《2011年高考数学一轮精品复习课件:第6章《数列》――等比数列》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2011年高考数学一轮精品复习课件:第6章《数列》――等比数列(40页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学案3 等 比 数 列,返回目录,1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从 起,每一项与它的 的比等于 常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比通常用字母 表示. 其数学表达式为: (q为常数)或 (q为常数)(n2),常用定义判断或证明一个数列是等比数列.,第2项,前一项,同一,公比,q(q0),考点分析,返回目录,2.等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1,公比为q,则它的通项公式an= . 通项公式的变形为an=amqn-m,也可写为qn-m= 常用此求通项公式中的公比q.当公比q1时an= 可以看成函数y=cqx,是一个不为零的常数与指数函数的乘积.因此
2、,数列an各项所对应的点都在y=cqx图象上. 3.等比中项 如果三个数x,G,y组成 ,则G叫做x和y的等比中项,那么 ,即G2= .,xy,a1qn-1,等比数列,返回目录,4.等比数列的单调性 等比数列an中,公比为q,则 当a10,q1,或a10,0q1时,数列an为 ; 当a10,0q1,或a10,q1时,数列an为 ; 当q=1时,数列an为 ;当q0时,数列an为 . 5.等比数列的前n项和公式 如果等比数列an的首项为a1,公比为q,当q=1 时,Sn= ;当q1时,Sn= = .其推导 方法为 .,递增数列,递减数列,常数列,摆动数列,na1,错位相减法,6.等比数列的性质
3、若数列an为等比数列,m,n,p,qN*,且m+n=p+q,则aman= . an是等比数列,则an,|an|成 数列,公比分别是 ;按顺序抽出间隔相同的项组成的新数列 . an成等比数列,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m ,公比为 .,返回目录,qm,apaq,等比,q和|q|,成等比数列,成等比数列,返回目录,考点一 等比数列的证明,【分析】首先证明该数列为等比数列,得出公式,再求出首项便可写出通项公式.,数列an的前n项和为, () (*) ()求,; ()证明:数列是等比数列.,题型分析,返回目录,【解析】()由 (),得 (), 又 (),即 (),得 ()证明:当n2时,an=
4、Sn-Sn-1= (an-1)- (an-1-1),得 . 是首项为 ,公比为 的等比数列. ,返回目录,【评析】若用为 常数证明等比数列,不要忘记单独验证n=1时的情况. (2)要想到利用等比数列的通项公式,需先证明该数列是等比数列.,对应演练,在数列an中,a1=2,an+1=4an-3n+1,nN*. (1)证明:数列an-n是等比数列; (2)求数列an的前n项和Sn; (3)证明:不等式Sn+14Sn,对任意nN*皆成立.,返回目录,(1)由题设an+1=4an-3n+1,得an+1-(n+1)=4(an-n),nN*. 又a1-1=1,所以数列an-n是首项为1,且公比为4的等比数
5、列. (2)由(1)可知an-n=4n-1,于是数列an的通项公式为an=4n-1+n. 所以数列an的前n项和Sn=,返回目录,返回目录,(3)对任意的nN*, Sn+1-4Sn= -4 =- (3n2+n-4)0. 所以不等式Sn+14Sn,对任意nN*皆成立.,返回目录,考点二 等比数列基本量的计算,在等比数列an中,已知a6-a4=24,a3a5=64,求an前8项的和S8.,【分析】利用已知的两个等式条件,可得a1和q的两个方程,解之可得数列an,从而S8便可求得.,返回目录,【解析】解法一:设数列an的公比为q,依题意 a6-a4=a1q3(q2-1)=24 a3a5=(a1q3)
6、2=64, a1q3=8. 将a1q3=-8代入式,得q2-1=-3,q2=-2,舍去.将a1q3=8代入式,得q2-1=3,q=2. 当q=2时,a1=1,S8= =255; 当q=-2时,a1=-1,S8= =85.,返回目录,解法二:an是等比数列,依题设得 , a4=8,a6=24+a4=248, an是实数列, , 故舍去a4=-8,得a4=8,a6=32. 从而a5= =16, 公比q的值为q= =2. 当q=2时,a1=a4q-3=1,a9=a6q3=256, ; 当q=-2时,a1=a4q-3=-1,a9=a6q3=-256, .,【评析】 (1)等比数列an中,an=a1qn
7、-1,Sn= 中有五个量,可以知三求二. (2)注意分类讨论的应用.,返回目录,返回目录,对应演练,设等比数列an的公比q1,前n项和为Sn,已知 a3=2,S4=5S2,求an的通项公式.,返回目录,由题设知a10,Sn= ,则 a1q2=2 , 由,得 1-q4=5(1-q2), 即(q2-4)(q2-1)=0, (q-2)(q+2)(q-1)(q+1)=0. 由q1,解得q=-1或q=-2. 当q=-1时,代入得a1=2,通项公式an=2(-1)n-1; 当q=-2时,代入得a1= ,通项公式an= (-2)n-1.,返回目录,在等比数列an中,a1+a2+a3+a4+a5=8且 =2,
8、求a3.,【分析】 (1)由已知条件可得a1与公比q的方程组,解出a1,q,再利用通项公式即可得a3. (2)也可利用性质 =a1a5=a2a4直接求得a3.,考点三 等比数列的性质,【解析】解法一:设公比为q,显然q1, an是等比数列, 也是等比数列,公比为 . 解得 =4, ,a3=2.,返回目录,由已知条件得,返回目录,解法二:由已知得 =4.a3=2.,【评析】在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则aman=apaq”,可以减少运算量,提高解题速度.,返回目录,对应演练,已知数列an是等比数列,首项为a1,公比不等于1,又其中有连续
9、三项分别是一等差数列的第t,k,p项,求数列an的通项公式.,设符合题设的等比数列an中的连续三项为am,am+1,am+2,则am+1=amq,am+2=am+1q(q为公比), 两式相减,得 , 又am+1=am+(k-t)d,即am+1-am=(k-t)d, 同理am+2-am+1=(p-k)d(d为公差), 故 , 所求通项公式为 .,返回目录,返回目录,已知数列an的前n项和为Sn,且an= (3n+Sn),对一切正整数n恒成立. (1)证明:数列3+an是等比数列; (2)数列an中是否存在成等差数列的四项?若存 在,请求出一组,若不存在,请说明理由.,【分析】利用an与Sn之间的
10、关系寻求突破口.,考点四 等比、等差数列的综合问题,【解析】 (1)证明:由已知,得Sn=2an-3n(nN*), Sn+1=2an+1-3(n+1), 两式相减得an+1=2an+1-2an-3, 即an+1+3=2(an+3). , 又a1=S1=2a1-3,a1=3,a1+3=6. 故数列an+3是首项为6,公比为2的等比数列.,返回目录,返回目录,(2)由(1)知an+3=62n-1, an=62n-1-3=32n-3. 假设an中存在四项依次为 (m1m2m3m4),它们可以构成等差数列,则 (3 -3)+(3 -3)=(3 -3)+(3 -3), 即 + = + ,上式两边同除以
11、,得 1+ = + m1,m2,m3,m4N*,且m1m2m3m4, 式的左边是奇数,右边是偶数,式不能成立. 数列an中不存在构成等差数列的四项.,返回目录,【评析】数列an+3构成等比数列,并不是an为等比数列;再就是 并不是相邻的四项,在设法上要注意.,已知等差数列an的首项a1=1,公差d0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项. (1)求数列an与bn的通项公式; (2)设数列 Cn对n N*均有 成立,求c1+c2+c3+c2 010.,对应演练,返回目录,(1)由已知有a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d, (1+4d)2=(1+d)(
12、1+13d). 解得d=2(d0). an=1+(n-1)2=2n-1. 又b2=a2=3,b3=a5=9, 数列bn的公比为3. bn=33n-2=3n-1.,返回目录,返回目录,(2)由 得 当n2时, . 当n2时 =an+1 -an=2. cn=2bn=23n-1(n 2). 又n=1时, =a2, c1=3. c1+c2+c3+c2 010 =3+23+232+232 010-1 =1+21+23+232+232 009 =1+2 =32 010.,返回目录,某林场有荒山3 250亩,每年春季在荒山上植树造林,第 一年植树100亩,计划每年比上一年多植树50亩 (全部 成活). (1
13、)问需要几年,可将此山全部绿化完? (2)已知新种树苗每亩的木材量是2立方米,树林每 年自然增长率10%,设荒山全部绿化后的年底的 木材总量为S,求S约为多少万立方米(精确到0.1)?,【分析】将问题合理转化为等差、等比数列模型.,考点五 等比数列应用问题,【解析】(1)每年植树的亩数构成一个以 a1=100,d=50的等差数列,其和即为荒山的总亩数. 设需要n年可将此山全部绿化,则 Sn=a1n+ (n-1)d=100n+ 50 =3 250. 解此方程,得n=10(年).,返回目录,返回目录,(2)第一年种植的树在第10年后的木材量为2a1(1+0.1)10,第二年种植的树在第10年后的木
14、材量为2a2(1+0.1)9, 第10年种植的树在年底的木材量为2a10(1+0.1), 第10年后的木材量依次构成数列bn,则其和为 T=b1+b2+b10 =2001.110+3001.19+1 1001.11.0(万立方米). 答:需要10年可将此山全部绿化,10年后木材总量约为1.0万立方米.,返回目录,【评析】数列应用问题是考查分析问题、解决问题的好素材.它要求有较强的阅读理解能力,捕捉信息的能力和归纳抽象的能力.,返回目录,对应演练,为了治理“沙尘暴”,西部某地区政府经过多年努力,到2006年底,将当地沙漠绿化了40%,从2007年开始,每年将出现这种现象:原有沙漠面积的12%被绿化,即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲),同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠,问至少