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1、学 海 无 涯 XXXX 年普通高等学校招生全国统一考试（卷）逐题解析 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。,3 i,1 i, （ ）,【题目 1】(XXXX新课标全国卷理 1)1. A1 2i B1 2i C 2 i D 2 i,2,【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，意在考查学生的运算能力. 【解析】解法一：常规解法 3 i 3 i1 i 4 2i 2 i,1 i,1 i1 i ,解法二：对十法,31 11,3 i 可以拆成两组分式数 31 算的结果应为a bi 形式， a ，运,
2、1 i 11 12 12, 2 （分子十字相乘，,12 12,分母为底层数字平方和）， b 11 31 1 （分子对位之积差，分母为底层数字平方和）.,解法三：分离常数法 3 i 2 1 i 1 2 1 1 i1 i 2 i 1 i 1 i 1 i 1 i 解法四：参数法,3 i a bi 3 i a bi 1 i 3 i a b a bi a b 3 ，解得a 2,1 i a b 1 b 1, ,故 3 i 2 i,1 i 【知识拓展】复数属于新课标必考点，考复数的四则运算的年份较多，复数考点有五：1.复数的,几何意义（XXXX 年）；2.复数的四则运算；3.复数的相等的充要条件；4.复数的
3、分类及共轭复数； 5.复数的模 【题目 2】(XXXX新课标全国卷理 2)2.设集合 1, 2, 4 ， x x2 4x m 0若 1 ， 则 （ ） A1, 3 B1, 0 C1, 3 D1, 5 【命题意图】本题主要考查一元二次方程的解法及集合的基本运算，以考查考生的运算能力为目 的. 【解析】解法一：常规解法, A B 1,学 海 无 涯 1 是方程 x2 4x m 0 的一个根，即m 3 ，,B x x2 4x 3 0,故,B 1,3,解法二：韦达定理法,1, A B 1 1 是方程 x2 4x m 0 的一个根， 利用伟大定理可知： x 1 4 ，解得：,x1 3，故 B 1,3 解
4、法三：排除法,1 2,集合 B 中的元素必是方程方程 x2 4x m 0 的根， x x 4 ，从四个选项ABCD,看只有 C 选项满足题意. 【知识拓展】集合属于新课标必考点，属于函数范畴，常与解方程求定义域和值域数集意义 相结合，集合考点有二：1.集合间的基本关系；2.集合的基本运算. 【题目 3】(XXXX新课标全国卷理 3)3.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七 层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相 邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ） A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9
5、盏 【命题意图】本题主要考查等比数列通向公式an 及其前n 项和 Sn ，以考查考生的运算能力为主目 的. 【解析】解法一：常规解法 一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，即 S7 381；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，即,1,n,a 1 q,q 2 ，塔的顶层为a1 ；由等比前n 项和 Sn ,1 q, ,1,7,n,a 1 2,q 1 可知： S ,1 2, 381 ，解得,a1 3. 解法二：边界效应 等比数列为递增数列，则有 an1 Sn ， a8 S7 381，解得 a1 2.9 ， a1 3. 【知识拓展】数列属于高考必考考点，一般占 10 分或 12 分，即两道小题
6、或一道大题，其中必 有一道小题属于基础题，一道中档偏上题或压轴题，大题在 17 题出现，属于基础题型，高考所 占分值较大，在高中教学中列为重点讲解内容，也是大部分学生的难点，主要是平时教学题型难 度严重偏离高考考试难度，以及研究题型偏离命题方向，希望能引起注意；考试主线非常明晰， 1.等差数列通向公式an 及其前 n 项和 Sn ；2. 等比数列通向公式an 及其前n 项和 Sn . 【题目 4】(XXXX新课标全国卷理 4)4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，学 科&网粗实线画出的是,学 海 无 涯 某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ） A
7、90 B 63 C 42 D 36,【命题意图】本题主要考查简单几何体三视图及体积，以考查考生的空间想象能力为主目的. 【解析】解法一：常规解法 从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分，具体图像如下：,从上图可以清晰的可出剩余几何体形状，该几何体的体积分成两部分，部分图如下：,，,【题目 5,】(XXXX,新课标全国卷理 5)5.,设 x ， y 满足约束条件,【知识拓展】三视图属于高考必考点，几乎年年考三视图，题型一般有五方面，1.求体积；2.求面 积（表面积，侧面积等）；3.求棱长；4.视图本质考查（推断视图，展开图，空间直角坐标系视 图）；5.视图与球体综合联立，其中前三个
8、方面考的较多. 2x 3y 3 0, y 3 0,2x 3y 3 0 ，则 z 2x y 的最小值,学 海 无 涯 是（ ） A 15 B 9 C1,D 9,【命题意图】本题主要考查线性规划问题，以考查考生数形结合的数学思想方法运用为目的， 属于过渡中档题. 【解析】解法一：常规解法 2x 3y 3 0, y 3 0,根据约束条件2x 3y 3 0 画出可行域（图中阴影部分）, 作直线l : 2x y 0 ，平移直线l ，,将直线平移到点 A 处 Z 最小，点 A 的坐标为6, 3 ，将点 A 的坐标代到目标函数 Z 2x y ， 可得 Z 15 ，即 Zmin 15 .,解法二：直接求法 对
9、于封闭的可行域，我们可以直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种选其最小的 为最小值即可，点 A 的坐标为6, 3 ，点 B 的坐标为6, 3 ，点C 的坐标为0,1 ，所求值分 别为15 9 1 ，故 Zmin 15 ， Zmax 9 . 解法三：隔板法 首先 看约束条件方程的斜率,3 3,约束条件方程的斜率分别为 2 2 0 ；,其次 排序 按照坐标系位置排序 2 0 2 ； 3 3 再次 看目标函数的斜率和 y 前的系数 看目标函数的斜率和 y 前的系数分别为2 1 ； 最后 画初始位置，跳格，找到最小值点,l,A,y = -3,2x+3y-3=0,x,O,y,C 2x-3y+3=
10、0,B,学 海 无 涯,3, , ,目标函数的斜率在 2 ,0 之间，即为初始位置， y 前的系数为正，则按逆时针旋转，第一格为, 3 , ,3 3 3,最大值点，即 2 , 2 ，第二个格为最小值点，即 0, 2 ，只需解斜率为0 和 2 这两条线的交点,即可，其实就是点 A ，点 A 的坐标为6, 3 ，将点 A 的坐标代到目标函数 Z 2x y ， 可得 Z 15 ，即 Zmin 15 . 【知识拓展】线性规划属于不等式范围，是高考必考考点，常考查数学的数形结合能力，一般 变化只在两个方向变化，1.约束条件的变化；2.目标函数的变化；约束条件变化从封闭程度方面 变化，目标函数则从方程的几
11、何意义上变化，但此题型属于高考热点题型（已知封闭的约束条 件，求已知的二元一次方程目标函数），此题型属于过渡中档题，只需多积累各题型解决的方法 即可. 【题目 6】(XXXX新课标全国卷理 6)6.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ） A12 种 B18 种 C24 种 D36 种 【命题意图】本题主要考查基本计数原理的应用，以考查考生的逻辑分析能力和运算求解能力 为主. 【解析】解法一：分组分配之分人 首先 分组 将三人分成两组，一组为三个人，有 A3 6 种可能，另外一组从三人在选调一人，有C1 3 种可 3 3 能；
12、 其次 排序,2,两组前后在排序，在对位找工作即可，有 A2 2 种可能；共计有 36 种可能.,解法二：分组分配之分工作 工作分成三份有C2 6 种可能，在把三组工作分给 3 个人有 A3 6 可能，共计有 36 种可能. 4 3 解法三：分组分配之人与工作互动 先让先个人个完成一项工作，有 A3 24 种可能，剩下的一项工作在有 3 人中一人完成有C1 3 4 3,2,种可能，但由两项工作人数相同，所以要除以 A2 2 ，共计有 36 种可能.,解法四：占位法,3 4,其中必有一个完成两项工作，选出此人，让其先占位，即有C1 C2 18 中可能；剩下的两项工作,2,由剩下的两个人去完成，即
13、有 A2 2 种可能，按分步计数原理求得结果为 36 种可能.,学 海 无 涯,解法五：隔板法和环桌排列 首先让其环桌排列，在插两个隔板，有C2 6 种可能，在分配给 3 人工作有 A3 6 种可能，按分 4 3 步计数原理求得结果为 36 种可能. 【知识拓展】计数原理属于必考考点，常考题型有 1.排列组合；2.二项式定理，几乎二者是隔一 年或隔两年交互出题，排列组合这种排序问题常考，已经属于高考常态，利用二项式定理求某一 项的系数或求奇偶项和也已经属于高考常态，尤其是利用二项式定理求某一项的系数更为突出. 【题目 7】(XXXX新课标全国卷理 7)7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问
14、成语竞赛的成绩老 师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科&网给丁 看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ ）,A乙可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩,B丁可以知道四人的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩,【命题意图】本题考查推理与证明的有关知识，考查考生推理论证能力. 【解析】解法一：假设法 甲看乙丙成绩，甲不知道自己的成绩，那么乙丙成绩中有一人为优，一人为良；乙已经知道 自己的成绩要么良，要么优，丙同样也是，当乙看到丙的成绩，一定知道自己的成绩，但是丙一 定不知道自己的成绩；而丁同学也知道自己的成绩要么良，要么优，只有看到甲的成绩，才能判 断自己的成绩，丁同学也一定知道自己的成绩，故只有乙丁两位同学知道自己的成绩. 解法二：选项代入法 当我们不知道如何下手,则从选项入手，一一假定成立，来验证我们的假设是否成立，略 【知识拓展】推理与证明近两年属于热点考题，XXXX 年的第 15 题（理）第 16 题（文），今年 的理（7）文（9），属于创新题，突出新颖，但题的难度不大，需要考生冷静的思考，抓住主 要知识要点，从而能够快速做题，属于中
