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1、双曲线性质的推广 学生姓名： 学号：20105031102数学与信息科学学院 数学与应用数学指导老师： 职称：教 授 摘 要：双曲面是由双曲线绕实轴或虚轴旋转后再进行伸缩变换而得到的曲面，从双曲线变到双曲面后，双曲线的许多性质也可以继续得到推广，本文将重点讨论双曲线的性质在双曲面中的推广及其应用 . 关键词：双曲线 双曲面 性质 推广Some characters extension from hyperbola to hyperboloidAbstract：The hyperboloid can be got from hyperbola when we stretch hyperbola
2、around its real axis or imaginary axis .The characters of hyperboloid is similar to hyperbola , so some of them are extended from hyperbola .In this paper, we mainly discuss those extension Key words：Hyperbola Hyperboloid Character extension前言 双曲线与双曲面在实际生活中的应用是非常广泛的，目前，人们对双曲线与双曲面的性质都有很多的发现，而双曲面的许多性质
3、是由双曲线推广得到的，在科学技术日新月异的今天，也促使我们对双曲线的性质有进一步的探索、推广，研究双曲线已有的性质以及双曲面的生成过程，找到双曲线与双曲面之间的联系，并在此基础上进一步挖掘，使双曲面的性质更加完善，有更广泛的应用价值.本论文就是基于以上分析而写的.1.定义及图形定义1.1 我们把平面内与两个定点F、F 的距离差的绝对值等于常数（小于| FF|）的点的轨迹叫双曲线.双曲线的标准方程（以轴为实轴）为：（）.定义1.2 将双曲线沿虚轴（轴）旋转，得到旋转单叶双曲面 ，再将图形向平面伸缩（设比例为），得到新的曲面便是单叶双曲面.单叶双曲面的标准方程是+，当时，是旋转单叶双曲面.定义1.
4、3 将双曲线沿实轴（轴）旋转，得到旋转双叶双曲面 ，再将图形向平面伸缩（设比例为），得到新的曲面便是双叶双曲面.双叶双曲面的标准方程是+, 当时，是旋转双叶双曲面.图1 双曲线 图2 单叶双曲面 图3 双叶双曲面2、性质的推广2.1 定义的推广根据定义1.1，在三维空间中，首先验证一下一动点到两定点的距离之差等于轨迹是否是双曲面.解：设动点的坐标为,两定点的坐标为,根据题意有等式成立,因而因,令，则轨迹方程为,它是旋转双叶双曲面.由此可见，双曲线的定义从二维推广到三维后只适合旋转双叶双曲面.2.2 对称性 双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双
5、曲线的对称中心叫做双曲线的中心，由单叶双曲面和双叶双曲面的图形和方程都可以得出他们表示的曲面关于三个坐标平面，三个坐标轴及坐标原点都是对称的，因此原点是他们的对称中心，坐标轴是他们的对称轴，坐标平面是他们的对称平面.因此，对称性推广到三维后仍然适用.2.3 顶点定义2.3.1 双曲线(以轴为实轴)的顶点是双曲线与轴的两个交点.令得. 即双曲线有两个顶点：. 同理，对于单叶双曲面，只与轴和轴有交点，令得,得到双曲面与轴的两个交点.令得，得到单叶双曲面与轴的两个交点. 即单叶双曲面有4个顶点：，. 对于双叶双曲面，只与轴有交点，令得,得到双叶双曲面与轴的两个交点.即双叶双曲面有两个顶点：.2.4
6、分布范围由双曲线的标准方程可知,双曲线上的点的坐标都适合不等式,所以, 或，说明双曲线在不等式与所表示的区域内，由单叶双曲面方程 知，因此，曲面上的点在椭圆柱面的外部或柱面上由双叶双曲面方程可知，曲面上的点满足因此,曲面分成两叶与，一叶在平面的上方，另一叶在平面下方2.5 从渐近线到渐近面的推广 定义2.5.1 双曲线的渐近线是,也就是双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近. 定理2.5.1 双曲面的渐近面方程是.证明：我们将单叶双曲面整理得 .将双叶双曲面的方程整理得 令 (1) (2)设是单叶双曲面或单叶双曲面的渐近方向,则要满足条件又设直线 (3) ,则直线(3)与曲面(1),(2
7、)或者只有一个交点,或者没有交点,或者整条直线在曲面上,所以过点且以渐近方向为方向的一切直线上的点的轨迹是曲面即,这是一个关于的二次齐次方程,所以它是一个以 为顶点的锥面,锥面上的每一条母线的方向都是二次曲面的渐近方向,而双曲线的渐近线过坐标原点,由图形可知,双曲面的渐近面的顶点应为,锥面方程即为: ,整理得: 8得到该二次锥面,我们再从另一方面来考虑他们之间的关系,用平面去截这三个平面,交线方程分别是 和 图4 双曲面及其渐近锥面 由此可见,它们的截面都是椭圆,而且这三个椭圆具有相同的中心和对称轴,并且椭圆的半轴分别为 和 这些半轴满足下列关系: ,，而且 由此可见，当无限增大是，三个曲面无
8、限接近.因此，我们称二次锥面为单叶双曲面和双叶双曲面的渐近锥面.和双曲线有渐近线相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有共同的渐近锥面.2.6 从准线到准面的推广定义2.6.1到定点的距离和它到定直线的距离比是常数的点的轨迹是双曲线，这也是双曲线的第二定义.其中定直线叫做双曲线的准线,根据双曲线的对称性,相应于焦点的准线方程，所以双曲线有两条准线.定义2.6.2 如果到一定点和一个定平面（定点不在定平面上）的距离之比等于一个常数的轨迹是双曲面，那么这个定平面叫做准面.首先，建立坐标系，取定平面为平面，定点向定平面所做垂线为轴，垂足为原点，则定点坐标可设为，又设比值为，则有 ,即讨论：当时，方程的化为，它
9、是旋转抛物面 当时，方程可化为 当时，它表示旋转椭球面 当时，它表示旋转双叶双曲面从以上结论可以看出，到一定点和一个定平面的距离之比等于常数的点的轨迹不是双曲面，因此双曲面没有准面，但是我们可以说旋转双叶双曲面有准面，即面，此时.也和双曲线的离心率相一致，此时我们将常数看作该旋转双叶双曲面的离心率，同样把它记做.2.7从直径到径面的推广定义2.7.1 二次曲线的平行弦中点轨迹是一条直线，这条直线叫做这个二次曲线的直径。它所对应的平行弦叫做共轭于这条直径的共轭弦。定义2.7.2 二次曲线的直径方程为 (其中为二次曲线的一个非渐近方向).命题2.7.1 双曲线的直径方程是证明：令 根据二次曲线的直
10、径方程，双曲线共轭于非渐近方向的直径方程是,显然，直径通过曲线的中心.象双曲线的直径一样，我们先来讨论双曲面的一族平行弦的中点轨迹，首先还得从二次曲面的平行弦的中点轨迹着手.定义2.7.3 二次曲面一族平行弦的中点轨迹是一个平面,二次曲面的平行弦的中点轨迹叫做共轭平行弦的径面.定义2.7.4 设是二次曲面的任意一个非渐近方向,平行弦中点的轨迹方程为: . 命题2.7.2 双曲面的径面方程是.证明：因为 ，所以双曲面是中心曲面,它没有奇向，任取方向，那么,所以双曲面共轭于方向的径面为，显然它通过曲面的中心.这也和双曲线的直径相仿，双曲面有径面，并且通过双曲面的中心.综上所述，双曲线的很多性质都可以推广到双曲面中来.当然这还不完整，其它方面的推广就有待于我们的进一步研究讨论.参考文献1吕林根,许子道. 解析几何M. 高等教育出版社.2李养成,郭瑞芝. 空间解析几何M. 科学出版社.3朱德祥,朱维宗.新编解析几何M.西南师范大学出版社.4彭学梅. 关于单叶双曲面的一个新性质J.吉首大学学报.2005（4）5陈运胜,邓光辉. 二次曲面的几个性质J.数学的实践与认识2004（4）6黄艳红.二次曲面讨论J.邢台职业技术学院学报.2004（1）7马立.单叶双曲面直母线族性质研究补遗J.曲靖师范学院学报.2002（3）
