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1、 2009届本科生毕业论文 数形结合思想在解题中的应用数形结合思想在解题中的应用 一、数形结合 数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义，又揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐地结合起来。数形结合思想就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。通过对图形的认识、数形转化，以提高思维的灵活性、形象性、直观性使问题化难为易，化抽象为具体。它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。数学以客观世界中的空间形式与数量关系为研究对象，数形结合思想是数学中非常重要的思想和解决问题的常用策略，正如华罗庚说：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形
2、缺数是难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离。”数形结合给我们解决问题能带来一个全新的思路，由形想数，利用数来研究形的各种性质，寻求规律，可以从不同的角度培养思维的灵活性，简化解题的思路。运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，在选择、填空中更显优越。2、 数形结合的原则要正确的在解题在运用数形结合应遵循一定的原则，下面举例说明数形结合的几个原则。（一）“形”的精确性原则 几何图形的优点是具有直观性，但构图不精确往往会造成视觉性的误解。 1.函数和的图形在上的交点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4解：由
3、于构图不准确，所下图 误认为在上还有一个公共点，由对称性选择C。事实上由得 由或解得.所以方程仅一个解， 即图象仅有一个交点。从这个例题中可以想到，运用数形结合解题时，即要利用图形进行直观观察，又要利用“数”的精确性，准确绘制图像，不要将“数形结合”片面的理解为“用纯粹图形解决数理问题”只有形数结合且互为补充才能得到正确的解答。（二）数形结合的等价性原则 利用数形结合解决数学问题时要注意转化的等价性，我们常常由“形”观察出“数”，由“数”构造出“形”，这中间的观察与构造并未经过严格的逻辑推理，加之审题不周到，造成数形转化的不等价而产生误解。 2.已知方程有两个相异实根，求实数a的取值范围。误解
4、：原方程化为，设， （这里 ），原方程在区间内有两个相异的实根，等价于在内有且只有一解，即二次函数在内和x轴有且只有一个交点，如图，即，所以。正解：方程在有且只有一个解等价于，或，或解得 。 3.过双曲线的右焦点作直线AB与曲线C交于两点，试用离心率e及A，B两点的横坐标表示弦长。分析：求焦点弦长可以用焦点半径公式，注意到A，B两点的不同位置，就不会出现只考虑A，B的位置只在双曲线的右支上，而也可以能分别在左、右两支上的情形。 当A，B同在双曲线的右支上时，。 当A，B分别在双曲线左、右两支上时，。本题计算的依据由几何图形的性质而来，考虑到图形各种不同位置可能引起的不同结果，使得解答全面准确。
5、（三）数形结合的简捷性原则 简捷性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理，即使几何作图优美又使代数计算简洁、明了，避免繁琐的运算。（四）双向性原则 双向性原则是指几何直观的分析，又进行代数抽象的探索，代数表达及其运算比起几何图形及其结构有着自身固有的优越性，能克服几何直观方法的局限性。 三、数形结合思想在解题中的应用 所谓数形结合的解题方法就是根据解决问题的需要，把数量关系的问题转化为图形性质问题讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系问题来研究。这里通过具体实例来探讨一下数形结合思想在解决数学问题中的巧妙应用。(一)利用文氏图来研究有关集合的问题 集合中的文氏图能够清晰、准确、生动的说明等问
6、题。在概率论中事件也可以用集合来表示，如果我们结合文氏图来理解事件之间的关系，利用文氏图来计算事件发生的概率比用公式推导、计算要简单、直观的多，且不容易出错。 1.上面的公式比较长，如果要证明比较麻烦，如果死记也比较困难，但是，要能够结合文氏图（如下图）来理解记忆，就一目了然，而且容易记清楚，记得牢。 （二）利用函数与图像对应关系 2这三个数之间的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 分析：在同一坐标系中画出, , 的图像，如图，当时，显然有，故选C.很多函数问题要通过画图理解，如比较大小问题（一般涉及指对数，而且常将较，见1), 二次函数最值问题（一般有定义域限制,见2）， 已知函数性质
7、而不知解析式问题（见3），函数交点个数问题（以及一些交点范围问题，见4），而这些问题在解题过程中都是很常见的。 3.求的最小值_最大值_. 解： 令，问题可化为：求 的最小值。设又转化为单位圆上动点与定点的连线斜率。令MN：，由O到MN距离为1得解得：或 。 4如果奇函数在区间上是增函数且最小值为5, 那幺在区间上是（ ） A.增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为-5 C.减函数且最小值为-5 D.减函数且最大值为-5 解：如图为奇函数，则其图象关于原点O对称，又由已知条件 可画出图象，结果很显然应选B，即在区间上是增函数最大值为5。 5方程的解的个数为_ A. 0 B. 1 C.2 D
8、.3 解析：在同一坐标系中画出和的图像，如图， 显然和有两个交点，即答案为C。 （三）、利用曲线与方程对应关系6已知x,y满足条件, 求的最大值与最小值分析：令则是一条直线且为直线的截距，而可看为圆，点为直线和圆的公共点，问题转化为直线和圆有公共点是截距的最值，显然直线和圆相切时截距有最值。（很多同学在此用“联立方程判别式为零这个方法，这是很繁的，圆的问题一般不用此法，而椭圆、双曲线、抛物线内常用此法,这点务必区分, 圆内问题一般用以下几个方面:涉及长度的两个勾股定理（见下图）、圆心到直线的距离与半径的比较、画图） （四）、利用几何元素和几何条件建立起来的概念 在应用数形结合思想求解问题时，必
9、须以几何因素和几何条件为背景联系起来思考问题。这不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，大大简化了解题的过程。 7.已知复数，求z的模与辐角主值的范围。 分析：由于有明显的几何意义，表示复数z对应点到复数对应点之间的距离，因此，满足的复数对应点在以为圆心，半径为的圆上(如下图)，而表示复数z对应的点Z到原点O的距离，显然，当点Z，圆心C，点O三点共线时取得最值，。所以，的取值范围为。同理，当点Z在圆上运动变化时，当且仅当直线y=kx与该圆想切时，在点的辐角主值，利用直线与圆相切，计算得，即。所以， 即 （五）、利用数与式的结构含有明显的几何意义8已知, 求的最值 分析：经整理为，即
10、点在圆 上或圆内，而表示原点到点的距离d的平方, 只要求出的d最值即可，如右图。答案略。 （六）、解方程和不等式9已知且不为1，试求方程有解时k的取值范围, 其中方程为： 分析：将原方程变形为，要使方程有解，只需 而这很多同学根本不会解，但如同学们知道含参不等式常要利用定义域或其他隐含范围舍去某些不等式，也是可解，在此略。 换一种想法，要使方程有解，只须使曲线 和 ()有交点，(如图)要使两个函数有交点只要或，即或。 （七）数形结合在解决实际问题方面的应用 10.某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车
11、每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次.甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?解析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解. 解：设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么 其中 作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如下图，作出直线，把直线向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且在y轴上的截距最小，观察图形，可见当直线经过点是满足上述要求，此时取得最小值，即时， 所以，每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成
12、本费最低。 评述：用图解法（即数形结合法）解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点。4、 综述 综上所述，数形结合思想中是通过“数”与“形”的这两个基本的对象，互相渗透，又相互独立，尤其在坐标系中结合更加紧密，从而洞察出问题本质，提示出被掩盖的某些特征，找出问题，提出新观点。通过对具体的图象分析得出解决问题的办法。 由数思形，以形思数，加深学生对抽象数学知识的理解，发展学生智力，同时注意到“数形结合”的教学方法应当循序渐进的进行，以学生掌握知识水平慢慢的孕育渗透，对不同的教学要求，还要与其它方法综合应用，让学生渐渐地领悟理解和掌握，从而达到对学生应用知识培育，提高职业教育办学水平和目的。 参考文献1杨桂元.经济数学基础(二) 线性代数.成都.电子科技大学出版社.20042李世栋 乐经良 冯卫国 王纪林. 线性代数 .科学出版社. 20003周义仓 赫孝良 .数学建模实验 .西安 .西安交通大学出版社. 19994 赵树源 .经济数学基础 线性代数(二) .中国人民大学出版社. 20035 谢云荪. 数学实验.
