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1、- 1 - 株洲二中 2019-2020 学年高二下学期第一次月考 文科数学试题 一.选择题 (本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求 ) 1、下列集合中，是集合 2 |50Ax xx的真子集的是（ D ） A. 2,5B. (6,)C. (0,5)D. (1,5) 2、已知条件p:3m，条件 q： 22 1 2 xy m 表示焦点在x 轴上的椭圆， 则 p是 q 的（ A ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D 既非充分也非必要 条件 3、命题“042, 2 xxRx”的否定为（ B ） A、042, 2 xxR
2、x B、042, 2 xxRx C、042, 2 xxRx D、042, 2 xxRx 4、已知椭圆方程为 22 1 259 xy 中， F1, F2分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有 焦点在x 轴上，其坐标为(4, 0)；若椭圆上有一点P到 F1的距离为 6，则 P 到 F2的距 离为 4； 长轴长为5，短轴长为3； a = 5, b=3, c = 4，( C ) A1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 5、已知椭圆的中心在原点，离心率 2 1 e，且它的一个焦点与抛物线 2 4yx的焦点重合， 则此椭圆方程为 （ A ） A1 34 22 yx B1 68 22 yx C1 2
3、2 2 y x D 1 4 2 2 y x 6、设双曲线 22 2 10 9 xy a a 的渐近线方程为 320 xy ，则 a的值为（C ） A4 B3 C 2 D1 7、设抛物线 2 8yx上一点 P 到 y 轴的距离是4，则点 P 到抛物线焦点距离是（D ） A4 B12 C8 D 6 8、已知变量x、y 满足 20 230 0 xy xy x ，则2zxy的最大值为（C ） A1B2C4D8 9、 32 ( )32f xaxx,若 41f)(,则a的值等于（D ） - 2 - A 3 19 B 3 16 C 3 13 D 3 10 10、已知函数( )sin(0)f xx的最小正周期
4、为，则该函数的图象（A ） A关于点0 ，对称B关于直线x对称 C关于点0，对称 D关于直线x对 称 11、 已知双曲线 22 1 23 xy 的左右焦点分别是 12 FF、, 过 1 F的直线l与双曲线相交于A、B两 点，则满足3 2AB的直线l有 ( C ) A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条 12、已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为F，若过点F 且倾斜角为60的直线与 双 曲 线 的 右 支 有 且 只 有 一 个 交 点 ， 则 此 双 曲 线 离 心 率 的 取 值 范 围 是 （D ） A(1,2B(1,2)C2,)D(2,) 二、填空题
5、（本大题共4 个小题，每小题5 分，共 20 分） 13、 3 24yxx在点(13)，处的切线的倾斜角为_.45 14、若 3 (,),cos 25 ，则tan() 4 = 。 24 25 15 、 与 椭 圆 22 1 4924 xy 有 公 共 焦 点 ， 且 离 心 率 5 3 e 的 双 曲 线 方 程 是 _. 22 1 916 xy 16、已知 F 是双曲线C： 22 22 1 xy ab (0,0)ab的右焦点，过点F向 C的一条渐近线引垂 线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，F 在线段 AB上，O为坐标原点，若| 2 |OBOA， 则双曲线C的离心率是 _. 2 3 3 三、
6、解答题（共 6 小题，总计 70 分） 17、 （本题满分10 分）已知命题: (1)(5)0pxx，命题:11(0)qmxm m。 （1）若 p 是 q 的充分条件，求实数m的取值范围； - 3 - （2）若 m=5 ， “pq”为真命题， “pq”为假命题，求实数x 的取值范围。 【答案】（1），4；-5分 （2）6, 51-4- ，.-10分 18、 （本小题满分12 分）已知抛物线)0(2 2 ppxy的焦点 F 与双曲线 2 2 1 3 y x的一个 顶点的重合 , 过点(4,0)M作倾斜角为45的直线l与抛物线交于A、B两点 , （1）求抛物线方程; （2）求AOB的面积 . 解：
7、 （ 1） 2 4yx-6分 （2）设),(),( 2211 yxByxA, AB 的方程为：4yx 2 4 4 yx yx 得： 2 4160yy 得 22 121212 |()444( 16)4 5,yyyyy y 12 11 |44 58 5 22 AOB SOMyy-12分 19、（本题满分12 分） 已知等差数列 n a中，公差0d， 且满足：45 32 aa，14 41 aa （ 1）求数列 n a的通项公式； （ 2）若数列 1 1 nn aa 的前 n 项和为 n S，令 16 )( n S nf n （ * Nn） ，求)(nf的最大 值. 解：（1）由题设知： 14 45
8、3241 32 aaaa aa 5 9 9 5 3 2 3 2 a a a a 或2分 0d，9,5 32 aa。 34nan5分 （2）) 14 1 34 1 ( 4 1 )14)(34( 11 1 nnnnaa nn - 4 - 14 ) 14 1 34 1 () 9 1 5 1 () 5 1 1 1 ( 4 1 n n nn Sn8 分 81 1 65 16 4 1 1665416 14 16 )( 2 n n nn n n n n n S nf n （ 当n=2时 取 =） 12分 20、 （本小题满分 12分）已知函数( )sin(2)cos(2)sin 2 ,()2 3612 f
9、xxxmxf （1）求的值； （2）在ABC中，角的对边分别为，若2,()3 2 B bf，ABC的面积是3， 求ABC的周长 . 解（） 解得： -6分 （）由（）知 ， , , , 则 又 ， 的周长为 -12分 21、 （本小题满分12 分）如图，直三棱柱 111 ABCA B C的底面是边长为2 的正三角形，,E F 分别是 1 ,BC CC的中点。（1）证明：平面AEF平面 11 B BCC； - 5 - O P A B D C M x y F1F2 （2）若直线 1 AC与平面 11 A ABB所成的角为45 o ，求： 1 A到面AEF的距离。 解答：（1）略 -5分 （2） 2
10、 3 3 -12分 22、 （本小题满分12 分）如图，椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）与一等轴双曲线相交，M 是其 中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点 12 ( 2,0),(2,0)FF，双曲线的焦点是椭圆的 左、右顶点，设P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线 12 ,PF PF的斜率分别为 12 ,k k，且 直线 1 PF和 2 PF与椭圆的交点分别为A、B 和 C、D。 （） 求椭圆和双曲线的标准方程； （） （）证明： 12 1k k； （）是否存在常数，使得ABCDABCD恒成立？若存在，求的值； 若不存在，请说明理由。 - 6 - 解析】 （ ）由题意知，
11、双曲线的a=b=2，方程为： 22 1 44 xy 椭圆 : c=2 ，即2 2a。 于是椭圆方程为 22 1 84 xy ； 4 分 （ ） （ ）设点 00 ,P x y，则 0 1 0 2 y k x ， 0 2 0 2 y k x ，则 2 000 12 2 000 224 yyy k k xxx ； 而由点 P 在双曲线上，可知 22 00 1 44 xy ，即有 22 00 4xy； 从而 2 0 2 0 1 4 y x ，故 12 1k k。 8 分 （ ）假设存在常数，使得ABCDABCD恒成立。 则由（）知 12 1k k，所以可设直线AB 的方程为2yk x，直线 CD 的方程为 1 2yx k ； 把直线 AB 的方程为2yk x代入椭圆方程，整理得 2222 128810kxk xk； 若设 11 ,A x y， 22 ,B xy，则有 2 122 8 12 k xx k ， 2 122 81 12 k x x k ； 因此 2 2 1212 14ABkxxx x= 2 2 4 2 1 12 k k ； 同理可得 2 2 4 21 2 k CD k ； 因此由ABCDABCD知 11 ABCD 222 222 122333 2 84 2 14 214 21 kkk kkk 。 所以存在常数 3 2 8 ，使得ABCDABCD恒成立。 12 分
