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1、天 津 师 范 大 学本科毕业论文（设计）题目：实数连续性等价命题的直接证明学 院：数学科学学院学生姓名: 学 号：07505143专 业：信息与计算科学年 级：07级完成日期：2011年4月28日指导教师： 实数连续性等价命题的直接证明 数学科学学院 实数连续性等价命题的直接证明摘要：连续性是实数集的许多重要特性之一。由于有理数集扩充到实数集的方法很多，故对实数连续性的叙述也多种多样。但彼此等价。因此可用等价命题互相代替。在本论文中我们整理并证明了实数连续性的六个等价命题。指出若把其中之一做为公理，其余均可由这一公理和其他公理推出。直接证明的方法是应用每一个命题直接去证明其余命题，而不用其他
2、命题过渡。通过这种证明方法，可以让学者深刻体会每个命题怎样从不同角度表示实数的连续性和完备性，使实数连续性命题的逻辑关系和结构框架更加清楚。由此可以获得使用各个命题的一点技巧。关键词：实数；连续性；等价命题；区间套；上确界The Direct Proof of Continuity Is Equivalent to PropositionAbstract : Continuity is the set of real numbers is one of many important features. As rational set of real numbers expanded to ma
3、ny ways, Therefore the continuity of the real numbers are also a variety of narrative. But they are equivalent. Therefore, the equivalent statements can replace each other.In this paper, we organize and prove the continuity of the six real equivalent propositions. It is pointed that if one of them a
4、s truth, the documents can be introduced to this axiom, and other axioms. Direct proof of the method is applied directly to prove each of the remaining proposition, instead of the other propositions transition. In this proof, allowing scholars have realized how each proposition that the real number
5、from a different perspective of continuity and completeness, so that the continuity of the real logic of propositions and structural framework more clearly. It can be obtained using various techniques that proposition.Key words : real number; continuity; equivalent proposition; interval sets;目 录一、描述
6、实数连续性的命题（1）（一）确界定理（1）（二）单调有界定理（1）（三）区间套定理（1）（四）有限覆盖定理（1）（五）聚点定理（1）（六）（柯西准则）充分性（1）二、实数连续性六个等价命题的证明方法一（2）（一）.用确界存在定理证明其余五个定理（2） 1 . 用确界存在定理证明单调有界定理（2） 2 . 用确界存在定理证明区间套定理（2） 3 . 用确界存在定理证明有限覆盖定理（2）4 . 用确界存在定理证明聚点定理（2） 5 用确界存在定理证明Cauchy准则定理（3）（二）用单调有界定理证明其余五个定理（3）1 . 用单调有界定理证明确界存在定理（3） 2 . 用单调有界定理证明区间套定理
7、（3）3 . 用单调有界定理证明有限覆盖定理（4） 4 . 用单调有界定理证明聚点定理（4） 5 . 用单调有界定理证明Cauchy准则定理（4）（三）. 用区间套定理证明其余五个定理（5）1.用区间套定理证明确界存在定理（5）2.用区间套定理证明单调有界定理（5）3.用区间套定理证明有限覆盖定理（5）4.用区间套定理证明聚点定理（6）5.用区间套定理证明Cauchy准则定理（6）（四）. 用有限覆盖定理证明其余五个定理（6） 1 . 用有限覆盖定理推出确界存在定理（6） 2 . 用有限覆盖定理推出单调有界定理（7） 3 . 用有限覆盖定理推出区间套定理（8） 4 . 用有限覆盖定理证明聚点定
8、理（8） 5 . 用有限覆盖定理证明Cauchy准则定理（8）(五). 用聚点定理证明其余五个定理（9） 1 . 用聚点定理推出确界存理（9） 2 . 用聚点定理推出单调有界定理（9） 3 . 用聚点定理推出区间套定理（9） 4 . 用聚点定理推出有限覆盖定理（10） 5 . 用聚点定理推出Cauchy准则定理（10）（6） . 用定理1.6 (柯西准则)充分性证明其余五理（10） 1 . 用(柯西准则)充分性推出确界存在定理（10） 2 . 用(柯西准则)充分性推出单调有界定理（11） 3 . 用(柯西准则)充分性推出区间套定理（11） 4 . 用(柯西准则)充分性推出有限覆盖定理（11）
9、5 . 用(柯西准则)充分性推出聚点定理（11）三、关于实数连续性定理的一点注记（12）四、实数连续性六个等价命题的证明方法三（12）（一）第一个循环：（13）（二）第二个循环：（14）五、实数连续性定理的应用 （15）（一）.确界定理在解题中的应用（15）（二）有限覆盖定理在解题中的应用（16）（三）柯西收敛准则在解题中的应用（16）16 一、描述实数连续性的命题（一）定理1.1（确界存在定理） 非空有上（下）界的数集，必有上（下）确界。（二）定理1.2（单调有界定理） 任何单调有界数列必定收敛。（三）定理1.3（区间套定理） 任一退缩闭区间套必存在唯一的公共点。用数学语言表达如下：设为一个
10、区间套： 则存在唯一点 （四）定理1.4 （有限覆盖定理） 有界闭区间的任一开覆集，必存在一个有限子覆盖。即：设是闭区间的一个无限开覆盖。即：中每一点都含于中至少一个开区间内则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖（五）定理1.5 (聚点定理)有界无限点集必有聚点。即：直线上任一有界无限的点集内至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点.（本身可以属于，也可以不属于）（六）定理1.6 （柯西准则）充分性实数基本数列必收敛。即：数列收敛的充要条件是：N，只要同时满足n、mN，则恒有（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为 柯西列，或基本列）这些定理构成极
11、限理论的基础我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具二、实数连续性六个等价命题的证明（直接证明法）(一) 用确界存在定理证明其余五个定理1. 用确界存在定理证明单调有界定理设xn是递增且有上界的数列，由确界存在定理，Supxn存在，设为。即对有xn ，又，使-。因为xn递增，于是当n时，必有，从而有 即，故单调有界定理得证。2. 用确界存在定理证明区间套定理设是一个区间套。由于，所以supan与infbn都存在，分别记为与，今证=，或设。因为，则bn-an为常数，但这与矛盾，又设，由上下确界定义，对于（
12、-），必存在an，bn使 （+）= 这与矛盾。令，便得。c的唯一性。3. 用确界存在定理证明有限覆盖定理作集合P=x|具有有限开覆盖，因为点的邻域必含有中的点，设为，则开区间必覆盖，故并且有上界。由确界存在定理，存在，记为，显然。 今作开区间使得。由确界定义，使。已知有有限开覆盖，添上则仍有有限开覆盖，从而。现证，若，则因为，便得到，使得，这与c是P的上确界是矛盾的，于是有限覆盖定理得证！4. 用确界存在定理证明聚点定理设xn是有界数列，显然存在，设为。若是xn的聚点，则问题解决。否则作集合 P=显然P非空有界，令，由P的作法，必有。这表明xn中有无限多项小于。又由的性质，必使。可见xn中只有有限多项小于，所以中含有xn的无限多项，所以是xn的聚点。因此聚点定理得证。5用确界存在定理证明Cauchy准则定理设xn是Cauchy数列，可证它有上界，设此界为M，由确界存在定理知，infxn存在，记为a。 1. 若，则，使得 设，相应地必存在（
