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1、求函数值域的7类题型和16种方法一、函数值域基本知识1定义:在函数中,与自变量x的值对应的因变量y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。2确定函数的值域的原则当函数用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y的集合;当函数用图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合;当函数用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定;当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。二、常见函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。一般地,常见函数的值域:1.一次函数
2、的值域为R.2.二次函数,当时的值域为,当时的值域为.,3.反比例函数的值域为.4.指数函数的值域为.5.对数函数的值域为R.6.正,余弦函数的值域为,正,余切函数的值域为R.三、求解函数值域的7种题型题型一:一次函数的值域(最值)1、一次函数: 当其定义域为,其值域为; 2、一次函数在区间上的最值,只需分别求出,并比较它们的大小即可。若区间的形式为或等时,需结合函数图像来确定函数的值域。题型二:二次函数的值域(最值)1、二次函数, 当其 定义域为时,其值域为2、二次函数在区间上的值域(最值)首先判定其对称轴与区间的位置关系(1)若,则当时,是函数的最小值,最大值为中较大者;当时,是函数的最大
3、值,最大值为中较小者。(2)若,只需比较的大小即可决定函数的最大(小)值。特别提醒:若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;若给定的区间形式是等时,要结合图像来确函数的值域;当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。例1:已知 的定义域为,则的定义域为 。例2:已知,且,则的值域为 。题型三:一次分式函数的值域 1、反比例函数的定义域为,值域为2、形如:的值域: (1)若定义域为时,其值域为(2)若时,我们把原函数变形为,然后利用(即的有界性),便可求出函数的值域。例3:函数的值域为 ;若时,其值域为 。例4:当时,函数的值域 。 (2)已知,且,则的
4、值域为 。例5:函数的值域为 ;若,其值域为 。题型四:二次分式函数的值域一般情况下,都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题: 检验二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或是函数无意义,都应从值域中去掉该值;闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在;分子、分母必须是既约分式。例6:; 例7:; 例8:; 例9:求函数的值域解:由原函数变形、整理可得: 求原函数在区间上的值域,即求使上述方程在有实数解时系数的取值范围当时,解得: 也就是说,是原函数值域中的一个值 当时,上述方程要在区间上有解,即要满足或 解得: 综合得:原函数的值域为:题型五:形如的值域 这类题型都可以通过换元转化成二
5、次函数在某区间上求值域问题,然后求其值域。例10: 求函数在时的值域 题型六:分段函数的值域: 一般分别求出每一分段上函数的值域,然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出,从图像上便可很容易地得到函数的值域。例11: 例12: 题型七:复合函数的值域 对于求复合函数的值域的方法是:首先求出该函数的定义域,然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。例13: 例14: 四、函数值域求解的十六种求法(1)直接法(俗名分析观察法):有的函数结构并不复杂,可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量的范围出发,推出的取值范围。或由函
6、数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。例1:已知函数,求函数的值域。 例2:求函数的值域。 例3:求函数的值域。 例4:求函数的值域。 (2)配方法:二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解,但在转化的过程中要注意等价性,特别是不能改变定义域。对于形如或类的函数的值域问题,均可使用配方法。例1求函数的值域。分析与解答:因为,即,于是:,。例2求函数在区间的值域。分析与解答:由配方得:,当时,函数是单调减函数,所以;当时,函数是单调增函数,所以。所以函数在区间的值域是。(3)最值法:对于闭区间上的连续函数,利用函数的最大值、最小值,求函数的值域的
7、方法。例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。解:由3-2x-x20,解出定义域为-3,1。 函数y在-3,1内是连续的,在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4,最小值为0。函数的值域是0,2例2:求函数,的值域。 例3:求函数的值域。 (4)反函数法(逆求或反求法):利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。即通过反解,用来表示,再由的取值范围,通过解不等式,得出的取值范围。对于形如的值域,用函数和它的反函数定义域和值域关系,通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。例1:求函数的值域。解:由解得,函数的值域为。(5)分离常数法:分子、分母是一次
8、函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。小结:已知分式函数,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为,用复合函数法来求值域。例1:求函数的值域。解:,函数的值域为。(6)换元法(代数/三角):对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数,可以考虑运用代数或三角代换,将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数,从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时,用代数换元;当根式里是二次式时,用三角换元。对形如的函数,令;形如的函数,令;形如含的结构的函数,可利用三角代换,令,或令.例1:
9、求函数的值域。解:令(),则,当,即时,无最小值。函数的值域为。例2求函数的值域。分析与解答:令,则。,当时,值域为例3求函数的值域。分析与解答:由=,令, 因为,则=,于是,所以。(7)判别式法:把函数转化成关于的二次方程;通过方程有实数根,判别式,从而求得原函数的值域。对形如(、不同时为零)的函数的值域,通常转化成关于x的二次方程,由于方程有实根,即从而求得y的范围,即值域。值得注意的是,要对方程的二次项系数进行讨论。注意:主要适用于定义在R上的分式函数,但定义在某区间上时,则需要另行讨论。例1:求函数的值域。解:由变形得,当时,此方程无解;当时,解得,又,函数的值域为(8)函数单调性法:
10、确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。例如,.当利用不等式法等号不能成立时,可考虑利用函数的单调性解题。例1:求函数的值域。解:当增大时,随的增大而减少,随的增大而增大,函数在定义域上是增函数。,函数的值域为。例2求函数在区间上的值域。分析与解答:任取,且,则,因为,所以:,当时,则;当时,则;而当时,于是:函数在区间上的值域为。构造相关函数,利用函数的单调性求值域。例3:求函数的值域。分析与解答:因为,而与在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数,易知在定义域内单调增。,又,所以:,。(9)基本不等式法利用基本不等式求函数值域, 其题型特征解析式是和式时要求积为定
11、值,解析式是积时要求和为定值。利用基本不等式,用此法求函数值域时,要注意条件“一正,二定,三相等”.如利用求某些函数值域(或最值)时应满足三个条件;为定值;取等号成立的条件.三个条件缺一不可。此外,有时需要合理地添项和拆项和两边平方等技巧, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,比如求函数的值域。例1 求函数的值域. 解: , 当且仅当时成立. 故函数的值域为. 此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程. 例2:求函数的值域:. 解: 当且仅当时,即时等号成立,所以元函数的
12、值域为.例3. 求函数的值域。解:原函数变形为:当且仅当即当时,等号成立故原函数的值域为:例4. 求函数的值域。解: 当且仅当,即当时,等号成立。由可得:故原函数的值域为:(10)函数有界性法: 利用某些函数有界性求得原函数的值域。对于对形如,由于正余弦函数都是有界函数,值域为-1,1,利用这个性质可求得其值域。例1:求函数的值域。解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为,对函数进行变形可得,(,),s函数的值域为形如可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。例2求函数的值域解: 由得例3:求函数的值域。 例4:求函数的值域。 (11)数型结合法:如果所给函数有较明显的几何意义(如两点间距离,
13、直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,可借助几何图形的直观性来求函数的值域,如由可联想到两点与连线的斜率或距离。例1:求函数y=|x+1|+|x-2|的值域。解法1:将函数化为分段函数形式:,画出它的图象,由图象可知,函数的值域是y|y3。解法2(几何法或图象法):函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和,易见y的最小值是3,函数的值域是3,+。如图 )例2求函数的值域。点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。解:原函数变形为作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位正方形。设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,KC=。由三角形三边关系知,AK+KCAC=5。当A、K、C三点共线时取等号。原函数的知域为y|y5。例3求函数的值域。解析:令,则,原问题转化为:当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时,求直线的截距的取值范围。由图1知:当经过点时,;当直线与圆相切时,。所以,值域为例4. 求函数的值域。解:将函数变形为上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点到点的距离之差。即由图可知:(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点,则构成,根据三角形两边之差小于第三边,有即(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有综上所述,可