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1、3.4导数的综合应用一、选择题(每小题7分，共42分)1(2010广州调研)若函数f(x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A(2,2) B2,2C(，1) D(1，)解析本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系由于函数f(x)是连续的，故只需两个极值异号即可f(x)3x23，令3x230，则x1，只需f(1)f(1)0，即(a2)(a2)2，则函数f(x)x3ax21在区间(0,2)上恰好有()A0个零点 B1个零点C2个零点 D3个零点解析解答本题要结合二分法和函数的单调性判断由已知得：f(x)x(x2a)，由于a2，故当0x2时f(x)2时f(0)f(2
2、)4a0，故据二分法及单调性可知函数在区间(0,2)上有且只有一个零点答案B3(2010湛江调研)已知函数f(x)在1，)上为减函数，则实数a的取值范围是 ( )A0a B0aeCae Dae解析f(x)，因为f(x)在1，)上为减函数，故f(x)0在1，)上恒成立，即ln a1ln x在1，)上恒成立设(x)1ln x，(x)max1，故ln a1，ae，选D.答案D4(2010黄山模拟)已知函数f(x)的导函数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是( )A(1,0) B(2，)C(0,1) D(，3)解析由f(x)在xa处取得极大值可知，当x0，当xa时
3、，f(x)0的解集为xa且a(x1)(xa)a，通过对这两个不等式的解集讨论可知1a0得x3或x1，由f(x)0得1x3.f(x)的单调增区间为(3，)，(，1)，单调减区间为(1,3)，f(x)在x1处取极大值，在x3处取极小值，又f(1)0，f(3)40时，f(x)0，g(x)0，则当x0，g(x)0 Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0 Df(x)0，g(x)0时，f(x)0，g(x)0，由奇、偶函数的性质知，当x0，g(x)0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是_解析f(x)3x23a2(a0)，由f(x)0得：xa或xa，由f(x)0得：ax.答案9(2009湖州模拟)设
4、函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_解析若x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；当x0，即x(0,1时，f(x)ax33x10可化为a.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4.当x1)在区间1,1上的最大值为1，最小值为2.(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)f(x)mx在区间2,2上为减函数，求实数m的取值范围解(1)f(x)3x23ax，令f(x)0，得x10，x2a，a1，f(x)在1,0上为增函数，在0,1上为减函数f(0)b1，f(1)a，f(1)2a
5、，f(1)f(1)，f(1)a2，a.f(x)x32x21.(2)g(x)x32x2mx1，g(x)3x24xm.由g(x)在2,2上为减函数，知g(x)0在x2,2上恒成立，即m20.实数m的取值范围是m20.11(13分)(2010宁波模拟)设函数f(x)x32ax23a2xb(0a0得：ax3a，由f(x)0得：x3a，则函数f(x)的单调递增区间为(a,3a)，单调递减区间为(，a)和(3a，)列表如下：x(，a)a(a,3a)3a(3a，)f(x)00f(x)a3bb函数f(x)的极大值为b，极小值为a3b.(2)f(x)x24ax3a2(x2a)2a2，f(x)在a1，a2上单调递
6、减，f(x)maxf(a1)2a1，f(x)minf(a2)4a4.不等式|f(x)|a恒成立，解得：a1，又0a1，a1，即a的取值范围是a时，f(x)1由f(x)0得x1.f(x)在(1，)上是增函数当x时，f(x)x22xa1(x1)2a2，f(x)在上是增函数f(x)的递增区间是和(1，)(2)当x时，由(1)知f(x)在上递减，在(1，)上递增且f(1)0.f(x)有极小值f(1)10，此时f(x)无零点当x时，f(x)x22xa1，44(a1)84a.当2时，f(x)无零点当0，即a2时，f(x)有一个零点1.当0，且f0时，即a0且f0，即a时，f(x)仅有一个零点1.4用心 爱心 专心
