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1、1,第3章 静态电磁场及其边值问题的解,2,本章内容 3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法,静态电磁场：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场,时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立,3,3.1 静电场分析,学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力,4,2. 边界条件,微分形式：,本构关系：,1
2、. 基本方程,积分形式：,或,若分界面上不存在面电荷，即S0，则,或,3.1.1 静电场的基本方程和边界条件,5,在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边界条件为,或,场矢量的折射关系,导体表面的边界条件,介质1,导体,6,由,即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数 称为静电场的标量电位或简称电位。,1. 电位函数的定义,3.1.2 电位函数,7,2. 电位的表达式,对于连续的体分布电荷，由,面电荷的电位：,故得,点电荷的电位：,线电荷的电位：,8,3. 电位差,上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得,关于电位差的说明,P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从
3、P点移至Q 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处； 电位差也称为电压，可用U 表示； 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。,9,静电位不惟一，可以相差一个常数，即,选参考点,令参考点电位为零,电位确定值(电位差),两点间电位差有定值,选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义； 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点； 同一个问题只能有一个参考点。,4. 电位参考点,为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即,10,在均
4、匀介质中，有,5. 电位的微分方程,在无源区域，,11,6. 静电位的边界条件,设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间距离l0时,若介质分界面上无自由电荷，即,导体表面上电位的边界条件：,由 和,常数，,12,例 3.1.1 求电偶极子的电位.,解 在球坐标系中,用二项式展开，由于 ，得,代入上式，得,表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。,13,将 和 代入上式，解得E线方程为,由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度,电场线微分方程：,等位线方程：,14,解 选定均匀电场空间中的一点o为坐标原点，而任意点P 的位置矢量为r，则,若选择点o为
5、电位参考点，即 ，则,在球坐标系中，取极轴与 的方向一致，即 ，则有,在圆柱面坐标系中，取 与x轴方向一致，即 ，而 ，故,例3.1.2 求均匀电场的电位分布。,15,解 采用圆柱面坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与 无关。 在带电线上位于 处的线元 ，它 到点 的距离 ， 则,例3.1.3 求长度为2L、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。,16,在上式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。当 时，上式可写为,当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有,并选择有限远处为电
6、位参考点。例如，选择= a 的点为电位参 考点，则有,17,例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于x = 0和 x = a 处，在两板之间的 x = b 处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。,解 在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程,方程的解为,18,利用边界条件，有,处，,最后得,处，,处，,所以,由此解得,19,电容器广泛应用于电子设备的电路中： 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用； 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂
7、 电路； 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率；,3.1.3 导体系统的电容与部分电容,20,电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能力的物理量。,孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即,1. 电容,孤立导体的电容,两个带等量异号电荷（q）的导 体组成的电容器，其电容为,电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。,21,(1) 假定两导体上分别带电荷+q 和 -q ； (2) 计算两导体间的电场强度E；,计算电容的步骤：,(4) 求比值 ，即得出所求电容。,(
8、3) 由 ，求出两导体间的电位差；,22,解：设内导体的电荷为q，则由高斯定理可求得内外导体间的电场,同心导体间的电压,球形电容器的电容,当 时，,例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为b，其间填充介电常数为的均匀介质。求此球形电容器的电容。,23,例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的轴线距离为D，且D a，求传输线单位长度的电容。,解 设两导线单位长度带电量分别为 和 。由于 ，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两 导线的表面上。应用高斯定理和叠加原 理，可得到两导线之间的平面上任一点 P 的电场强度为,两导线间的电位差,故单位长度的电容为,24
9、,例3.1.6 同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。,内外导体间的电位差,解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为,故得同轴线单位长度的电容为,25,2 部份电容,在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体 上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的 概念加以推广，引入部分电容的概念。,在由N个导体组成的系统中，由于电位与各导体所带的电荷之间成线性关系，所以，各导体的电位为,式中：, 自电位系数, 互电位系数,（1） 电位系数,26,i j 在数值上
10、等于第i 个导体上的总电量为一个单位、而其余 导体上的总电量都为零时，第 j 个导体上的电位，即,i j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；,具有对称性，即i j = j i 。,i j 0 ；,电位系数的特点：,27,若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为,式中：, 自电容系数或自感应系数, 互电容系数或互感应系数,（2） 电容系数,28,i j 在数值上等于第 j个导体上的电位为一个单位、而其余导 体接地时，第 i 个导体上的电量，即,i j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量
11、无关；,具有对称性，即i j = j i 。,i i 0 、 ；,电容系数的特点：,29,将各导体的电量表示为,式中：,（3） 部分电容, 导体 i 与导体 j 之间的部分电容, 导体 i 与地之间的部分电容,30,Ci i 在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时，第 i 个导 体上的电量；,Ci j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；,具有对称性，即Ci j = Cj i 。,Ci j 0 ；,Ci j 在数值上等于第 j 个导体的电位为一个单位、其余 导体都接地时，第 i 个导体上的电量；,部分电容的特点：,31,在多导体系统中，
12、把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压U，极板上所带电荷分别为 ，则比值 称为这两个导体间的等效电容。,（4）等效电容,如图所示，有三个部分电容,导线 1 和 2 间的等效电容为,导线 1 和大地间的等效电容为,导线 2 和大地间的等效电容为,32,如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。,静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量,静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。,任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电
13、荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而作功。,3.1.4 静电场的能量,33,1. 静电场的能量,设系统从零开始充电，最终带电量为 q 、电位为 。 充电过程中某一时刻的电荷量为q、电位为 。 (01) 当增加为(+ d)时，外电源做功为: (q d)。 对从0 到 1 积分，即得到外电源所做的总功为,根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电场能量We ，即,对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元dV中的电荷dV具有的电场能量为,34,故体分布电荷的电场能量为,对于面分布电荷，电场能量为,对于多导体组成的带电系统，则有, 第i个导体所带的电
14、荷, 第i个导体的电位,式中：,35,2. 电场能量密度,从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。,电场能量密度：,电场的总能量：,对于线性、各向同性介质，则有,36,由于体积V外的电荷密度0，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面S无限扩大时，则有,故,推证：,37,例3.1.7 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电荷，试求静电场能量。,解： 方法一，利用 计算,根据高斯定理求得电场强度,故,38,方法二：利用 计算,先求出电位分布,故,39,已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力。但
15、对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法来计算静电力。,虚位移法：假设第i个带电导体在电场力Fi的作用下发生位移dgi，则电场力做功dAFidgi，系统的静电能量改变为dWe。根据能量守恒定律，该系统的功能关系为,其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。,具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。,3.1.5 静电力,40,1. 各带电导体的电位不变,此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量,系统所改变的静电能量,即,此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS0，因此,2. 各带电导体的电荷不变,式中的“”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。,41,例3.1.8 有一平行金属板电容器，极板面积为lb，板间距离为d，用一块介质片（宽度为b、厚度为d，介电常数为）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。,所以电容器内的电场能量为,由 可求得介质片受到的静电力为,解 平行板电容器的电容为,42,此题也可用式 来计算,q不变,设极板上保持总电荷q不变，则,由此可得,由于,同样得到,43,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,由JE 可知，导体中若存在恒定电流，则必
