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1、 热力学与统计物理课程论 文姓 名： 学 号： 200802050122 班 级： 08物理 （1）班 专 业： 物理学 院 系： 理学院物理系 利用H定理研究平衡态的分布函数 （红河学院 理学院物理系 08物理一班）摘 要：本文介绍了平衡态的概念，然后在玻耳兹曼H定理的基础上，利用细致平衡原理，详细计算了平衡态的分布函数，并进行了一般性的讨论，最后得出系统处在平衡态的几个结论。关键词：玻耳兹曼H定理；平衡态；细致平衡原理1. 引言玻耳兹曼H定理，简称H定理，其表明函数H(t)随时间的演化满足 （1）其中是分布函数，式中的微分元分别是，对于式（1）右方的被积函数可以写成如下形式： （2）其中，
2、当时，有，固F0；当时，有，也有F0。因此，不论与的数值如何都有F0，其中等号只有在时才实现。由H定理说明，不论初始状态如何，系统的H函数总是趋向减少的.H随时间的变化率提供了一个趋向平衡的标志，当H减少到极小值而不再改变时，系统就达到平衡态。因此可以表明H定理与热力学中的熵增加原理相当。H定理不是一个力学规律，而是一个统计性的规律，因此H定理给出的是系统的统计平均行为，它指出系统的统计平均行为是具有方向性和不可逆性的。当系统处于非平衡态时，H随时间减少的概率最大，但H定理并不排斥H的偶然增加，只是增加的概率很小而已。由H定理可知，如果，则有dH=0，即系统达到平衡态；如果dH=0，即系统达到
3、了平衡态，则必有，因此是系统达到平衡态的充分必要条件。这时元碰撞次数与元反碰撞次数正好相等而抵消，称为细致平衡条件。如果达到细致平衡，总的平衡必能保持。总的平衡必须由细致平衡来保证这一命题称为细致平衡原理。该原理在其它许多场合也是正确的，但不是对一切相互作用机制都适用，所以不是自然界的普遍法则。2. 平衡态的概念 平衡态是热力学中一个基本的、又很重要的概念。整个热力学和统计热力学研究的对象恰是系统处于平衡态时的宏观性质与物质热运动性质之间的关系，以及准静态过程中系统状态变化应遵循的基本规律。以研究系统处于非平衡态时状态在时空中变化应遵循的基本规律为主要对象的不可逆过程热力学和非平衡统计理论中的
4、基本假设局域平衡假设，正是当系统偏离平衡不远时，平衡态概念的延伸和发展。因此，正确概括和阐述平衡态概念是热学课程中的一个最基本的要求关于平衡态大致有两种定义：一是基于对达到平衡态的系统宏观性质的特征概括而成的，把平衡态定义为：在没有外界影响条件下，物体各部分的宏观性质在长时间内不发牛任何变化的这样一种状态，因而简称为第一种定义。采用类似定义的国外学者有朗道、泡利、Sears、和久保亮五等。另一种定义基于对系统和介质从非平衡态演变到平衡态过程中,表征非平衡态的宏观特征例如“流”的变化性质概括而成的，把平衡态定义为：系统达到稳恒态之后，媒质的状态也不再变化，则这个稳恒态叫做平衡态。按此定义，处于平
5、衡态的系统，在其内部允许出现某种不均匀性，但不能出现某此“流”，如粒子流、热流等。因而简称为第二种定义。采用类似定义的国外代表有泽门斯基等。值得指出，当采用第一种定义时，又因对“没有外界影响”的解释不同而存在两种说法：其一把“没有外界影响”理解为系统与外界之间既无能量交换(既不作功，也不传热)，也无物质交换。在有的著作中，把这种与外界既无能量交换、又无物质交换的系统定义为孤立系；其二把“没有外界影响”解释为与外界完全隔绝的而无任何相互作用的孤立，这两种说法，为了把象微粒在重力场中按高度的分布和旋转圆桶中气体密度按径向的分布等这样的平衡态，也能概括进平衡态的定义中，前者强调：没有外界影响并不排斥
6、系统受外力(如重力和惯性离心力等)的作用，重要的是这些力对系统不作功；后者强调：非孤立系在一定条件下也可以处于平衡态，事实上，达到平衡态的孤立系中的子系，必也处于平衡态之中，若把地球和大气层看作达到平衡态的孤立系，大气就是在地球重力场作用下的子系，尽管其中气体压强和密度有分布并不均匀，显然它仍处于平衡态。顺便指出，若把这个结论推广应用到宇宙，则有引力作用的宇宙空间中，质量和密度的不均匀分布才是最概然的分布，从而说明引力在形成宇宙星系中的不可忽略的作用。 从第二种定义的观点看，重力场中大气层密度分布的不均匀性，满足玻耳兹曼分布律，并不影响气体处于平衡态，因为气体中没有净宏观流如粒子流，确切点说，
7、由于大气压强随高度升高而降低与重力作用的效应互相抵消，达到力学平衡，气体中不存在净宏观流，系统和介质都达到不变的稳恒态。3. 平衡态的分布函数 我们将两边取对数，得到，该式是的线性方程,他表明两个粒子碰撞前后速度的函数是守恒的。由于碰撞前后粒子数守恒、动量守恒和能量守恒，于是上式的特解有下列5个： ， ， ， 例如：，则上式就是表示两个粒子碰撞前后方向的动量守恒，即 （3）由于的方程是线性的，所以其普遍解应是所列特解的线性组合： (4)其中，都是与速度无关的系数，可以求得 （5）其中， ， ， ， 由于 （6） （7）因此可求得： ， （8）其中 （9）同理可求得 （10） （11） ， ，
8、（12） （13）同理可求得： ， （14）所以 （15）式中是系统运动的整体速度，其三个分量分别为，。4. 进一步讨论当系统达到平衡态时，分布函数必不随时间变化，即由玻耳兹曼积分微分方程和平衡态的充分必要条件可得： （16）该式表明，系统达到平衡态时，由碰撞和漂移所引起的分布函数的改变互相抵消。用除上式可得： （17）把平衡态的分布函数的表达形式代人上式，并考虑到，均与速度无关，而有可能是坐标的函数，于是有： （18）上式对于任何值都成立，即对该式是恒等式。因此，式中的各幂次的系数都应等于零。5. 对各幂次的系数讨论（1）令上式中的三次方的系数等于零，得 （19）即 （20）该是表明处在平衡
9、态的系统，温度必须是均匀的。（2）令式（18）中的二次方系数等于零，得 （21）即 （22） （23）方程（22）或（23）对平衡系统所可能具有的整体速度给出了限制。方程（23）的解为： （24）其中和是常矢量。式（24）给出的相当于具有恒定平动速度和恒定转动角速度的刚体运动，其中为刚体的平动速度，为转动角速度。因此，处在平衡态的气体，其整体运动只可能式具有恒定速度的平动和具有恒定角速度的的转动。（3）令式（18）中的一次方系数为零，得 （25）如果外力可以写成势函数的梯度，将式（25）积分可得 （26）其中是积分常数。若式（26）确定在平衡态下，则分子数密度岁地点的变化而变化。 （4）令式（
10、18）中的零次方的系数为零，得 （27）式（27）给出了对整体运动速度的又一限制，他要求平衡系统的整体速度必须与外力垂直。6. 结论 当系统处在平衡态时：整个系统的温度必须是均匀的；系统整体运动只可能是具有恒定速度的平动和恒定角速度的转动；分子数密度随位置的变化满足关系，其中是积分常数；平衡系统的整体速度必与外力垂直。7. 展望细致平衡原理是一个基本的具有广泛意义的原理，把这一原理应用到某些实际系统中去，如将细致平衡原理应用到由大量两能级原子和大量自由运动的玻色子(费米子)组成的系统及大量两能级原子与辐射场(光子气)组成的系统中，并应用相应的定理和分布函数进行分析研究，是否能得到一些不同的结论。参考文献1薛增泉.热力学与统计物理学M.北京:北京大学出版社,1995.2张三慧,沈慧君.分子物理学和热力学.北京:北京利学技术出版社,1987.3泡利物理讲义.热力学和气体分子运动论.北京:人民教育出版社,1981.4久保亮五.热力学.北京:人民教育出版社,1982.5龚昌德.热力学与统计物理学.北京:人民教育出版
