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1、1 第二章几何重要的不等式单元测试卷 时间 120 分钟满分 150 分 一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1下列命题正确的是( ) A. b a a b2 成立当且仅当 a，b 均为正数 Babc3 3 abc成立当且仅当a，b，c 均为正数 Clogablogbc logca3 成立当且仅当a，b，c(1 ，) D|a 1 a| 2 成立当且仅当 a0 答案D 解析当 a 2，b 1 时， b a a b2 成立，但 a，b 不是正数，故A错 当 a bc 1 时， abc3 3 abc，但 a，b，c
2、不是正数，于是B错 当 abc 1 2时， log ablogbc logca3 成立，但a，b，c 均不属于 (1 ， ) 故C 错故选D. 2设 a，bR，且 a 2b210，则 3ab 的最大值为 ( ) A 10 B 10 C 5 D 5 答案B 解析由柯西不等式，得(a 2 b2) (3212) (3a b)2 . 1010(3a b) 2， 103ab10. 故选 B. 3设 xyz 1，则 2x 23y2z2 的最小值为 ( ) A. 2 11 B. 3 11 C. 5 11 D. 6 11 答案D 4已知 a，b，x1，x2R，ab 1，x1x22，则 M (ax1bx2) (
3、bx1ax2) 与 4 的大小关 系是 ( ) AM4 B M 4 3， 5 4 6 5 7 6， 8 7 9 8 10 9 ， 3n1 3n2 3n 3n1 3n1 3n 0， ABC0 ， A 3AB C64， A4. 7若命题 A(n)(n N) 在 nk(k N) 时成立，则有n k1 时命题也成立现知命题对n n0(n0N) 时成立，则有 ( ) A命题对所有正整数都成立 B命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D以上说法都不正确 答案C 8函数 y 2 x 9 12x(x (0， 1
4、2) 的最小值是 ( ) A20 B 25 C27 D 18 答案B 9满足 122334 n(n1) 3n 23n2 的自然数 n( ) 3 A1 B 1 或 2 C1，2，3 D 1，2，3，4 答案C 10从一楼到二楼的楼梯共有n 级台阶，每步只能跨上1 级或 2 级，走完这n 级台阶共有 f(n) 种走法，则下面的猜想正确的是( ) Af(n) f(n 1) f(n 2)(n 3)B f(n) 2f(n 1)(n 2) Cf(n) 2f(n 1)1(n2)D f(n) f(n 1)f(n2)(n 3) 答案A 11已知数列 an中， a1 1，a22，an12anan1(nN) ，用数
5、学归纳法证明a4n能被 4 整除，假设a4k能被 4 整除，然后应该证明( ) Aa4k 1能被 4 整除B a4k2能被 4 整除 Ca4k 3能被 4 整除D a4k4能被 4 整除 答案D 12 已知 n 为正偶数， 用数学归纳法证明：1 1 2 1 3 1 4 1 n12( 1 n 2 1 n4 1 2n) 时，若已假设nk(k 2 且为偶数 ) 时，等式成立，则还需要利用归纳假设再证( ) Ank1 时等式成立B nk2 时等式成立 Cn2k2 时等式成立D n2(k 2) 时等式成立 答案B 二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填写在题中的横线上)
6、13函数 y3x145x的最大值为 _ 答案10 14已知0x1， 00，且 x y2，求 x 2 2x y 2 2y 的最小值 解析因为xy2，根据柯西不等式，有(2 x) (2 y)( x 2 2x y 2 2y) ( 2x) 2 (2 y) 2( x 2x ) 2( y 2y ) 2 ( 2 x x 2x 2y y 2 y ) 2(x y)24， 所以 x 2 2x y 2 2y 4 （2x）（ 2y） 4 4（ xy） 4 422. 当且仅当2 x y 2y 2y x 2 x ，即 xy1 时，等号成立 5 所以当 xy1 时， x 2 2x y 2 2y有最小值 2. 20 ( 本题
7、满分12 分) 123234 n(n1)(n2) n（ n1）（ n2）（ n3） 4 (nN) 证明(1) 当 n 1 时，左边 123 6，右边 1234 4 6左边，所以等式成立 (2) 假设当 nk(k 1， kN) 时，等式成立， 即 123234 k(k 1)(k 2) k（k1）（ k2）（ k3） 4 . 则当 n k1 时，左边 123234 k(k 1)(k 2) (k 1)(k 2)(k 3) k（k1）（ k 2）（ k3） 4 (k 1)(k 2)(k 3) (k 1)(k 2)(k 3)( k 41) （ k1）（ k11）（ k12）（ k13） 4 . 所以由
8、nk1 时，等式成立 由(1) 、(2) 可知，原不等式对于任意nN都成立 21 ( 本题满分12 分) 已知正项数列 an和bn中， a1 a(0a1) ，b11a. 当 n2 时， anan 1bn，bn bn 1 1an 1 2. (1) 证明：对任意nN，有 anbn1； (2) 求数列 an的通项公式 解析(1) 用数学归纳法证明 当 n 1时， a1b1a (1 a)1，命题成立； 假设 nk(k 1)时命题成立，即akbk1， 则当 n k1 时， ak 1bk 1akbk1bk1(ak1)bk1(ak1) bk 1ak 2 bk 1 ak bk bk 1. 所以当 nk1 时，
9、命题也成立 由可知， anbn1 对 nN恒成立 (2) 因为 an1 anbn1 anbn 1an 2a n（1an） 1 an 2 an 1an， 所以 1 an1 1an an 1 an1，即 1 an1 1 an1. 6 数列 1 an 是公差为 1 的等差数列， 其首项为 1 a1 1 a， 1 an 1 a(n 1)1， 从而 a n a 1（ n1）a (0a1) 22 ( 本题满分12 分) 在数列 an ，bn 中， a12，b14，且 an，bn，an 1成等差数列， bn，an1，bn1成等比数列 (nN) (1) 求 a2，a3， a4及 b2，b3，b4，由此猜测 a
10、n ，bn 的通项公式，并证明你的结论； (2) 证明： 1 a1b1 1 a2 b2 1 anbn 5 12. 解析(1) 由条件得2bnanan1，an1 2b nbn1. 由此可得a26，b29，a312，b316，a420， b4 25. 猜测 ann(n 1) ，bn(n1) 2. 用数学归纳法证明： 当 n 1时，由上可得结论成立 假设当nk(k 1)时，结论成立，即akk(k 1)， bk (k 1) 2. 那么当 nk1 时， ak12bkak2(k 1) 2k(k 1)(k 1)(k 2) ， bk1 ak1 2 bk (k 2) 2. 所以当 nk1 时，结论也成立 由，可知an n(n 1) ，bn(n 1) 2 对一切正整数都成立 (2) 1 a1b1 1 62(n 1)n. 故 1 a1 b1 1 a2 b2 1 anbn 1 6 1 2 1 23 1 34 1 n（n1） 1 6 1 2 ( 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 n1) 1 6 1 2( 1 2 1 n 1) 1 6 1 4 5 12.
