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1、3.1.2 空间向量的数乘运算,O,B,结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.,一、空间向量数乘运算,1.实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量.,当 时，,当 时，,与向量 方向相同；,与向量 方向相同；,是零向量.,当 时，,（1）方向：,（2）大小：,的长度是 的长度的 倍.,2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,问题2：平面向量中，,的充要条件是：存在,唯一的实数 ，使,能否推广到空间向量中呢？,问题1：若,则,所在直线有那些位置关系?,零向量与任意向量共线.,由此可判断空间中两直
2、线平行或三点共线问题,共线向量定理: 对空间任意两个向量 ， ， 的充要条件是存在唯一实数， 使,性质,判定,如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线，若点P是直线l上任意一点，则,对空间任意一点O,所以,即,若在l上取 则有,和都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定.由此可判断空间任意三点共线。,l,A,B,P,O,由 知存在唯一的t, 满足,因为,所以,特别的，当t= 时，,则有,进一步，,t,1-t,P点为A,B 的中点,l,A,B,P,O,判定空间中三点A、B、C共线的常用方法：,（1）只需得到存在实数 ，使,（2）对空间任意点O，存在实数
3、t,使,特别地，当t=1/2时，,此时，点C恰为线段AB的,中点,A、B、P三点共线,结论1:,练习1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是： A.若 ，则P、A、B共线 B.若 ，则P是AB的中点 C.若 ，则P、A、B不共线 D.若 ，则P、A、B共线,A、B、P三点共线,A,O,A,B,P,分析: 证三点共线可尝试用向量来分析.,三、共面向量:,1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.,注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量,既可能共面，也可能不共面,由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 ， 使
4、,如果空间向量 与两不共线向量 ， 共面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则有,那么什么情况下三个向量共面呢？,反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如果 ，那么向量 与向量 , 有什么位置关系？,C,2.共面向量定理：如果两个向量 ， 不共线，,则向量 与向量 ， 共面的充要条件是,存在实数对x,y使,推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y使,C,对空间任一点O,有,填空：,1-x-y,x,y,C,式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.,由此可判断空间任意四点共面,P与A,B,C共面,1.下列说明正确的是： (
5、A)在平面内共线的向量在空间不一定共线 (B)在空间共线的向量在平面内不一定共线 (C)在平面内共线的向量在空间一定不共线 (D)在空间共线的向量在平面内一定共线,2.下列说法正确的是： (A)平面内的任意两个向量都共线 (B)空间的任意三个向量都不共面 (C)空间的任意两个向量都共面 (D)空间的任意三个向量都共面,1下列命题中正确的个数是( ) 若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 向量a、b、c共面即它们所在的直线共面 若ab，则存在惟一的实数，使ab. A1 B2 C3 D0,解析： 中若b0，则a与c不一定共线中共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线
6、不一定共面中若b0，a0，则不存在. 答案： D,2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点 O， , 则x的值为( ),练习2.若对任一点O和不共线的三点A、B、C，且有 则x+y+z=1是四点P、A、B、C共面的（ ）,A.必要不充分条件,C.充要条件,B.充分不必要条件,D.既不充分也不必要条件,C,得证.,解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只要证明存在有序实数对（x,y）使得,例1.已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、C一定共面？,利用共面向量的推论是证明四点共面的依据,例1,如图，在空间四边形ABCD中，M、N分别是AD、 BC的中点，求证：,证明三个向量共面的常用方法：(1)设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；(2)寻找平面，证明这些向量与平面平行,【思路点拨】 利用向量共面的充要条件或向量共面的定义来证明,(例2 )如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 , , , , 求证： 四点E、F、G、H共面； 平面EG/平面AC.,例2 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量,求证：四点E、F、G、H共面；,证明：,（）代入,所以 E、F、G、H共面。,小结,共面,
