y 是函数)(xfy对自变量x在x范围内的平均变化率
8、，它的几何意义是过曲线 )(xfy上点（)(, 00 xfx）及点)(,( 00 xxfxx）的割线斜率。 4.导数 x xfxxf xf x )()( lim)( 00 0 0 / 是函数)(xfy在点 0 x的处瞬时变化率， 它反映的函数)(xfy在点 0 x处变化的快慢程度， 它的几何意义是曲线)(xfy上 点 （)(, 00 xfx） 处的切线的斜率。 因此，如果)(xfy在点0 x可导，则曲线)(xfy 在点（)(, 00 xfx）处的切线方程为)()( 00 / 0 xxxfxfy。 5.导数是一个局部概念， 它只与函数)(xfy在 0 x及其附近的函数值有关，与x无关。 6.在定
9、义式中，设xxx 0 ，则 0 xxx，当x趋近于 0 时，x趋近于 0 x，因 此，导数的定义式可写成 0 000 0 / )()( lim )()( lim)( 0 xx xfxf x xfxxf xf xxox 。 7.若极限 x xfxxf x )()( lim 00 0 不存在，则称函数)(xfy在点 0 x处不可导。 8.若)(xf在 0 x可导，则曲线)(xfy在点（)(, 00 xfx）有切线存在。反之不然，若曲 线)(xfy在点（)(, 00 xfx）有切线，函数)(xfy在 0 x不一定可导，并且，若函 数)(xfy在 0 x 不可导，曲线在点（)(, 00 xfx ）也可
10、能有切线。 一般地 ， axba x )(lim 0 ，其中ba,为常数。 特别地 ，aa x0 lim。 如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个),(bax， 都对应着一个确定的导数)( / xf，从而构成了一个新的函数)( / xf。称这个函数)( / xf为 函数)(xfy在开区间内的导函数 ，简称 导数 ，也可记作 / y，即 )( / xf / y x xfxxf x y xx )()( limlim 00 函数)(xfy在 0 x处的导数 0 / xx y就是函数 )(xfy在开区间),(ba),(bax上 导数)( / xf在 0 x处的函数值，即
11、 0 / xx y )( 0 / xf。所以函数)(xfy在 0 x处的导数也 记作)( 0 / xf。 注： 1.如果函数)(xfy在开区间),(ba内每一点都有导数，则称函数)(xfy在开区间 ),(ba内可导。 2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一 个函数在给定点的导数，就是求导函数值。 它们之间的关系是函数)(xfy在点 0 x处 的导数就是导函数)( / xf在点 0 x的函数值。 3.求导函数时， 只需将求导数式中的 0 x换成x就可， 即)( / xf x xfxxf x )()( lim 0 4.由导数的定义可知，求函数)(xfy的导数
12、的一般方法是： （1）.求函数的改变量)()(xfxxfy。 （2）.求平均变化率 x xfxxf x y)()( 。 （3）.取极限，得导数 / y x y x0 lim。 几种常见的导函数 函数的和差 积 商的导数 复合函数的导函数 1. 复合函数 : 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数 由函数)(ufy与)(xu 复合而成的函数一般形式是)(xfy，其中u称为中间变量 2. 求函数 2 (32)yx的导数的两种方法与思路： 方法一： 22 (32) (9124)1812 x yxxxx； 方法二：将函数 2 (32)yx看作是函数 2 yu和函数32ux复合函数，并分别 求对应变量的导
13、数如下： 2 ()2 u yuu，(32)3 x ux 两个导数相乘，得 232(32) 31812 ux y uuxxgg， 从而有 xux uyy 对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求yx时，就可以转化为求yu和ux 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同. 3. 复合函数的导数：设函数u=(x) 在点x处有导数ux=(x) ，函数y=f(u) 在点 x的对应点u处有导数yu=f(u) ，则复合函数y=f( (x) 在点x处也有导数，且 xux uyy或fx( (x)=f (u) (x). 证明：（教师参考不需要给学生讲） 设x有增量x，则对应的u，y分别有增量u，y，因为u=(x) 在点x可导，所 以u= (x) 在点x处连续 . 因此当x0 时，u0. 当u 0时，由 x u u y x y . 且 x y u y ux00 limlim. x u u y x u u y x u u y x y xuxxxx000000 limlimlimlimlimlim 即 xux uyy (当u0 时，也成立 ) 4. 复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量 的导数 5. 复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代
