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1、1,主讲教师: 王升瑞,高等数学,第二十七讲,2,分部积分法,3,由上节可知，,基础上得到的，,积函数是由两个不同类型函数的乘积时，如：,等，换元积分法就不一定有效了。,本节中，我们将利用两个函数乘积的微分或导数,公式推得另一个求积分的基本方法,分部积分法,换元积分法是在复合函数求导公式的,是一种应用广泛的积分法则。,但是当被,4,由微分公式,两边同时积分得:,1) v 容易求得 ;,容易计算 .,分部积分公式,设函数,具有连续导数,分部积分法,5,例1. 求,解:,则, 原式,型,6,提示:,则,原式,型,思考: 如何求,原式,7,解：原式,小结：若被积函数是幂函数,和正（余）,弦函数或指数
2、函数的乘积，可用分部积分法。并设,。这样通过一次分部积分，就可以使,幂函数的幂次降低一次。即在,中，总令,幂函数为,例2：求,8,解：原式,例3 求,9,型,解：令,原式,例4 求,10,解: 令, 则,原式 =,例5. 求,11,例6. 求,解:,原式,12,原式 =,解:,例7. 求,13,例8：求,解：原式,小结：若被积函数是幂函数与反三角函数或对数函数的乘积，即有,14,例9. 求,解:,原式,再令, 则,故 原式 =,说明: 1。也可设,为三角函数 , 但两次所设类型,必须一致 .,2.有些不定积分经过分部积分后，虽未能求出该积分，,但又出现了与所求积分相同的形式，这时可以从等式中,
3、象解代数方程那样解出所求的积分来。,15,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的顺序,前者为 后者为,反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数,16,例10. 求,解: 令,则,原式,令,（先用换元，后用分部积分）,例11 求,解: 令,原式,原式,17,说明:,分部积分题目的类型:,1) 直接分部化简积分 ;,2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;,(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ),例4,3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .,18,例11. 已知,的一个原函数是,求,解:,说明: 此题若先求出,再求积分反而复杂.,19,例12. 求,解:,令,则,20,内容小结,分部积分公式,1. 使用原则 :,2. 使用经验 :,“反对幂指三” , 前 u 后,3. 题目类型 :,分部化简 ;,循环解出;,递推公式,容易求出,比,好求。,21,思考与练习,1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?,得 0 = 1,答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 .,求此积分的正确作法是用换元法 .,22,作业,P191 1 2,
