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1、1,第4章 时变电磁场,本章内容 4.1 波动方程 4.2 电磁场的位函数 4.3 电磁能量守恒定理 4.4 惟一性定理 4.5 时谐电磁场,2,4.1 波动方程,在无源空间中，设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有,无源区的波动方程,波动方程 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性,麦克斯韦方程 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系,问题的提出,3,同理可得,推证,问题,若为有源空间，结果如何？,若为导电媒质，结果如何？,4,4.2 电磁场的位函数,讨论内容,位函数的性质,位函数的定义,位函数的规范条件,位函数的微分方程,5,引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析
2、得到简化。,引入位函数的意义,位函数的定义,6,位函数的不确定性,满足下列变换关系的两组位函数 和 能描述同一个电磁场问题。,即,也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。不同位函数之间的上述变换称为规范变换,原因：未规定 的散度,为任意可微函数,7,除了利用洛伦兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即,在电磁理论中，通常采用洛伦兹条件，即,位函数的规范条件,造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 的散度。利用位函数的不确定性，可通过规定 的散度使位函数满足的方程得以简化。,8,位函数的微分方程,9,同样,10,说明,若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点?,问题,应用洛仑
3、兹条件的特点： 位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解； 解的物理意义非常清楚，明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度； 矢量位只决定于J，标 量位只决定于，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需 解出 就可得到待求的电场和磁场。,电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用不同的规范条件，矢量位A和标量位 的解也不相同，但最终 得到的电磁场矢量是相同的。,11,4.3 电磁能量守恒定律,讨论内容,坡印廷定理,电磁能量及守恒关系,坡印廷矢量,12,进入体积V的能量体积V内增加的能量体积V内损耗的能量,电场能量密度：,磁场能量密度：,电磁能量密度：,空间区域V中的电
4、磁能量：,特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随 时间改变，从而引起电磁能量流动,电磁能量守恒关系：,电磁能量及守恒关系,13,其中：, 单位时间内体积V 中所增加 的电磁能量, 单位时间内电场对体积V中的电流所作的功； 在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率, 通过曲面S 进入体积V 的电磁功率,表征电磁能量守恒关系的定理,积分形式：,坡印廷定理,微分形式：,14,在线性和各向同性的媒质，当参数都不随时间变化时，则有,将以上两式相减，得到,由,推证,15,即可得到坡印廷定理的微分形式,再利用矢量恒等式：,在任意闭曲面S 所包围的体积V上，对上式两端积分，并应用散度定理，即可得
5、到坡印廷定理的积分形式,物理意义：单位时间内，通过曲面S 进入体积V的电磁能量等于 体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。,16,定义： ( W/m2 ),物理意义：,的方向 电磁能量传输的方向,的大小 通过垂直于能量传输方 向的单位面积的电磁功率,描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量,坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）,17,例4.3.1 同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为b，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ，导体中流过的电流为I 。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（2）当导体的电导率为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导
6、体的功率。,同轴线,18,解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为,内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量,19,电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源向负载，如图所示。,穿过任意横截面的功率为,同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （理想导体情况）,20,（2）当导体的电导率为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场,内,磁场则仍为,内导体表面外侧的坡印廷矢量为,21,式中 是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于
7、这段导体的焦耳损耗功率。,进入每单位长度内导体的功率为,由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如图所示。,以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。,22,4. 4 惟一性定理,在以闭曲面S为边界的有界区域内V， 如果给定t0时刻的电场强度和磁场强度 的初始值，并且在 t 0 时，给定边界面S 上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在 t 0 时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。,惟一性定理的表述,在分析有界区域的时变电磁场问题
8、时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。,惟一性问题,23,惟一性定理的证明,利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域内的解不是惟一的，那么至少存在两组解 、 和 、 满足同样的麦克斯韦方程，且具有相同的初始条件和边界条件。令,则在区域V 内 和 的初始值为零；在边界面S 上电场强度 的切向分量为零或磁场强度 的切向分量为零，且 和 满足麦克斯韦方程,24,根据坡印廷定理，应有,所以，得,由于的初始值为零，将上式两边对 t 积分，可得,根据 和 的边界条件，上式左端的被积函数
9、为,25,上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有,（证毕）,即,惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场 问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的 应用。,26,4. 5 时谐电磁场,复矢量的麦克斯韦方程,时谐电磁场的复数表示,复电容率和复磁导率,时谐场的位函数,亥姆霍兹方程,平均能流密度矢量,27,时谐电磁场的概念,如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。,研究时谐电磁场具有重要意义,在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、
10、电视和通信 的载波等都是时谐电磁场。,任意的时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不 同频率的时谐场的叠加。,28,4.5.1 时谐电磁场的复数表示,时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题得分析得以简化。,设 是一个以角频率 随时间t 作正弦变化的场量，它可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，它与时间的关系可以表示成,其中,时间因子,利用三角公式,式中的A0为振幅、 为与坐标有关的相位因子。,29,复数式只是数学表示方式，不代表真实的场 真实场是复数式的实部，即瞬时表达式 由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关 的部份就可表示复矢量,
11、照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示x、y 或 z）可表示成,各分量合成以后，电场强度为,有关复数表示的进一步说明,30,例4.5.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式,（2）,解：（1）由于,（1）,所以,31,（2）因为,故,所以,32,例4.5.2 已知电场强度复矢量,解,其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量,33,以电场旋度方程 为例，代入相应场量的矢量，可得,将 、 与 交换次序，得,上式对任意 t 均成立。令 t0 ，得,4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程,令t/2 ，得,即,34,从形式上讲，只要把微分算子 用 代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量
12、之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程,35,例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为,式中,解：（1）因为,故电场的复矢量为,试求：（1）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。,36,（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量,磁场强度瞬时值,37,实际的介质都存在损耗： 导电媒质当电导率有限时，存在欧姆损耗 电介质受到极化时，存在电极化损耗 磁介质受到磁化时，存在磁化损耗 损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质 的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。,4.5.3 复电容率和复磁导率,导电媒质的等效介电常数 对于介电常数为 、电导率为 的导电媒质，有,其中c= -j
13、/、称为导电媒质的等效介电常数。,38,电介质的复介电常数 对于存在电极化损耗的电介质，有 ，称为复介电常数或复电容率。其虚部为大于零的数，表示电介质的电极化损耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。,同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质 对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复介电常数为,磁介质的复磁导率 对于磁性介质，复磁导率数为 ，其虚部为大于零的数，表示磁介质的磁化损耗。,39,损耗角正切 工程上通常用损耗角正切来表示介质的损耗特性，其定义为复介常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有,导电媒质导电性能的相对性 导电媒质的导电性能具有相对性，在不同频率情况下，导电媒质具有不同的导电性能
14、。, 弱导电媒质和良绝缘体, 一般导电媒质, 良导体,40,4.5.4 亥姆霍兹方程,导电媒质,理想介质,在时谐时情况下，将 、 ，即可得到复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。,瞬时矢量,复矢量,41,4.5.5 时谐场的位函数,在时谐情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以表示成复数形式。,洛仑兹条件,达朗贝尔方程,瞬时矢量,复矢量,42,4.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量,时谐场中二次式的表示方法 二次式本身不能用复数形式表示，其中的场量必须是实数形式，不能将复数形式的场量直接代入。,设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为,电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平
15、方 关系，这种关系式称为二次式。,43,则能流密度为,如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有,先取实部，再代入,44,使用二次式时需要注意的问题,二次式只有实数的形式，没有复数形式 场量是实数式时，直接代入二次式即可 场量是复数式时，应先取实部再代入，即“先取实后相乘” 如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子,45,二次式的时间平均值,在时谐电磁场中，常常要关心二次式在一个时间周期 T 中的 平均值，即,平均能流密度矢量,平均电场能量密度,平均磁场能量密度,在时谐电磁场中，二次式的时间平均值可以直接由复矢量计 算，有,46,则平均能流密度矢量为,如果电场和磁场都用复数形式给出，即有,时间平均值与时间无关,例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度都用实数形式给出,47,具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其它 时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场。,在 中， 和 都是实数形式且是 时间的函数，所以 也是时间的函数，反映的是能流密度 在某一个瞬时的取值；而 中的 和 都是复矢量，与时间无关，所以 也与时间无 关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。,利用 ，可由 计算 ，但不能直 接由 计算 ，也就是说,关于 和 的几点说明,
