《2011年高考数学一轮精品复习课件：第6章《数列》――等比数列》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年高考数学一轮精品复习课件：第6章《数列》――等比数列（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学案3 等 比 数 列,返回目录,1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的 的比等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示. 其数学表达式为： （q为常数）或 （q为常数）（n2）,常用定义判断或证明一个数列是等比数列.,第2项,前一项,同一,公比,q(q0),考点分析,返回目录,2.等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项公式an= . 通项公式的变形为an=amqn-m，也可写为qn-m= 常用此求通项公式中的公比q.当公比q1时an= 可以看成函数y=cqx，是一个不为零的常数与指数函数的乘积.因此
2、，数列an各项所对应的点都在y=cqx图象上. 3.等比中项 如果三个数x，G，y组成 ，则G叫做x和y的等比中项，那么 ，即G2= .,xy,a1qn-1,等比数列,返回目录,4.等比数列的单调性 等比数列an中，公比为q，则 当a10,q1,或a10，0q1时，数列an为 ； 当a10,0q1,或a10，q1时，数列an为 ； 当q=1时，数列an为 ；当q0时，数列an为 . 5.等比数列的前n项和公式 如果等比数列an的首项为a1，公比为q，当q=1 时，Sn= ；当q1时，Sn= = .其推导 方法为 .,递增数列,递减数列,常数列,摆动数列,na1,错位相减法,6.等比数列的性质
3、若数列an为等比数列，m，n，p，qN*,且m+n=p+q，则aman= . an是等比数列，则an,|an|成 数列,公比分别是 ；按顺序抽出间隔相同的项组成的新数列 . an成等比数列，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m ，公比为 .,返回目录,qm,apaq,等比,q和|q|,成等比数列,成等比数列,返回目录,考点一 等比数列的证明,【分析】首先证明该数列为等比数列，得出公式，再求出首项便可写出通项公式.,数列an的前n项和为， （） （*） （）求，； （）证明：数列是等比数列.,题型分析,返回目录,【解析】（）由 （），得 （）， 又 （），即 （），得 （）证明：当n2时，an=
4、Sn-Sn-1= (an-1)- (an-1-1)，得 . 是首项为 ，公比为 的等比数列. ,返回目录,【评析】若用为 常数证明等比数列，不要忘记单独验证n=1时的情况. （2）要想到利用等比数列的通项公式，需先证明该数列是等比数列.,对应演练,在数列an中,a1=2,an+1=4an-3n+1,nN*. (1)证明:数列an-n是等比数列; (2)求数列an的前n项和Sn; (3)证明:不等式Sn+14Sn,对任意nN*皆成立.,返回目录,(1)由题设an+1=4an-3n+1,得an+1-(n+1)=4(an-n),nN*. 又a1-1=1,所以数列an-n是首项为1,且公比为4的等比数
5、列. (2)由(1)可知an-n=4n-1,于是数列an的通项公式为an=4n-1+n. 所以数列an的前n项和Sn=,返回目录,返回目录,(3)对任意的nN*, Sn+1-4Sn= -4 =- (3n2+n-4)0. 所以不等式Sn+14Sn,对任意nN*皆成立.,返回目录,考点二 等比数列基本量的计算,在等比数列an中，已知a6-a4=24,a3a5=64,求an前8项的和S8.,【分析】利用已知的两个等式条件，可得a1和q的两个方程，解之可得数列an，从而S8便可求得.,返回目录,【解析】解法一：设数列an的公比为q，依题意 a6-a4=a1q3(q2-1)=24 a3a5=(a1q3)
6、2=64, a1q3=8. 将a1q3=-8代入式，得q2-1=-3,q2=-2，舍去.将a1q3=8代入式，得q2-1=3,q=2. 当q=2时,a1=1，S8= =255； 当q=-2时,a1=-1,S8= =85.,返回目录,解法二：an是等比数列，依题设得 , a4=8,a6=24+a4=248, an是实数列， , 故舍去a4=-8,得a4=8,a6=32. 从而a5= =16, 公比q的值为q= =2. 当q=2时，a1=a4q-3=1,a9=a6q3=256, ; 当q=-2时，a1=a4q-3=-1,a9=a6q3=-256, .,【评析】 (1)等比数列an中,an=a1qn
7、-1,Sn= 中有五个量,可以知三求二. (2)注意分类讨论的应用.,返回目录,返回目录,对应演练,设等比数列an的公比q1,前n项和为Sn,已知 a3=2,S4=5S2,求an的通项公式.,返回目录,由题设知a10,Sn= ,则 a1q2=2 ， 由,得 1-q4=5(1-q2), 即(q2-4)(q2-1)=0, (q-2)(q+2)(q-1)(q+1)=0. 由q1,解得q=-1或q=-2. 当q=-1时,代入得a1=2,通项公式an=2(-1)n-1; 当q=-2时,代入得a1= ,通项公式an= (-2)n-1.,返回目录,在等比数列an中,a1+a2+a3+a4+a5=8且 =2,
8、求a3.,【分析】 (1)由已知条件可得a1与公比q的方程组，解出a1，q，再利用通项公式即可得a3. (2)也可利用性质 =a1a5=a2a4直接求得a3.,考点三 等比数列的性质,【解析】解法一：设公比为q，显然q1, an是等比数列, 也是等比数列,公比为 . 解得 =4, ,a3=2.,返回目录,由已知条件得,返回目录,解法二:由已知得 =4.a3=2.,【评析】在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q，则aman=apaq”，可以减少运算量，提高解题速度.,返回目录,对应演练,已知数列an是等比数列，首项为a1，公比不等于1，又其中有连续
9、三项分别是一等差数列的第t，k，p项，求数列an的通项公式.,设符合题设的等比数列an中的连续三项为am，am+1，am+2，则am+1=amq，am+2=am+1q（q为公比）， 两式相减，得 ， 又am+1=am+(k-t)d,即am+1-am=(k-t)d, 同理am+2-am+1=(p-k)d(d为公差), 故 , 所求通项公式为 .,返回目录,返回目录,已知数列an的前n项和为Sn，且an= (3n+Sn)，对一切正整数n恒成立. （1）证明：数列3+an是等比数列； （2）数列an中是否存在成等差数列的四项？若存 在，请求出一组，若不存在，请说明理由.,【分析】利用an与Sn之间的
10、关系寻求突破口.,考点四 等比、等差数列的综合问题,【解析】 （1）证明：由已知，得Sn=2an-3n（nN*）, Sn+1=2an+1-3(n+1), 两式相减得an+1=2an+1-2an-3， 即an+1+3=2（an+3）. ， 又a1=S1=2a1-3，a1=3，a1+3=6. 故数列an+3是首项为6，公比为2的等比数列.,返回目录,返回目录,（2）由（1）知an+3=62n-1， an=62n-1-3=32n-3. 假设an中存在四项依次为 （m1m2m3m4）,它们可以构成等差数列，则 （3 -3）+（3 -3）=（3 -3）+（3 -3）， 即 + = + ,上式两边同除以
11、,得 1+ = + m1,m2,m3,m4N*,且m1m2m3m4, 式的左边是奇数，右边是偶数，式不能成立. 数列an中不存在构成等差数列的四项.,返回目录,【评析】数列an+3构成等比数列，并不是an为等比数列；再就是 并不是相邻的四项，在设法上要注意.,已知等差数列an的首项a1=1，公差d0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项. （1）求数列an与bn的通项公式； （2）设数列 Cn对n N*均有 成立，求c1+c2+c3+c2 010.,对应演练,返回目录,(1)由已知有a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d, (1+4d)2=(1+d)(
12、1+13d). 解得d=2(d0). an=1+(n-1)2=2n-1. 又b2=a2=3，b3=a5=9， 数列bn的公比为3. bn=33n-2=3n-1.,返回目录,返回目录,（2）由 得 当n2时， . 当n2时 =an+1 -an=2. cn=2bn=23n-1（n 2）. 又n=1时， =a2， c1=3. c1+c2+c3+c2 010 =3+23+232+232 010-1 =1+21+23+232+232 009 =1+2 =32 010.,返回目录,某林场有荒山3 250亩，每年春季在荒山上植树造林，第 一年植树100亩，计划每年比上一年多植树50亩 （全部 成活）. （1
13、）问需要几年，可将此山全部绿化完？ （2）已知新种树苗每亩的木材量是2立方米，树林每 年自然增长率10%，设荒山全部绿化后的年底的 木材总量为S，求S约为多少万立方米（精确到0.1）？,【分析】将问题合理转化为等差、等比数列模型.,考点五 等比数列应用问题,【解析】（1）每年植树的亩数构成一个以 a1=100，d=50的等差数列，其和即为荒山的总亩数. 设需要n年可将此山全部绿化，则 Sn=a1n+ （n-1）d=100n+ 50 =3 250. 解此方程，得n=10（年）.,返回目录,返回目录,（2）第一年种植的树在第10年后的木材量为2a1（1+0.1）10,第二年种植的树在第10年后的木
14、材量为2a2（1+0.1）9, 第10年种植的树在年底的木材量为2a10（1+0.1）, 第10年后的木材量依次构成数列bn，则其和为 T=b1+b2+b10 =2001.110+3001.19+1 1001.11.0(万立方米). 答：需要10年可将此山全部绿化，10年后木材总量约为1.0万立方米.,返回目录,【评析】数列应用问题是考查分析问题、解决问题的好素材.它要求有较强的阅读理解能力，捕捉信息的能力和归纳抽象的能力.,返回目录,对应演练,为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少
