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1、 毕 业 论 文题 目： 同构映射在线性变换中的应用学 院： 数学与信息科学学院 专 业： 数学与应用数学 毕业年限： 学生姓名： 学 号： 指导教师： 同构映射在线性变换中的应用摘要：线性变换这一章是高等代数的主要内容，它也是高等代数中较为抽象和比较难学的部分.所以在学习这部分内容时，最好能够把抽象内容具体化，以便于理解.为此，我们通过坐标利用同构映射把向量空间抽象的元与具体的坐标建立起了一一对应关系，从而知道了维向量空间与向量空间是同构线性空间.这样，由的坐标向量的关系便可知道中对应向量的关系.同样，通过坐标来建立线性变换的矩阵表示，使线性变换与相关数域里面的数发生联系，把抽象的线性变换问
2、题用具体的矩阵来处理，这是本文的指导思想，本文通过向量空间的抽象元素与其坐标的一一对应关系，建立了同构映射的概念，然后利用这个概念讨论线性变换的有关问题，容易地得到了一些结果.关键词：同构映射；线性变换1、 同构映射及其性质：定理16115 设是维向量空间的一个基，那么中任一元都可以由线性表示，即， （1）且表示式是唯一的.系数称为在基下的坐标.证明：按基的定义，（1）式显然成立.下证其唯一性.如果又有，那么.由于是基，故线性无关，所以,因此，表示式(1)是唯一的.根据定理1，当选定基之后，坐标由唯一确定，反之亦然.于是与坐标向量一一对应，即.这种对应是一个映射，如果记为，那么.显然对另一元，
3、亦有.这样，抽象的元就与具体的数发生了联系，并且按向量运算的规则，有，.于是有，(是数域).可见，向量空间抽象的元与其坐标向量不仅具有一一对应的关系，而且还保持了线性运算的性质，为了能够确切地说明这一点，引入下面的定义.定义1 设是两个向量空间，如果从到的一个映射是一一对应，且具有性质：1) ，2) (是数域)，那么称为一同构映射.按此定义，向量空间的元与其坐标向量之间的对应，就是一个同构映射.因而把维向量空间与维向量空间称为同构线性空间.综合定义中的性质1)和2)，可推广为.由此不难推得同构映射的性质：1） ，2） .性质1)说明，维向量空间中的元与其对应的坐标向量，具有相同的线性表示关系.
4、而性质2)则表明，维线性空间中的元与其对应的坐标向量有相同的线性相关性.所以我们可以分析中向量的关系来得到维向量空间中的元的关系.命题16100 设是向量空间中从基到的过渡矩阵，证明可逆.证明: 设,按定义，有由于矩阵的第列是在下的坐标，所以与的第列向量的对应是同构映射，故它们具有相同的线性相关性，于是由线性无关知的列向量线性无关，故，所以可逆.评注:(1)我们能够将抽象的元化为具体的坐标向量来讨论，关键在于它们存在一一对应的关系，为了突出这一点，故在学习时可以将这一节的坐标的定义(见文8)改为定理1.并且由于有了这个理论依据，所以本文便可直接用坐标向量的线性运算(不用(1)式)来推出同构映射
5、的性质，使讨论变得简单明了；(2)作为同构映射的应用，本文证明了过渡矩阵可逆.采用本文介绍的方法与通常方法(见文1) 比较，其好处是:不仅证明简单，而且对过渡矩阵有了进一步的认识，同时又加深了对同构映射的理解；(3)本文把证明过渡矩阵可逆，作为一个命题给出，以引起我们重视且便于应用，因为这个结论，在后面将会被多次用到.2、 线性变换的矩阵：定理21 设是向量空间的线性变换，如果基的像已经确定，则也完全确定.证明:设为的任意元，则由，我们有.这就是说，只要基像一旦给定，任意元的像就唯一确定，或者说由唯一确定.定义27241 设是向量空间的线性变换，是的一个基，如果这个基在下的像为 (2)形式地采
6、用矩阵运算规则，上式可用矩阵表示为.其中:，则称为线性变换在基下的矩阵.根据定义，矩阵的第列向量是在基下的坐标，那么与的第列向量之间的对应关系就是同构映射(即一一对应) ，另有定理2知道，线性变换由其基像唯一确定；反之，对于给定的线性变换，在此变换下的基像也就随之确定.这样，在一组固定基下，线性变换与其矩阵之间建立了一一对应关系.于是，抽象的线性变换就具体数值化了.下面考虑一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系.定理37242 设线性变换在基和基下的矩阵分别是和，并且， (3)则.证明: 根据假设和线性变换矩阵的定义，结合(3)式有.再由(3)式并结合假设，得.因线性无关和过渡矩阵可逆，所以由
7、上两式可得.定理得证.评注：这里引入线性变换的矩阵，目的是想将抽象的线性变换具体数值化.而解决这个问题的关键是要解决线性变换与其矩阵的一一对应问题.这牵涉到两个部分：一是线性变换与基像的一一对应问题,关于这一点往往容易忽略，为了引起重视,我们将结论以定理的形式给出；二是基像与线性变换矩阵的一一对应问题，关于这一点本文应用同构映射来处理，使问题解决既有理论依据而且简单明了，也可避免通常关于“存在唯一线性变换将变成”的证明.这一段的后面,给出的定理3的证明，只用了类似的两个式子，这种表达法，使人感到简明易懂，所以学习时可采用这种做法.3、 线性变换的秩：定理47239 设是向量空间的线性变换，那么
8、中所有各元的像构成的子空间，叫做像子空间，用来表示，即.它的维数，叫做线性变换的秩.根据定理，如果是的一组基，则，有，和.于是即是由生成的子空间，所以的维数就是向量组的最大无关组所含向量的个数，这也是的秩.定理57243 设是线性变换的矩阵，则的秩就是的秩.证明：按前面所述，已知基像与的列向量的对应是同构映射，所以它们的最大无关组所含向量个数相同，因此的维数与的秩数相同，即的秩与的秩相同.例1 设的一个线性变换： （4）求的秩.解法一：按的秩的定义求解.选基 ，将它们分别代入（4）式，得，易见最大无关组含两个向量，故的秩是2.解法二： 按定理求解.选基：，则故线性变换的矩阵为由的秩=2，得的秩
9、是2.评注：本文应用同构映射，证明线性变换的秩等于它在某一个基下的矩阵的秩，使定理极易证明.而本文给出的关于求线性变换的秩的求法，比通常求法（见文2）简单一些. 最后指出，本文应用同构映射研究线性变换的矩阵、秩，这是新的尝试.参考文献1栾汝书.线性代数.高等教育出版社，1984年2杨茂信，陈璞华，庾镜波.线性代数.华南理工大学出版社，1991年3武汉大学数学系.高等代数.人民教育出版社，1997年4北京大学数学系.高等代数.人民教育出版社，1979年5俞正光,李永乐,吕志.理工科代数基础.清华大学出版社，1998年6严守权.线性代数教程.清华大学出版社，2007年7任功全,封建湖,薛宏智.线性
10、代数.科学出版社，2005年8张禾瑞,郝鈵新.高等代数(第五版).高等教育出版社，2007年9西北师范大学数学系.高等代数.高等教育出版社，2003Isomorphic mapping used in linear transformAbstract: This chapter, linear transformation ，is the main contents of Advanced Algebra, and it is also the more abstract and more difficult part to learn. So in this part of study, i
11、t is best to be able to put the contents of the abstract concrete, in order to facilitate understanding. To this end, We use the isomorphism mapping coordinates put abstract vector space element and the coordinates of specific one-to-one relationship established, thus know-dimensional vector space a
12、nd vector space are isomorphic linear space. In this way, the coordinates of vector by the relationship know the relationship between the corresponding vector. Similarly, the adoption of coordinates to set up a linear transform matrix, so that the number of linear transformation with the relevant do
13、main which happened a few links to the abstract linear transformation matrix with specific questions to deal with this In this paper, are the guiding ideology, this article through the abstract vector space element coordinates with its one-to-one relationship, set up the concept of isomorphic mapping, and then discuss the use of the concept of linear transformation of the problem, easy to get some results.Keywords: isomorphism mapping, linear transformation指导教师预评评语指导教师职称预评成绩 年 月 日答辩小组评审意见答辩小组评定成绩答辩委员会终评意见答辩委员会终评成绩答辩小组组长（签字）：年 月 日答辩委员会主任（签章）：年 月 日l
