概率论与数理统计_谢永钦版课后答案课后习题答案

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1、概率论与数理统计习题及答案习 题 一1 . 略. 见教材习题参考答案.2 . 设4 B, C为三个事件，试用力，B, C的运算关系式表示下列事件:( 1) A发生，B, C都不发生；(2) A与8发生，。不发生；(3) A, B, C都发生；( 4) A, B, C至少有一个发生；(5) A, B, C都不发生；(6) A, B, C不都发生；( 7) A, B, C至多有2个发生；(8) A, B, C至少有2个发生.【 解】(1) ABC (2) ABC (3) ABC(4) AUBUC=AB CU ABC UABC U A BCUAB CUABC UABC=ABC(5) ABC=AUBJ

2、C (6) ABC(7) BCUAB CUABC U AB CUA BC JA BC J ABC = ABC = A U 5 U C)ABUBCiJCA=ABC U/15CU 7 BCU4BC3 .略. 见教材习题参考答案4 . 设4, B为随机事件，且P G4) =0.7,尸(/-8)=0.3,求P () .【 解】P (AB ) =1-P (AB) =l-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.65 . 设4 8是两事件，且 尸 ( / ) =0.6,尸(8)=0.7,求：( 1 )在什么条件下尸( 4 8 )取到最大值？( 2 )在什么条件下尸(A B )取到最小值？【 解】(

3、1 )当48 时，P (A B )取到最大值为0.6.( 2 )当时 ,P (A B )取到最小值为0.3.6 . 设 B, C 为三事件，且 尸 ( N ) = 尸( 8) =1/4, P (C) =1/3 且尸 CAB) =P (BC) =0,P (AC) =1/12,求4, 8, C至少有一事件发生的概率.【 解】 P UU5UC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)1 1 1 1 3= + + - - - - -=一4 4 3 12 47 . 从 5 2 张扑克牌中任意取出1 3 张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块， 2张梅花的概率是多少

4、？【 解】 kC 5 c3 c3 c2 / 。313 13 13 13 528 . 对一个五人学习小组考虑生日问题：(1) 求五个人的生日都在星期日的概率；( 2 ) 求五个人的生日都不在星期H的概率;(3) 求五个人的生日不都在星期日的概率.【 解】(1) 设4= 五个人的生日都在星期日 , 基本事件总数为7 5 , 有利事件仅1 个，故1 1p ap = =(-)5 ( 亦可用独立性求解，下同)(2) 设4= 五个人生日都不在星期日 , 有利事件数为&，故65 6P歹( 3 )设4= 五个人的生日不都在星期日1p(4) = 尸 ( 4尸1 一 ( 方户9 . 略. 见教材习题参考答案.1

5、0 . 一 批产品共N件，其中河 件正品. 从中随机地取出n件( n N). 试求其中恰有m件( 加W ) 正 品 ( 记 为 4) 的概率如果：( 1 ) 件是同时取出的；( 2 ) 件是无放回逐件取出的；( 3 ) 件是有放回逐件取出的.【 解】( 1 ) P ( A ) = C C - /CM N-M N( 2 )由于是无放回逐件取出，可用排列法计算. 样本点总数有P 种，次抽取中有机N次为正品的组合数为C，” 种. 对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正n品中取加件的排列数有P 种， 从 A M1件次品中取- 加件的排列数为P f 种,M N-M故P ( J ) = _u _ _

6、 M , N.M-P N由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成C w C n-mP ( A ) = M N -M、N可以看出，用第二种方法简便得多.(3) 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为2 种，次抽取中有机次为正品的组合数为C ， 种， 对于固定的一种正、 次品的抽取次序,n2机 次取得正品，都 有 M 种取法，共 有 M种取法，TM 次取得次品，每次都有种取法，共 有(N - M )种取法，故P( A ) = C ” ， M m(N Nn此题也可用贝努里概型，共做了 重贝努里试验，每次取得正品的概率为二不，则取得， 件正品的概率为尸( 4凯阁H

7、.略. 见教材习题参考答案.1 2 . 5 0 只钾钉随机地取来用在1 0 个部件上， 每个部件用3只钾钉. 其中有3个抑钉强度太弱. 若将3只强度太弱的怫钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱. 求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【 解】设 / = 发生一个部件强度太弱。(4 ) =。C 3 /C 3 = _10 3 50 I 9 6 01 3 .一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率.【 解】 设4K恰有， 个白球( i = 2 , 3 ), 显然4 与 4 互斥.PQ ) =Ci 3 5P( A U N )= 尸 (4

8、) + 尸 ( / ) = 23 2 3 3 51 4 . 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0. 8 和 0. 7 , 在两批种子中各随机取一粒，求：(1 ) 两粒都发芽的概率；(2 ) 至少有一粒发芽的概率；(3 ) 恰有一粒发芽的概率.【 解】设4 = 第批种子中的一粒发芽 ，( 六1， 2)( 1)P ( A A ) = P( A ) P( A ) = 0. 7 x 0. 8 = 0. 56I 2 1 2( 2) P( A JA ) = 0. 7 + 0. 8 - 0. 7 x 0. 8 - 0. 9 41 2( 3)P A AU AA ) = 0. 8 x 034- 0. 2x 0. 7

9、 = 0. 38I2 1 215 . 掷一枚均匀硬币直到出现3 次正面才停止.(1 ) 问正好在第6次停止的概率；(2 ) 问正好在第6次停止的情况下，第 5 次也是出现正面的概率.1115 。 (1 ) ( 1 ) 3 1 2【 解】( 1) P =。2( )2( )3 = ( 2) p =4 2 2 _ = I 5、2 2 2 32 3 2 5/ 32 516 . 甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0. 7 及 0. 6 , 每人各投了 3 次，求二人进球数相等的概率.3【 解】设4 = 甲进， 球 , =0,1,2,3,4= 乙进， 球 ,i=0,1,2,3,则P ( A B ) =

10、 ( 0. 3)3( 0. 4)3+ CI 0.7 x (0.3)2。 0.6 x (0.4)2 +i i3 3 3i=0C2( 0.7) 2XO . 3C (0.6) 0.4+(0.7) (0.6)3 3=0.3207617 . 从 5 双不同的鞋子中任取4 只，求这4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【 解】,C4C C C C 1 13= 1 5 - 3_3_ 3 3 -C4 211018 .某地某天下雪的概率为0 .3 ,下雨的概率为0 .5 ,既下雪又下雨的概率为0.1,求:( 1 ) 在下雨条件下下雪的概率；( 2 ) 这天下雨或下雪的概率.【 解】 设4= 下雨 , 8=

11、下雪 .(1)P( 即 )P(AB)% 0.20.5(2) p (A jB ) = P(A) + PB ) P(AB) = 0.3 + 0.5 - 0.1 = 0.71 9 . 已知一个家庭有3 个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率( 小孩为男为女是等可能的).【 解】 设 4= 其中一个为女孩 , 8= 至少有一个男孩 ，样本点总数为23=8,故P ( 卬 ) =上3丝、1 P(A) 7/8 7或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.2 0 . 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率( 假设男人和女人各占人数的一半).【 解】

12、设 /= 此人是男人 , 8= 此人是色盲 , 则由贝叶斯公式/ 用) =9= 1 P(B) P(A)P(B |) + P(A)P(B | J )0. 5 0. 0 5 _ 20- 0. - 0. - 5 . 5 0.飞 血 5 2 12 1 . 两人约定上午9 ： 00 10 ： 00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.4yO 30 60题 2 1 图 题 22图【 解 】设 两 人 到 达 时 刻 为 则 0金 , 户 6 0溥件“ 一人要等另一人半小时以上” 等价于| x - 30.如图阴影部分所示.。=302 = 16 O 2 42 2 .从 ( 0, 1 ) 中随机地取两个

13、数，求：6(1 ) 两个数之和小于5 的概率；1(2 ) 两个数之积小于7的概率.【 解 】 设两数为x , y, 则 O v x j K L6( 1 ) .1 4 41 -2 1 1 .1 1 = 0. 6 81 1 251(X)xy= _ 8 4=u- -U - 6C 3 C 3 C 3 C 3 C 3 Ci C 3 C 31 5 1 5 I 5 1 5 I 5 I 5 I 5 I 5= 0. 0 8 925 .按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90 % 的可能考试及格，不努力学习的学生有90 % 的可能考试不及格. 据调查，学生中有80 % 的人是努力学习的，试问：( 1 ) 考

14、试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？( 2 ) 考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【 解】设 / = 被调查学生是努力学习的 ,则 彳 = 被调查学生是不努力学习的 . 由题意知尸(4) = 0 . 8, P ( A ) = 0.2,又设8= 被调查学生考试及格 . 由题意 知 尸 (5| J ) = 0 . 9, P( 5| J ) = 0 . 9,故由贝叶斯公式知P （ m P （ B 口）P（AB）（ 1 ） P（AB）P（B） 尸（ / ） P（ 叩） + 尸（ N ） P（ 叩）=- - - - - 。 .- 0 . 1 =_ t o 0 2 7 0 20 . & 0 .

15、 - 9 0 x 2 0 . 1 3 7即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2 . 70 2 %P（AB） _ P （ / ） P（ 耳/）P（B） PAP（BA） + P（A）P（BA）0 . & 0 . 10 . 8x 0 . 1 + 0 . 2 x 0 . 94= = 0 . 3 0 771 3即考试不及格的学生中努力学习的学生占3 0 . 77% .2 6 . 将两信息分别编码为4 和 8 传递出来，接收站收到时， /被误收作8 的概率为0 . 0 2 ,而B被误收作力的概率为0 . 0 1 . 信息4 与8 传递的频繁程度为2 ： 1 . 若接收站收到的信息是A,试问原发信息是力的

16、概率是多少？【 解】设Z = 原发信息是4 , 则= 原发信息是8 C= 收到信息是4 , 则= 收到信息是B 由贝叶斯公式，得6P(Z ) P(。p (/ ) p (c | / ) + P(N) p (c p )- - - -2 7 0 - 9 8 - = 0 . 9 9 4 9 2P(川 C)2 / 3 ( 0 . 98 k / 3 0 . 0 12 7 . 在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种)【 解】设 4 = 箱中原有i 个白球 (= 0 ,1 ,2 ) ,由题设条件知尸( 4 )

17、= ； i = 0 ， l ， 2 . 又设8= 抽出一球为白球 . 由贝叶斯公式知勺 怛 ) =P( A B) P(即 ) 尸 尸 P( B A ) P( A )i=02 / 3 x l / 31l / 3 x l / 3 + 2 / 3 x l / 3 + l x l / 3 32 8 . 某工厂生产的产品中96 % 是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0 . 0 2 , 一个次品被误认为是合格品的概率为0 . 0 5,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【 解】设4 = 产品确为合格品 , 8= 产品被认为是合格品由贝叶斯公式得产(加) =9=尸 例叩 )

18、_1 P( B) P( A ) P( B A ) + P( A ) P( B | J )=9 6 9 8 = 0 . 9980 . 9 6 0 . - 9 8 0 c 0 4 0 . 0 52 9 . 某保险公司把被保险人分为三类：“ 谨慎的” ， “ 一般的” ， “ 冒失的” . 统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0 . 0 5,0 . 1 5和 0 . 3 0 ；如 果 “ 谨慎的”被保险人占 2 0 % , “ 一 般的”占 50 % , “ 冒失的”占 3 0 % , 现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“ 谨慎的”的概率是多少？【 解】 设Z = 该客户是“ 谨

19、慎的” , 8 = 该客户是“ 一般的” ,C= 该客户是冒失的 , 小 该客户在一年内出了事故则由贝叶斯公式得P M。) =上 2 =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _p (/ ) p (0 z) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _P( D) P( A ) P( D | A ) + P( B) P( D | B) + P(C) P(D | C)0 . 2 x 0 . 0 5 + 0 . 5x 0 . 1 5 + 0 . 3 x 0 . 33 0 . 加工某一零件需要经过四道工序，设第一、 二、三 、四道工序的次品率分别为0 . 0 2 ,0 . 0 3 ,

20、0 . 0 5,0 . 0 3 , 假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【 解】设 / 第 ， 道工序出次品 3 = 1 ,2 ,3 ,4) .PC A)= I-P(7 T T T)i 1 2 3 4/=1) P( A ) 汽 / ) P( A )12 3 47= 1 0 . 9 & 0 . 9 0 . 9即为(0 . 8 0 . 1故 腹 1 1至少必须进行1 1次独立射击.3 2 .证明：若P a I 8 ) =P(A I 5),则z , B相互独立.【 证】P(川阶P( 即P(AB)P(B)P(AB)P亦即 P(AB)R 玲 FTA B R BP(AB)1-P(B) =

21、P(A) P(AB)P(B)因此 P( A B)= R R B)故4与5相互独立.3 3 .三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为：，；，,求将此密码破译出的概率.【 解】设 / 第 ， 人能破译册=1 ， 2 , 3 ) ，则z ) = i p( 彳77 ) = 1 P ( 7 ) P ( 7 )尸( 了)/ 1 2 3 1 2 3f=l3 4 .甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0 4 , 0 . 5 , 0 . 7 ,若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0 2若有两人击中，则飞机被击落的概率为0 . 6 ：若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.

22、【 解】设 公 飞机被击落 ,4= 恰有i人击中飞机 , i= 0 , l , 2 , 3由全概率公式，得P(m = P(A IB ) P ( B )i ii= 0= ( 0 . 4 X 0 . 5 x 0 . 3 +0 . 6 X 0 . 5 X 0 . 3 +0 . 6 X 0 . 5 X 0 , 7 ) 0 . 2 +( 0 . 4 X 0 . 5 X 0 . 3 +0 . 4 X 0 . 5 X 0 . 7 +0 . 6 X 0 . 5 X 0 . 7 ) 0 . 6 +0 4 X 0 . 5 X 0 . 7= 0 . 4 5 83 5 .已知某种疾病患者的痊愈率为2 5 % ,为试验

23、一种新药是否有效， 把它给1 0个病人服用，且规定若1 0个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：(1)虽然新药有效，且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率.8(2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.【 解】( 1 ) P =2L o (O.35)A(O.65)IO-A- = 0 . 5 1 3 81 10k=。( 2 ) p =Zc* ( 0 . 2 5 ) * ( O. 7 5 ) io- x - = 0 . 2 2 4 12 10A=43 6 . 一架升降机开始时有6位乘客, 并等可能地停于十层楼的每一层. 试求下列事件的概率:( 1 ) 4 = 某指

24、定的一层有两位乘客离开” ；( 2 ) 8 = 没有两位及两位以上的乘客在同一层离开” ；( 3 ) C = 恰有两位乘客在同一层离开” ；( 4 ) D = 至少有两位乘客在同一层离开”.【 解】 由于每位乘客均可在1 0 层楼中的任层离开，故所有可能结果为1 0 6 种 .C 2 94P (小命，也可由6重贝努里模型:( 2 )P ( 4 ) = 1 9C 2() 2 (二)46 1 0 1 06个人在十层中任意六层离开，故P 6P ( B ) = 101 0 6(3)由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有Cl种可能结果，再从10六人中选二人在该层离开， 有C 2 种离开方

25、式. 其余4人中不能再有两人同时离开的情6况，因此可包含以下三种离开方式： 人 中 有 3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有C iC 3 。 种可能结果；4人同时离开，有C l 种可能结果：9 4 8 94个人都不在同一层离开，有 P 4 种可能结果，故9P ( C ) = C l C 2 ( C l C 3 C l +C l +P 4 ) / 1 0 610 6 9 4 8 9 9( 4 ) D=5. 故P 6尸 (0 = 1 ( 8 ) = 1 - 式3 7 . n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：(1)甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；(2)甲、乙、

26、丙三人坐在一起的概率；(3)如果个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.1【 解】P、 = -r1 7 7 - 19 p =Z, 3(_)!( 3 ) P ：( - 1 ) ! 1 ，2 33 8 . 将线段 0 , 任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【 解】 设 这 三 段 长 分 别 为 则 基 本 事 件 集 为 由0 x af i y a,0 a-x -y a - x - yx + a - x - y ) yy + ( a - x - y ) x构成的图形，即0 x 20 y - 2a x + y 1 0 0 0 P( A ) = = 0 . 0 9 6 , P( A )

27、 = = 0 . 0 0 82 1 0 0 0 J 1 0 0 04 1 . 对任意的随机事件4 B, C ,试证P ( A B) +P ( A C) -P ( B O【 证】 P( A ) P A ( B Q P ( U 8 A C= P( A B) + H / 矢 R AB f10P(AB)+ Fi AQ- BE42.将 3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1 , 2 , 3的概率.【 解】 设4= 杯中球的最大个数为i ,i= W.将 3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有4 3 种，杯中球的最大个数为1 时,每个杯中最多放一球，故一C33!1 4 338而杯中球的最

28、大个数为3,即三个球全放入一个杯中，故比或11 6=143cj4XT83pxrwA)=Z2(/348i 92P(A) = T 6C i C Cl 34 364 3 , 将 枚 均 匀 硬 币 掷 2 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【 解】掷 2 次硬币， 可能出现： / = 正面次数多于反面次数 , 8y正面次数少于反面次数 ,C = 正面次数等于反面次数 , A , B, C两两互斥.可用对称性来解决. 由于硬币是均匀的，故 P ( / )= P ( 5 ) . 所以小 )=空由2n重贝努里试验中正面出现次的概率为P ( C ) = O ( 1 ) ( 1 ) 故 p ( ) =l

29、i - c - L 2 2 2 2 4 4 . 掷次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【 解】设 / = 出现正面次数多于反面次数 , 8 = 出现反面次数多于正面次数 , 由对称性知P = P ( 5 )(1)当为奇数时，正、反面次数不会相等由P ( 4 ) + P ( 8 ) = 1 得 P ( 4 ) =P ( 8 )=0 . 5( 2 ) 当为偶数时，由上题知p ( / )=! 明)“ 4 5 . 设甲掷均匀硬币+ 1 次，乙掷次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【 解】 令 甲 = 甲掷出的正面次数，甲 = 甲掷出的反面次数.1 1 :反乙 = 乙掷出的正面次数，

30、乙 = 乙掷出的反面次数.止 反显然有专乙? = ( 甲5 乙 / = ( + 1 - 甲产- 乙J1 1= ( 甲2 1+ 乙 )= ( 甲 乙 )反 反 反 反由对称性知P ( 甲 乙 )=p ( 甲 乙 )iE 正 反 反因此P( 甲 乙) = 3正 正 24 6 .证 明 “ 确定的原则”( S u r e - t h i n g) ：若 P U | C ) P ( B Q ,P ( A C) , 则 p (A)尸 (8 ) .【 证】由尸(AC) 2p( 以O,得P(AC) P(BC)即有 P ( 4R B 0同理由 P A | - C P (B Q ,得 P(AQ H 。，故 P

31、( / ) = P( / 今 / T / f 国C (P )B4 7 . 一列火车共有节车厢， 有41 2 ” )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【 解】 设4r第i节车厢是空的 ，(i = l ,， ) ， 则. = ( 1.i nk nP(AA ) =i J nn P(A A / ) = ( 1 -)k4 12 * n其 中i J , /是1 , 2,，中的任一 1个 .1 Z /I1显然“节车厢全空的概率是零，于是S = X p ( J ) = M (l -l = C1 (1 -1 iin n n/=1S = E P (AA) q ( l 3) *2 i

32、 j n nsn-1E P(A A . . . A)q” i (l一 b *n2 f-l S - 0尸(CM ) = S -S +S -. + (-1+I5,=I 1 2 3 12= 。（ 1- L ） - （上 + 9 k ） ，k ） n ft故所求概率为i - p （ U J） = I-CI（I-1 ）A + C 2 （ i - 2 ）（- +（ -i +i c -i （ i - - （ = 1 n n n n n4 8 .设随机试验中，某一事件4出现的概率为 0.试证明：不论 0 如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1 .【 证】在前次试验中，/ 至少出现一次的

33、概率为1 - （ 1 -s ） 1 （ / ? - 00）4 9 .袋中装有机只正品硬币， 只次品硬币（ 次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只,将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【 解】设 /= 投掷硬币， 次都得到国徽8 = 这只硬币为正品_ 7由题知 P（B）=m加 + m + n1 _P（AB）= P（AB） = 12 r则由贝叶斯公式知” 勺 叫 一 口力8 ） _ P（B）P（ 川 B）P（A） P （ 8 ） P （ 川 8 ） + P （ B ） P （ / | 3 ）5 0 .巴 拿 赫 （ Ba n a c h ）火柴盒问题：某数学家有

34、甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（ 不是发现空）而另 盒恰有r 根的概率又有多少？【 解】以 4、 4 记火柴取自不同两盒的事件，则有P （ e ） = P （ 8,） = g . （ I） 发现一盒已空,另一盒恰剩r根，说明已取了 2 “ -/次，设次取自4 盒 （ 已空） ，n-r次取自B,盒 ,第 2 -什1 次拿起巧 , 发现已空。把取2 ” -厂次火柴视作2 -厂重贝努里试验，则所求概率为c“ Ln-r 2 2 r - r式中2反映珞 与纹盒的对称性（ 即也可以是与 盒

35、先取空）.（ 2 ） 前 2 -1 次取火柴，有 次 取 自 纥 盒 ， 7 - 厂次取自2 盒，第 2 片,次取自盒，故概率为5 1 .求重伯努利试验中4出现奇数次的概率.13【 解】设在次试验中4 出现的概率为p.则由(q + p)“ = Co pqq，I+ Ci pqn-i + C2 piqn-i + + C p “q。= 1n n n n( q - p ) =Copoq” +Ci pq- + C2piqn-2- + (-l) Cnp qon n n n以上两式相减得所求概率为P = Cl pqn- + C3p3q“-3 + 1 n n= y l- ( 9 - P = J l - ( 1

36、 - 2p)若要求在重贝努里试验中/出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得p ,= g l+ (l-2 p ).52 .设48 是任意两个随机事件，求 口 (7 + 8 ) (A+B) ( 7 +看) (/+ 耳) 的值.【 解】因 为 (/U 8 ) n (AUB )= A BUAB( A UB) C l (A U B ) =AB U AB所求(N + 8 ) ( 如 B )iA B)= A SA B N 期= 0故所求值为0.53 .设两两相互独立的三事件，A, 8 和 C 满足条件：/BC=，P(A)=P(B)=P(Q 1 /2 ,且 产 ( NU5UC) = 9/16,求 尸 ( 4

37、 ) .【 解】由。(Z U 8 U 。) = P(A) + P + P (C )_ P (A B )- P (A C )-P (B Q + P(ABC)= 3 P 0 :五 “ ( 2 琮、1 3 1 1故p ( z ) = w 或 不 按 题 设 尸 U ) f 0 2 ) =口 ”. n故 1 - P 0 A ：故 PQ)= , 或 PQ)= q ( 舍去)2即 P ( 4 ) =,5 5 . 随机地向半圆0 勺 42ax - x 2 ( 为正常数) 内掷一点， 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与X轴的夹角小于T T / 4 的概率为多少？【 解】利用几何

38、概率来求，图中半圆面积为：71 展. 阴影部分面积为n 1 Q2 + Q24 2故所求概率为兀 1n4 2 I 上 IP = -1i - - - - - - - = 52 + 一7 1一兀。225 6 . 设 1 0 件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.【 解】设4 = 两件中至少有一件是不合格品 ,尸 ) =P(AB)P Q )8= 另一件也是不合格品C24C2 1=_ _U ) = 一 C 2 51 - 6-C2105 7 . 设有来自三个地区的各1 0 名、1 5 名和2 5 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7

39、 份 和 5份. 随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.(1)求先抽到的一份是女生表的概率p ；(2)已知后抽到的份是男生表，求先抽到的份是女生表的概率0【 解】设4= 报名表是取自第， 区的考生 ，/ =1 , 2 , 3 . 第 次取出的是女生表 ， 尸 1 , 2 .则P ( Z ) =： / 1 , 2 , 3 3375 巴4 ) =万玖，汽)= 江口，4 ) =行15( 1 )，= 尸 里 )二 尸 里 | 夕 = %+ 5 + 六 ) =1 |i= 四广篝2而P(B2)= HP(B2A)P(A)/=11 / 7 8 2、0 6 1= ( + + )= 3 10 15 25 9

40、0故P(BB) = HP(BB | A )P(A )1 2 1 2 I Ii=l= 1 (z 3 X 7+ 7X 8+ X5 ,)2= 0 23 10 9 15 14 25 24 92尸(8瓦)a 20d _ I = = =P(B ) 61 612 905 8.设4 8为随机事件，且 尸( 5 ) 0尸8) =1 ,试比较P ( Z U 8)与P ( N )的大小. ( 2 0 0 6研考)解：因为 P ( H J 6 = H咨H吩 H N8P(AB) = P(B P (J p ) = P(B)所以 P ( / U向=H今K吩 凡 属 H z5 9.60 .习题二L一袋中有5只乒乓球，编号为1

41、 , 2 , 3 , 4 , 5 ,在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【 解】16X = 3 , 4 , 5P ( X = 3 ) =0 . 1P( X = 4 ) =二 =0 . 3P ( X = 5 ) = T = 0 . 6故所求分布律为X345p0.10.30.62. 设在15只同类型零件中有2 只为次品，在其中取3 次，每次任取1 只，作不放回抽样,以X 表示取出的次品个数，求：(1) X 的分布律；(2) X 的分布函数并作图；(3)1 3 3PX ,P X - , P X - , P 1 X 2 .【 解】X = 0 , l, 2 .尸(

42、 x = o ) = 1L =襄1 5， 、C l C 2 1 2p ( X = 1 ) = 一 不，L 3 = . .1 5小 =2 ) = m .1 5故 X 的分布律为X 01 2P 2 23 51 2 13 5 3 5( 2 ) 当 x 0 时，F (x) =P (XWx) =02 2当 0Wxl 时; F (x) =P (XWx) =X=0)= 3 4当 lWx2 时，F (x) =P (XWx) =P(X=0)+尸 (X=l)=行当 x22 时，F (x) =P (XWx) =1故 X 的分布函数170 , x 02 22 x ) =3 53 43 5?0 x ll x 2p (

43、x 4= 心= 高尸( lX - =吗 一 尸( l) =：?03 4 1P ( lX 2 ) = F( 2 ) - F( l) - P ( Jr = 2) = l - - _ - - . = 0.3 .射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为0 .8 ,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【 解】设X表示击中目标的次数.则X=0, 1, 2, 3.P( X = 0) = ( 0.2) 3 = 0.008P ( X = 1) =0 0.8( 02) 2 =0.0963P( X = 2) = C 2( 0.8) 20.2 = 0.3843p (

44、x = 3) = ( 0.8) 3= 0.512分布函数故X的分布律为X01 23P0.0080.0960.3840.5120,x 00.008, 0 x 1尸 a) =0.104,1 x 20.488,2 x 3P( X 2) = P( X = 2) + P( X = 3) = 0.8964 . ( 1 )设随机变量X的分布律为尸2i石 ，其中4=0, 1, 2, 4 0为常数，试确定常数a18(2 )设随机变量X的分布律为PX= k= a/N, k= , 2 , ，N,试确定常数a.【 解】(1 )由分布律的性质知1 = P (X = 左) = - = a e入k!*=0k=0故a = e

45、-入( 2 )由分布律的性质知1 = W P X = k )= 艺 ak= k= 即a = l .5 .甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6, 0.7,今各投3次，求：(1 )两人投中次数相等的概率；(2 )甲比乙投中次数多的概率.【 解】分别令X、丫表示甲、乙投中次数，则 月6 ( 3, 0.6) ， h 6( 3, 0.7)( 1) p (x = 丫) = p (x = o, y = 0) +p (x = i , y = i ) +P(X = 2, y = 2 ) +p (X = 3, Y = 3)= ( 04) 3( 0.3) 3 + C l 0.6( 0.4) 20 0.7( 03)

46、 2 +3 3C 2( 0.6) X ) . 4 C ( 0.7) 0.3+ ( 0.6) ( 0.7)3 3=0. 3 2 0 7 6( 2 )P(X y ) = p (x = i , y = o) + p (x = 2, y = o) + p (x = 3 1 = 0) +P X = 2 , Y = 1 P ( X = 3 Y= B 尸 膘= 芬= C i 0.6( 0.4) 2( 03) 3+ C 2( 0.6) 20.4( 0.3) 3 +3 3( 0.6) 3( 03) 3 + C 2 ( 06) 20.4。0.7( 0.3) 2 +3 3( 0.6) 3 C i 0.7( 03)

47、2 + ( 0.6) 3C 2( 0.7) 20.33 3=0.2436 .设某机场每天有2 0 0架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落) ？【 解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则 六6( 200, 0.02) ,设机场需配备N条跑道，则有19即利用泊松近似尸(X N)0.012 C* (O.O2)*(O.98) 2O O-* 0.01200k=N+卜=np = 200 x 0.02 = 4.e e-4 4AP(X N

48、N) -2) = 1- P(X = 0) - P(X = 1)= 1 一 1 0. xl - eo8 .已知在五重伯努利试验中成功的次数X满足P 小1 = PX= 2,求概率PX= 4.【 解】设在每次试验中成功的概率为p ,则C 1 0 (1一 p ) 4 = C 2 P 2 (l - p ) 3551故P = g所以= 4 ) = C 4 ( )4 - - .9 .设事件4在每一次试验中发生的概率为0 .3 ,当 /发 生 不少于3次时，指示灯发出信号，(1)进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；( 2 )进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【 解】(1)设X表示5次

49、独立试验中/发生的次数，则X6 (5, 0.3)P(X 3) = ZCA(0.3)A(0.7) 5-* = 0.163085k=3(2 )令y表示7次独立试验中Z发生的次数，贝Iyb (7, 0.3)P(Y 3) = ZCA (0.3)* (0.7)7-* = 0.352937k=310 .某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2) t的泊松分布，而与时间间隔起点无关( 时间以小时计) .(1 )求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；( 2 )求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.20【 解】。 ( X = 0) = e 4 ( 2) P (

50、 X l ) = l - P ( X = O ) = l - e - i11. PX= k= Ckpk( - p) 2-k , % =O , 1, 22P Y = tn = C w ( 1 P ) 4- 川 , 加 =0, 1, 2, 3, 445分别为随机变量x , 丫的概率分布，如果已知尸 x e i = , 试求尸 丫 21 .5 4【 解】因为P ( X N 1 ) = 万，故 P ( X 1 ) = 不 .而 p ( x 1) = 1 - P ( r = 0) = 1 - ( 1 - p) 4 = 0.802478112 .某教科书出版了 2 0 0 0 册，因装订等原因造成错误的概

51、率为0 . 0 0 1 , 试求在这2 0 0 0 册书中恰 有 5册错误的概率.【 解】令X 为 2 0 0 0 册书中错误的册数，则 - 6(2 0 0 0 , 0 . 0 0 1 ). 利用泊松近似计算，X = np = 2 0 0 0 x 0 . 0 0 1 = 2得P ( X = 5) a= 0 . 0 0 1 81 3 . 进行某种试验，成功的概率为之，失败的概率为1. 以X 表示试验首次成功所需试验的次4 4数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.【 解】X = l , 2 , 人 P ( X = 2 ) + P ( X = 4) + - + P ( X = 2 + 3=

52、 + （ 、3 + . +4 4 4 43-i +41 4 . 有 2 5 0 0 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险. 在一年中每个人死亡的概率为0 . 0 0 2 , 每个参加保险的人在1 月 1日须交1 2 元保险费， 而在死亡时家属可从保险公司领取2 0 0 0 元赔偿金. 求：21( 1)保险公司亏本的概率；( 2)保险公司获利分别不少于1 0 0 0 0元、2 0 0 0 0元的概率.【 解】以 “ 年”为单位来考虑.( 1)在1月1日，保险公司总收入为2 5 0 0 X 1 2 = 30 0 0 0元 .设1年中死亡人数为X ,则 -6(2 5 0 0 , 0 .

53、 0 0 2 ),则所求概率为P ( 2 0 0 0 X 30 0 0 0 ) = P (X 1 5 ) = 1一 P( X 15) 1-ZX & x 0 . 0 0 0 0 694=0 (2 ) P(保险公司获利不少于1 0 0 0 0 )=P ( 3 0 0 0 - 0 2 0 )& 1 0 9 00* 4 (Ze55 0 . 98 630 5kk=O即保险公司获利不少于1 0 0 0 0元的概率在9 8 %以上P (保险公司获利不少于 2 0 0 0 0 )=尸 (30 0 0 0 - 2000X N 2 0 0 0 0 ) = P( X W 5 )dV * _e_-_5 _5_A 0

54、. 61 5 961k = o即保险公司获利不少于2 0 0 0 0元的概率约为6 2 %1 5. 已知随机变量X的密度函数为/ (x )= J e - M , _ 8 Vx+8,求：( 1 ) 4 值；(2 ) P 0Xl ; ( 3 )尸(x ).【 解】由0 / ( x ) d x = l得-00故当x 0时 、 尸(x ) = J * l e . v (L r = l e x30当尤20时，/(x ) = j-001 l e - w d x =r d x + JJ e - x d x22202= l - l e - x2221 = J g Z e Tx i d r = 2 A e -x

55、 dx = 2A co 02 -j 7(0 Ar l ) = lf1e 2- v d x = l (l - e - i )2 o 2故2x 016. 设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为/(x)= 100,X20, x 100.求：(1 ) 在开始150小时内没有电子管损坏的概率;(2) 在这段时间内有一只电子管损坏的概率;(3) F (% ).【 解】(1) P ( i 5 o ) 3 = q ) 3 = u( 3 ) 当 x100 时 F (x) =0当 100 时 = J* /(Z)d/-3 0=j 0 /( 。 山 + J x / (。 山-0 0100 吗

56、= 1一州100 t2 X故_100F(x) = 100x 017. 在区间 0, a上任意投掷一个质点，以 X 表示这质点的坐标，设这质点落在 0, a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数.【 解】由题意知X U 0 , 0 , 密度函数为1/(x) = a 50,0xa其他故当xa 时，F (x) =1即分布函数230,x0xE(x) = 一， 0x a18. 设随机变量X 在 2,值大于3 的概率.【 解】X-U2,5,即5 上服从均匀分布. 现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测， /、1, 2x3) = J52dx = ：3 3 3故所求概率为P =

57、C 栉 2； + C = 1 19 . 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分钟计) 服从指数分布E & ).某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开. 他一个月要到银行5 次，以 丫表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出y 的分布律，并求产 丫1.【 解】依题意知x E ( g ) , 即其密度函数为1/W = 150,x 0x 10) = Je 5 dx = e-2io 5y / 5,e-2) ,即其分布律为P( y = % ) = c& (e-2 )M 1 e-2) 5 % = 0,1,2,3,4,55p( y l) = l-P ( y = 0) = l-(l-e-2

58、) 5 = 0.516720 .某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走. 第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从 N (40, 102) ：第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N (50, 42).( 1) 若动身时离火车开车只有1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？( 2) 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【 解】( 1) 若走第一条路，X-N (40, 1 0 2 ),则P(X 60) = 6： ；。 ) =e (2) = 0.9772724若走第二条路，XN ( 5 0 , 4 2) , 则P ( X 6 0 ) =.(X：5 0 6 0 ；

59、5 0 1 = ( 2. 5 ) = 0 . 9 9 3 8 + +故走第二条路乘上火车的把握大些.(2 )若XN ( 4 0 , WO,贝 ij， X - 4 0 4 5 - 4 0P ( X 4 5 ) = P J 。 J 。 = 中 ( 0 . 5 ) = 0 . 6 9 1 5若 XN ( 5 0 , 4 2) , 则P ( X 4 5 ) = P -50 4550o ( - 1 . 25 )= 1 ( 1 . 2 与 0 . 1 0故走第一条路乘上火车的把握大些.21 . 设标W ( 3 , 22) ,( 1 ) 求尸 2 2, PX 3;(2 )确定 c 使P X c = P X

60、W c .【 解】(1)尸(2 XM5 ) = P(2 W?)= ( D 一 扪 一】 + &)= 0 . 8 4 1 3 - 1 + 0 . 6 9 1 5 = 0 . 5 3 28P(-4X4 1 0 ) =尸- 4 - 3 X-3 1 0 - 3- - - - - - - - - - - - - - - - - -2 2 2= 2) = P ( X 2) + P ( X 3 ) = P ( X J = 1 - 0 ( 0 ) = 0 . 5( 2) c = 322. 由某机器生产的螺栓长度( c m ) 8N ( 1 0 . 0 5 , 0 . 0 6 2) , 规定长度在1 0 . 0

61、 5 0 . 1 2内为合格品,25求螺栓为不合格品的概率.【 解】P(|X-10.05|0.12) = PX 10.050.060.12-0.06=1 4 ( 2心6 2)= 2段 (=0. 0 4 5 623 . 一工厂生产的电子管寿命X ( 小时) 服从正态分布N ( 1 6 0 , M ) , 若要求P 1 20 0 . 8 , 允许。最大不超过多少？【 解】尸(120X4200) =尸120-160 X -160 200-160- -BOB故24 . 设随机变量X分布函数为40L29= 31.25力+ 庆- 标,F (x )=, 八0,y仇 0),x 3 ；(3)求分布密度/ ( x

62、 ) .l i m F( x ) = 1 f4 = 【 解】( 1 ) 由、 . . A,、 得,l i m F( x ) - l i m F( x ) o = - ll _ v - 0 + x - 0 -(2 )尸(XV 2)=尸 =1 一e-2 AP ( X 3) = 1 -F(3) = l-(l-e-3X ) = e-3X【 解】当x 0时 尸 ( x ) = 0( 3 ) / ( x ) = F ( x ) = 0x 025 . 设随机变量X的概率密度为X,0 x 1,f ( x ) = ，2 x9、，1 x2,其他.求 X的分布函数T7 ( x ) , 并画出了 ( x )及 P (

63、 x ) .当 0 W x l 时 / ( x ) 1 f ( t) dt = f0 f ( t) dt + xf ( t) dt o o c o 026r r . X2= J tdt =o 2当 l x 2时 / ( x )J / 出= J / ( f) d f= jl / ( f) d f+ j 山=jfc k + J 、 ( 2- / ) c k0 11 . X 2 3=+ 2x - 2 2 2X 2 _ i= + 2x 12当 x N 2 时户 ( x) = 卜 / ( Z ) d / = 1故x 00 x 11 x 22 6, 设随机变量X 的密度函数为( 1 ) /( x)= e-

64、 W , ； 0;bx , 0 x 1 ,( 2) . /W = , l x 2 ,X 0 , 其他.试确定常数。 乃，并求其分布函数尸( x) .【 解】 由18 / ( x) d x = 1 知 1 = J0 0 ae - w id x = 2 aJ e - d x = -00 T O 0 大X故Q二2即密度函数为k C-X,x/ ( X) =:K_ e 入 X. 2X 0x o 时尸a ) =2 o 2=1 一l e - 6227故其分布函数1- e - Xx, x 02产( % ) = 1如 ， x 012( 2 )由 =j 0 / ( x) d r =J % xd x +卜_5_&

65、= + J _ oo o i X 2 2 2得6=1即X的密度函数为x, 0 x 1f ( x ) = , 1 x 2X20 , 其他当x W O时 产( x) =0当 0x l 时 E( x) = J * / ( x) d x=J / ( x) d x + J ( x) d x-oo -oo 0= J Xx dxoX2T当 1 Wx 2 时 F ( % ) =1故其分布函数为尸(x) =2 7. 求标准正态分布的上a分位点,( 1) a =0 . 0 1,求 z ；a0,x22321,x 00 x 11, l x 2( 2 ) a =0 . 0 0 3,求z , z .a az 2【 解】P

66、 ( X z ) = 0 . 0 1a即1中 Q x o . o ia即( z ) = 0 . 0 9a28故 z =2 . 3 3a(2)由P ( X z ) = 0 . 0 0 3得a1- 0 ( z ) = 0 . 0 0 3a即( z ) = 0 . 997a查表得 z =2 . 7 5a由 P ( X z ) = 0 . 0 0 15 得a /21- 0 ( z ) =0 . 0 0 15a/2即中( z ) = 0 . 9985a/2查表得 z =2 . 96a/22 8. 设随机变量X的分布律为X- 2 - 1 0 1 31/ 5 1/ 6 1/ 5 1/ 15 11/ 30求丫

67、=平的分布律.【 解】y可取的值为0 , 1, 4, 9P( Y = 0 ) = P( X = 0 ) = 11 1 7p ( y = D = p ( x = i) + P( x = i ) = _ + _ = _6 15 3CP( Y = 4) = P( X = - 2 ) = 1尸( Y = 9) =尸( X = 3) = 故 丫的分布律为Y0149P,1/ 57/ 301/ 511/ 302 9. 设 口* =储=（ ；） , 左=1, 2 , ， 令v 1 ,当X取偶数时/ = +6 4 + , = 0)/(. 2p ( y = - l ) = l p ( y = 1) =530 .

68、设 片 N ( 0 , 1 ) .(1 )求丫=的的概率密度；(2)求 Y=2 T+ 1的概率密度；(3 )求丫= | x 1 的概率密度.【 解】 当/ 0 时，F( y) = P ( r 0 时， 3 ) = P( y 歹) = 尸( e x W y) = P ( X 0Y dy y x 万P(Y = 2 X2 +I N I) =I当 yWl 时( y) = P( y Wy) = 0当y 时勺( y) = P( Y 0 ) = 1当 yW O 时( y) = P( y Wy) = O当 y 0 时( y) = P( | X 性刃 =P-y X 031. 设随机变量4/ ( 0 , 1) ,

69、试求：( 1) y=e %的分布函数及密度函数；( 2 ) Z =2 1nX的分布函数及密度函数.【 解】(1 )尸( O X 1) = 1故 P Y = G a 1当歹 s i时 。0 =尸( yy) = o当 l j e 时勺。 ) =P( e x y ) = P( x In7)= j n也 = inyo当 代e 时 ,( y) = P( e x 4 y) = 1即分布函数G( y ) = 0 ,Iny,1 ,” 1l y e故 丫的密度函数为1fY( y ) = y,0 ,1 y 0 ) = 1当 zWO 时，F ( z) = P( Z 0 时，( z) = P( Z Wz) = P(

70、2 1n X 4 z )= P( l n X e - 2 )=J i d r = 1 e - z/ 2c-：fl31即分布函数0 ,R(z )=z l-e-z/2,z 0故Z的密度函数为1_ e - z /2 ,/ ( Z ) = 2z0 ,z0z 032. 设随机变量X的密度函数为2x 八,0 X 7 C , x ） =J 兀20 , 其他.试 求Y = sinX的密度函数【 解】P （ o y i ） =i当 y W O 时，F ( y ) = P( y y ) = 0当 0 产1 时，/丫 O ) = P( Y y ) = P( s in X y)=P0 X n + ) f t + r

71、c s i ny X兀 子0 兀2 rt-arcsin F 兀 2= 一( ar c s iny) 2 + l _( 兀 ar c s in y ) 27 12 7 122= a r c s iyn7 1当时，(y) = l故y的密度函数为-= , 0 y l/ ( ) = p正 产0 , 其他33. 设随机变量X的分布函数如下： 1尸( X) = 0 032由右连续性l im F(x) = F(x ) = 1知x = 0 ,故为0 。o o从而亦为0o即F(x) = 034 . 同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6 点为止，求抛掷次数X 的分布律.【 解】设4 = 第 i枚骰子出现6 点 。(

72、 i=l , 2 ) , 气 4) =:. 且 4 与 相 互 独 立 。再设C = 每次1r O 1 2抛掷出现6 点 。则P(C) = P(4 A ) = P(A) + P(A )-P(A )P(A )I 2 1 2 I 2故抛掷次数X 服从参数为二 的几何分布。3635 . 随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0 . 9?【 解】令X 为 0出现的次数，设数字序列中要包含个数字，则尸( X 1) = 1- P ( X = 0 ) = 1 C o ( O . l ) o ( O . 9) 0 . 9n即( 0 . 9 E 0 . 1得 2 2 2即随机数字序列至少要有2

73、2 个数字。36 . 已知0 , x 0 ,1 A 1F ( x) = r + , , 0 x - ,则 尸 ( x) 是 ( )随机变量的分布函数.(4 )连续型； ( B ) 离散型;(C)非连续亦非离散型.【 解】因为尸( x) 在 ( - 8, +8 )上单调不减右连续，且 l imF( x) = 0X - -0 0l im F( x) = 1, 所以/ a)是一个分布函数。但 是 尸 ( x) 在 x=0 处不连续，也不是阶梯状曲线，故 尸 ( x) 是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选 ( C )3 7 . 设在区间 a 用上，随机变量X的密度函数为x) =s in t ,而在

74、 a ,b 外， 大幻=0, 则区间 a ,切33等 于 ( )(A) 0,n /2; (B) 0,n;3(O - 2,0; (D) 0,- lt.【 解】在0,；上s i n x且 卜2sinxdx = l . 故以力是密度函数。2o在0,可上卜sin xdx = 2。1 . 故/(x)不是密度函数。0在 - 5 上sinxW O ,故/ ( X )不是密度函数。33在0， ,兀 上，当兀 % W , 兀时，sinx0, /(x)也不是密度函数。故 选( A )o38. 设随机变量右汽( 0 ,。2 ) ,问：当。取何值时，X落入区间( L 3 )的概率最大？【 解】因为X N(OQ2) ,

75、P(1X 3) = P (_ L 2 3 )ODD3 1= ( _ ) 一( 一) 令 g(o)O O =利用微积分中求极值的方法，有g， 9 ) = (一33 )* (32 ) +一11， ( _ )02 00203 1 1 1= - . -e-9/ 2Q2 +- -e-l/2a202 2TT 61令= -e -i/2 o 2 i - 3e-8/ 2o2 = o2HCT 24 2Y ； I- O 2 = - I H l j ( y = 何。ln3川 o f 3又 g9 0 ) a ” 皿= e 一 人 -k! Im = k6P) ke -xe x( t-p)( n-k ) !k竿2= 0 /

76、 ， 2 ,此题说明： 进入商店的人数服从参数为4 的泊松分布， 购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为A p .40 . 设随机变量X服从参数为2的指数分布. 证明：/ 1 -gx在 区 间 ( 0 ,1 ) 上服从均匀分布.【 证】X的密度函数为, .、|2 e -2 x, x0j ( x) = x 0 , x 0) = 1 , 故 ( X l -e vl ,即 尸 ( 0 hl ) =1当 y W O 时，( y) =0当 时，Fy ( y) =1当0勺 l -y)= P ( X W J n ( l y) )= f -j in f i-v) 2 e -2 . r d x = y0

77、即 y 的密度函数为、 1 , 0 y lWf ( y) = o ,其他即 Y U ( 0 , 1 )41 . 设随机变量X的密度函数为351 A ,0 X 1 ,32 - ,9 ， 3Kx 6 ,0 , 其他.若k使得PX k= 2/3,求k的取值范围. ( 2 0 0 0 研考)2 1【 解】由尸( X K ) = 知 ( X k ) = -若 A 0 / ( X 4) =0 * 1 k 1若 0 W 左 W 1 F ( X 4 尸J 口 =可 5o 3 3 3当上= 1 时 P ( X 4) = 1若 1 WZ W3 时 尸( X k) =J1l d x + fA0 d x = lo 3

78、 i 3G22 , 1 1若 3 kW 6 , 则 尸( .X 6 ,则 P ( X k) =12故 只 有 当 时 满 足 尸( X沮 )=1 .42 . 设随机变量X的分布函数为0 , x 1 ,0 . 4, -1 x 1 ,小 尸 0 . 8 , l x 3 .【 解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可 知 X的概率分布为求 X的概率分布. （ 1 991 研考）X-113P0 . 40 . 40 . 243 . 设三次独立试验中， 事件N出现的概率相等.若已知/至少出现一次的概率为19/27 ,求 /在一次试验中出现的概率.【 解】令X为三次独立试验中/出现的次数，若设P

79、 （ 4 ） = p ， 则 b（ 3p ）19 8由P （ X2 l）= 力 知P （ 六 0 ）=（ 1-P）3= 方1故P=W44 .若随机变量X在 （ 1, 6）上服从均匀分布，则方程严+ & + 1 = 0 有实根的概率是多少？【 解】361 , /一 , 1 c x 0) = P(X 2) + P(X 2) = -45 .若随机变量反N ( 2, 0 2),且 。 2 4 = 0 .3,贝 ijP X v O =.2-2 X -2 4-2【 解】0.3 = P(2X4) = P( - )o o o2 2=( 一)-0(0) = 0() - 0.5o o2故 ( 一 )=0. 8v

80、_ 2 0-2 2因此 尸( x 0 篦二一 2一 J )a a a= 1-0(2) = 0.2o46 .假设一厂家生产的每台仪器，以概率0 .7 可以直接出厂；以概率0 .3需进一步调试，经调试后以概率0 .8 可以出厂，以概率0 .2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了网 2 2)台仪器( 假设各台仪器的生产过程相互独立).求(1 ) 全部能出厂的概率a ；(2 ) 其中恰好有两台不能出厂的概率。 ：( 3)其中至少有两台不能出厂的概率。.【 解】设 /= 需进一步调试 , 8 = 仪器能出厂 , 则4 = 能直接出厂 , 48 = 经调试后能出厂由题意知8=彳U4 8 ,且P(4) =

81、0.3,P(B|Z) = 0.8P(AB) = P(A)P(B M) = 03x0.8 = 0.24P(B) = P(A) + P(4B) = 0.7 + 0.24 = 0.94令 X为新生产的“台仪器中能出厂的台数，则 刈 6 ( ，0 .94),故a = P(X = ) = (0.94)P = P(X = M - 2) = C2( 0.94)-2 (0.06)2B =P(X96) = pf X二72 96二72= 一( 兰)1 b a J a故查表知从而 XN (72, 122)24O (_ ) = 0.977a2 4八 = 2 ,即 0=12C T故尸(60WXK84) =尸( 竺 萨

82、84-72- 12 )= 0)(1) 均2 -(1)= 0.68248 .在电源电压不超过200V、200V240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1, 0.001和 0.2 ( 假设电源电压X 服从正态分布N (220 , 2 5 2 ).试求：( 1 ) 该电子元件损坏的概率a ；(2 )该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率。【 解】设 电压不超过20V , 4 = 电压在200240V ,4 = 电压超过240V , 8= 元件损坏 。由 X-N (220 , 252)知P(A ) = P(X ( 住 8) 0. 2 1 2P(A ) = 0(200

83、 X 240) = 1 0.212 0.576 = 0.2123由全概率公式有a = P(B) = P(A )P(6 | Z ) = 0.0642/=由贝叶斯公式有尸 尸 ( 勺 用 ”2。 . 。 。949 .设随机变量X 在 区 间 ( 1, 2 ) 上服从均匀分布，试求随机变量上e2 的概率密度/Q ).381, 1 x 20,其他【 解】f ( x ) =X因 为 P (IV督2) =1,故 P (e2ye4) =1当We2 时 Fy (y) =P(YWy)=0.当 0 2勺心时，F (y) = P(Y y) = P ( e2x y)=P ( 1 X , 1 ny )J -?d x=

84、1 l ny - 1当 时，q （ y ） = p（ yy ） = i即%) =0 ,1, ,2 T1,y e4e2 c v e41f (y) = y，故e2 y 0 ,x i）=1(1995研考)当 y Wl 时，F (y) = P(Y l 时，,( y ) = P(Y 4 y ) = P ( ex y) = P(X 1即/ ( y ) = vY0 , ”1故 f ,y 1yy = y20 , y395 1.设随机变量X的密度函数为1 1尸+ % 2)求 y = i - 好的密度函数48 ).【 解】 3) = P( Y y ) = P ( l - p ( 1- )3) 8 1/1 I=J

85、- - - - - - - - dx = _ ar ct gr k(Ly3)7l(l + X2) 71 k Ly 3)1 兀 八 、= 一 - - ar ct g( l - y )3兀2故4 (小3 ( )n l + ( l - y )65 2.假设大型设备在任何长为/ 的时间内发生故障的次数N ( f ) 服从参数为才的泊松分布.( 1 ) 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作8小时的情形下， 再无故障运行8小时的概率Q. ( 1 993研考)【 解】(1)当 长0 时，Fr( t) = P( T t) = O当 90 时 , 事 件 4 1 与 N ) =

86、0 等价，有F( Z)= P( T t) = - P( N( t) = 0) = 1 - e - A ,T即1 -0,e - A / , / 0/ 16|T8) = P(T16)/P(T8) = eT6A = e-ne-8人5 3 . 设随机变量X 的绝对值不大于1 , P 六 - 1 = 1 / 8 , 尸 六 1 = 1 / 4 . 在事件 - 1 1 出现的条件下，X在 - 1 , 1 内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数尸( x ) = P X W x . ( 1 997 研考)【 解】显然当烬- 1 时F ( x ) = 0；而 x 2 l 时 F (

87、x ) = 1由题知 = ：8 4 8X + 当- 1 VX V1 时，2(XK xl-lvXvlh-此时尸( x ) = P ( X 4 x )40=尸( X 4 ， 1 X 1 ) 铲 位 Kx , X = - I )铲Kx , X = 1 )= P X x , - 1 X 1 ) + P ( X x , x = - 1 )=( X 4 x | - 1 X 1 ) 尸( - 1 X 1 ) 铲纹= - 1 )当 x = - l 时，P( x ) = P ( X x ) = P ( X = 7 ) = ：o故 X的分布函数x - % x ) =- 1 X 15 4 . 设随机变量X服从正态分

88、N （ /J ） ,Y服从正态分布M“ 2 ， V） ，且尸 比“ J P | Fp 2| 1 ）试比较4与 % 的 大 小 .( 2 006 研考)解： 依题意 一X L ua v（ o , i, ）一y _ 匕n口 （ （ ） ） ，则P | X - n | l = P尸 | 丫一七| 1 =尸因为尸 卜 _ 鹏 夕 y _ 七 | 1 ,即X - H尸所以有一 一 ，即。 Oa a i习题三1 . 将一硬币抛掷三次，以x表示在三次中出现正面的次数，以 y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值. 试写出x和 y 的联合分布律.【 解】x和 y 的联合分布律如表：412. 盒子里

89、装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只10。 八 -33 2 2 2 8C2 D - x l x - = 3 / 83 2 2 20318001 1 1 1X X =2 2 2 8数，以 丫表示取到红球的只数. 求x和 丫的联合分布律.【 解】X和y的联合分布律如表：X0123000C 2 3 3a-= C 4 3 57C3 QC1 2 i-2- = C4 3 5710C1 D C1 QC2 6 3- 22-= C4 3 57C 20C I0C 1 1 2 3- 2- 2-= C4 3 57C3 QCI 2 3-2-= C4 3 572P( 0黑, 2红, 2

90、白尸C 2 D C 2 /C 4 = - L2 2 7 35CIQQCI 6 3 2 一 2 = C4 3 57C2 QC2 3 3- 2-= C4 3 5703. 设二维随机变量( X , y )的联合分布函数为口 /、 s in x s in y, 0 x , 0 yF (x, y) = 2 20, 其他.(九 T T Tt 0 x_ ,_ _内的概率.4 6 3 j【 解】如图P 0 XA：y ；公式( 3 . 2 )方(32 ) - /( 三二) -/( 0二 ) + F ( 0, )4 3 4 6 3 6=s in- s in兀 . zx 0 , y 0 ,f（X. y ） = 0,

91、 其他.求：（ 1 ）常数小（ 2 ）随机 变 量（ x , r ）的分布函数；（ 3 ） P 0*l , 0 r ） y 0, x 0,= 0, 其他（ 3 ） P 0 l , 0 r 2 = Poi,oy20. 94 99.5. 设随机变量（ X , Y）的概率密度为k (6 -x - y), 0x2,2y4,0, 其他.(1)确定常数k ；(2)求尸 X VI , y 3 ；(3)求尸 X 1 . 5 ；( 4 ) 求尸 X +国 .【 解】(1)由性质有f+ 0 f+ 0D/ ( x , ) d x d y =卜 Jv ( 6 - x - y) d yd x = 8 = 1 , oo

92、oo 0 2故 R =：o( 2 ) /? Ar l , r 3 = fl f3 f(x,y)dydx- 0 0 -3 0=J!(6 - X 7 ) d/ dx= (3 ) P X 1 . 5= JJ / (xj ) dxdy如图a JJ/ (x, y) dxdyx1.5 D jl(6 -x-y)d y = -.43I f / (x, y) dxdy如图 b JJ/ (x, y) dxdy(4 ) PX + Y 4 =y的密度函数为丁0 ,其他.5e-5.v,0 ,求：（1）/ y (y ) =【 解】（ l ）因X在（ 0 , 0 . 2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为1/)=唠A0 x

93、 0 . 2,0 , 其他.而4（ y） = 0 ,其 他所以/ . （ X/*卫独立/ x（力 歹（ ）_ X Y x 5e- 5v 25e- 5y， 0 x 0 ,=s 0 . 2 =0 0 , 其他. P( X X ) = JJ / (x j ) dxdy如图 JJ25e -sy dx dyy 0, y 0,0,其他求（ x, y ）的联合分布密度.， / 、52F（x,y）【 解】8 e -(4x+2y), x 0,y 0,0,其他.8. 设二维随机变量（ x, y ）的概率密度为f (x, y)=4.8X2 -x), 0xl,0_yx,0,其他.求边缘概率密度.【 解】4 （ x）

94、= J a / （ x,y） -0 0尸4 .快(？ x j)d2. * (?x ), 0,100,( y)=R / ( X, y) drrf（ X ，y ）),J00,0 , 其他./ (y) = / (x, y) dx丫 rJ e- . v dx00 ,ye-、y0,0 , 其他.题 1 0图1 0. 设二维随机变量（ X ,Y）的概率密度为f (x , y ) = CX2y, X 2 1 ,0 ,其他( 1 )( 2)【 解】试确定常数c ；求边缘概率密度.卜-J/ (x, y) dxdy 如图 JJ/ (x, y) dxdy-00 -00D= f1 dr11 cx2ydy = c =

95、1 .- i 。 21得21c =4 - f (x) = f+ o c/ (x, ) dyX .821 八 、 ， , X 2(l - X 4 ) , - 1 x 1 ,80 ,其他.3 ) Jj ) dx0 y l ,其他.1 1 . 设随机变量（ x, r）的概率密度为f(X, y ) = 1 , | j | x, 0 x 1 ,0 , 其他.求条件概率密度& X I X ） ， Z v,y ly） .46y题 1 1 图M l fx x ) = i f ( x ,y ) dy-00JA 1 ( = 2c , Q : x o 7其他.4 (歹) = 1 / ( % / 心=/1 & = l

96、 - y, 0 ” l ,-ooy0, 其他1 ,f1 I dx = 1 + y, - 1 y 0 ,所以(y层3 0 ,| y x/ (x ,y ) _Too-o,y x 1 ,-y x 1 ,其 他 .1 2. 袋中有五个号码1 , 2, 3 , 4, 5 ,从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y .( 1)求 X与 丫的联合概率分布；(2) X与丫是否相互独立？【 解】( 1)x 与 y 的联合分布律圳下表47345尸X = x11 1c7-i o52 2C3 105_ 3 _ _ 2_cT-T o56T o201 _ 1cT=T o52 _ 2c7=T o53T o

97、3001 _ 1c7-T o51T oP Y - y i1T o3T o6T o(2) 因尸X = 1 OP Y = 3 = 6 X 1 = 6 彳 1 = P X = l , y = 3 , 1 0 1 0 1 0 0 1 0故 x 与 y 不独立1 3 . 设二维随机变量(X , /)的联合分布律为2580 . 40 . 1 50 . 3 00 . 3 50 . 80 . 0 50 . 1 20 . 0 3( 1 ) ;q关于X和关于y 的边缘分布；(2) x 与丫是否相互独立?【 解】(1 ) x 和 丫的边缘分布如下表口258叩二甲0.40.150300.350.80.80.050.1

98、20.030.2P X = x, 0.20.42038(2) 因 P X = 2CP y = 0 . 4 = 0 . 2 X 0 . 8 = 0 . 1 6 H 0 . 1 5 = P ( X = 2, 7 = 0 . 4 ) ,故x 与 y 不独立. 口1 4 . 设x 和 y 是两个相互独立的随机变量，x 在 (0 , 1 ) 上服从均匀分布，y 的概率密度为( i ) 求 x 和 y 的联合概率密度；( 2 )设含有。的二次方程为+ 2为 + 片0 ,试求,f l , 0 x 1 ,0 , 其他.48故独立/( ( y )= * O = 0 , 其他.题1 4图（ 2）方程4 2 + 2

99、法 + 丫 = 0有实根的条件是A = （ 2 X ） 2- 4 / 0故 胜 匕从而方程有实根的概率为：P X 2 Y f ( x ,y ) dx dy.2.y=e-/2dyo o 2=1- (0 ) = 0 . 1 4 4 5.1 5.设 * 和 丫分别表示两个不同电子器件的寿命 （ 以小时计） ，并设X和Y相互独立，且服从 同 吩 布 ，其概率密度为1 0 0 0f (x) 一 x20 ,x 1 0 0 0 ,其他.求Z= X/Y的概率密度.X【 解】如图Z的分布函数尸7 （ z） = PZ 2 = P 1.drZ X 2y2 1 0 3 1 0 3 X 2y2X*即/ (z) = (J

100、 , 住 K 1 ,z 20 , 其他.故/z (z)= ； , (k z 1 8 0 1 2 3 4 i - 1 2PX 1 8 0 OP 1 8 0 3 4二1 一尸( 1 8 Q H尸 X 0 0 8 O H 0 1 8 财 a k 1 8 0 12 3 4= l - P 0 12345000. 010. 030. 050. 070. 0951求产X=2 I Y=2, PY=3 | AH )；求r=max (X, Y )的分布律；求U=min (X, X )的分布律；求的分布律.10.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.01

101、0.020.040.060.060.05(1)(2)(3)(4)八P X = 2 ,y = 2【 解】-2=P X = 2,Y= 2 _ 0. 0 5 1- - P X = j E 2 6 2 5-2( 1)求尸 E 0 |y X )；叩= 3 |X = 0 =三TP X = 0P X = 0 ,修 3 _ O .p 1, 1 P X = Q,Y= j 0 , 0 3 37=0(2) P r =z = P m a x (X ,Y) = iP X = i9Y i + P X i + P X i,Y = i= T P X = i,Y = k + E P X = k,Y = i 2 , 3k=i k

102、=i+于是U=min(X,y)0 12 3P0.28 0.30 0.25 0.17(4)类似上述过程，有W=X+Y012345678P0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.0520.雷达的圆形屏幕半径为A ,设目标出现点(X, 丫) 在屏幕上服从均匀分布.52(2) 设 止 maxX, Y ,求尸A/0.【 解】因 （ X, r ）的联合概率密度为f(x ,y ) = -1八- ,X2 + V2 0ff/(x ,y )dyxn dofJrdr兀j 4 0I1R2_J“一/兀 / 4 o兀/?23 / 8 3 .1 / 2 4(2) PM 0 = Pmax

103、(X,7) 0 = 1 - PmaxX,Y) 01 3= l-P X 0 ,r 0 = l-J/ f(x,y)dc = 1 -_ = L.4 4.0y021. 设平面区域。由曲线产l/x及直线产0, x=l,x=e2所围成，二维随机变量(X, 丫 )在区域。上服从均匀分布，求 (X, 7 ) 关于X 的边缘概率密度在x=2处的值为多少？【 解】区域。的面积为s = J d x = ln x |r2 .（ Xn的联合密度函数为531 , 八1r( k，l x e 2 , 0 y0 ,其他.(x, r )关于x的边缘密度函数为J,/ v J-dy =f = o 2 71 1= ,lx 0) 的泊松

104、分布，每位乘客在中途下车的概率为p ( Ov pv l ) ,且中途下车与否相互独立，以 丫表示在中途下车的人数，求：(1) 在发车时有个乘客的条件下，中途有， 人 下车的概率：( 2 ) 二维随机变量(X , Y)的概率分布.【 解】(1) PY = mX = n = C P( l -= 0, 1, 2 , .(2 ) P X = , Y = m = P X = D P y = m|X = =Cm p m ( 1- p ) J A , m ， = 0, 4 ; 2 ,.n( 1 2、2 4 . 设随机变量x和 y独立，其中x的概率分布为其103 .7J,而 丫的概率密度为外) ,求随机变量U

105、= X+Y的概率密度g () .【 解】设 尸 ) 是 y的分布函数，则由全概率公式，知 g+ y的分布函数为G( u) = P X + Y u = 0.3PX + YW |X = 1 + 0. 7 P X + Yu X = 2=0.u - X | =由于x和 y独立，可见G Q ) = 0. 3 P y w - l + 0. 7 P y 0F 7M- ( 255由此，得 U的概率密度为g () = G u) = 0.3F u -1) +0.7 F( u - 2)= 0 . 不 1 0/7 22 5 . 设随机变量X与 y相互独立，且均服从区间 0, 3 上的均匀分布，求尸 m a x K Y

106、 W1 .解 ：因为随即变量服从 0, 3 上的均匀分布，于是有. /, = 30,因为x , y相互独立，所以rt 、 5 u 4 4 4 4，4 ，f（ x ,y ） = 90, x0,y 3,y 3 .推得 Pmax X =42 6 . 设二维随机变量（ X , X ）的概率分布为0 x 3 ,x 3 ;/。) = 了0, 0 3 ,y 3 .110. 20. 2-1 a 00 0. 1 b1 0 0. 1其中4 , b , c 为常数，且X的数学期望七（ 牙 ） = 0. 2 尸 汇0四 0 = 0 . 5 ,记 2 = +上求:（ 1 ） 。 ， a c的值；（ 2 ） Z的概率分布

107、；（ 3 ） PX= Z.解 （ 1 ） 由概率分布的性质知，q +b +c +0 . 6 = l 即 a+b+c = 0 . 4.由 E(X ) = 0 . 2 ,可得再由唧q x w二 茶 / 。 啜名号。 ,5得Q + b = 0 . 3解以上关于4, b ,。的三个方程得a = 0 . 2 , b = 0 . 1 ,c = 0 . 1 .(2 ) Z的可能取值为-2 , -1 , 0 , 1 , 2 ,PZ = -2 = P X = - ,Y = -1 = 0 . 2 ,56pz = -i = P x = -i ,r = o +p x = o ,y = -i = o . i ,p z

108、= o = p Ar = -i ,y = i + P x = o ,y = o +P Ar = i ,y = -i = o . 3 ,Pz = i = p ( x = i ,y = o +P x = o , y = i = 0 . 3 ,PZ = 2 = P X = J = 1 = OA ,即 z的概率分布为Z -2 - 1 0 1 2P 0 . 2 0 . 1 0 . 3 0 . 3 0 . 1(3 ) P X = Z = P r = 0 = 0 . 1 + 6 + 0 . 2 = 0 . 1 + 0 . 1 + 0 . 2 = 0 . 4.2 7 .2 8 .2 9 .3 0 .习题四I.

109、 设随机变量X的分布律为X- 1012p1 / 81 / 21 / 81 / 4求 E (X ), E ( a ) ，E (2心3) .【 解】 = (-l )x 1 + 0 x 1 + l x 1 + 2 x 1 = 1 ;o 2 o 4 2(2 ) E( X2) = (-1 )2 x l + 0 2 X -L+1 2 x+2 2 xJL = ；3 8 2 8 4 4(3 ) ( 2 X + 3 ) = 2 E(X ) + 3 = 2 x 1 + 3 = 42. 已知1 0 0个产品中有1 0个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【 解】设任取出的5个产品中的次品数为X,则

110、X的分布律为X012345P. Su = 0 . 5 8 2C 51 0 0Ci C 4一 二 0 . 3 4(C 51 0 0C 2 C 3 U )-= 0 . 0 7 (C 51 0 0C 3 C 2 ioVo. = 0 . 0 0 7C 51 0 0C 4 C l 八C 51 0 0*C 51 0 0故 E ( X ) = 0 . 5 8 3 + 0 0 x 3 4 0 1 x0 . +0 7 0 2 +OxO6 7 x 3= 0 . 5 0 1 ,57D ( X )= X - E x 2阴1= 0= (0 - 0 . 5 0 1 0 . 5 -8 3 - ( 1 2 0 . X 5 0

111、 1 . + 0 . 4 0 - 2 ( 5 x 0 . 5 0 1 ) 0= 0 . 4 3 2 .3 . 设随机变量X的分布律为且已知 E (X ) = 0 . 1 凤M 尸0 . 9 ,求P,X- 1 0 1pp、 p、 p ，【 解】因P + P + 尸= 1 ，I 2 3又 (X ) = ( 1 )P +OOP +1 EP =PP = 0 . 1 I 2 3 3 1E(X 2 )= ( l )2 Q P + 0 2 DP +1 2 =P + P = 0 . 9 I 2 3 1 3由联立解得尸=04尸= 0 . 1 ,尸= 0 . 5 .I 2 34 . 袋中有N 只球，其中的白球数X

112、为一随机变量，已知E ( X ) = ，问从袋中任取1 球为白球的概率是多少？【 解】记 4 = 从袋中任取1 球为白球 ,则P (4)全概率公式 P A X = k0PX = k工及= 4 =1 工 k P X = kN( x ) =5. 设随机变量X的概率密度为x, 0 x 1 ,f (x) = 2 x , 1 x (X)=12, Z)(y)=16,求 E(3X-2Y),D (2Z- 37).【 解】 E(3X-2Y) = 3E(X)- 2E(y)= 3x3- 2x3 = 3.( 2) D(2X- 37) = 22D(X) + (-3)2DY = 4x12+9x16 = 192.8. 设随

113、机变量(x, y )的概率密度为k, 0 x 1,0 y x,0, 其他.试确定常数鼠并求E (xn .【 解】因1田/(xj)dxdy = JdxJdy =：左=1,故 人2-oo X) 0 0 2E(Xy)= f f+coxyf (x, y)dxdy = xdxx2ydy = 0.25 .-co -oo 0 09. 设x, y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为2x, 0x-5)?o, 其 他 ；4 )=jo,V 5,其他.求 E (XX).【 解】方法一：先求x与 丫的均值E ( X ) J H 2 xd ,o 3后(丫)= 卜8 y e(, _5 ) Jfe5由x与 丫的独立性，得T

114、 -rez-dfz -Z Q=d +0 05 1 6.E(XY) = E(X)CE(y)= jx 6 = 4.方法二：利用随机变量函数的均值公式. 因x与y独立，故联合密度为592 xe -(y-5 ),2工=0,0 x5,其他，于是E(XY) = JE/砂 D2 xe -(， -5 d xd y =2 x2 d x / +8 ye -(y-5 )d y = 2 x 6 = 4.5 0 0 5 3i o . 设随机变量x, y 的概率密度分别为x 0, 4e-4.v, y 0,x0; 4 3 =o, ” 0.求 （ 1 ）E（ x + y ）；（ 2 ）E （ 结 3m .【 解 】(Ar)

115、= f+*xf (x)dxf400x2e-2drv X 。=J+ e -2 0,x 0.求 ( 1) 系数 c ; (2 ) (X ) ; (3 ) D ( X ) . 解 (1 )由 J-/ (x)d x =得c = 2 左 2 .- = 0 . 7 5 0 , 尸X = l =二 x 二 = 0 . 2 0 4,1 2 1 2 1 13 2 9 3 2 1 9PX= 2_ x _ x _ = 0 . 0 4 1 , PX= 3 )- -x _ x x _ = 0 . 0 0 5 .121110 1 2 1 1 1 0 9于是，得到X的概率分布表如下：X0123P0 . 7 5 00 . 2

116、 0 40 . 0 410 . 0 0 5E (X 2)= QX 7 5 f o M 0 . H2 0 4 2 M . Q 4 1 3 = 0 . 0 0 5 0 . 4 1 3O ( X ) = E 纹2 )耳 X ( 2对 0 . -4 1 3 (f t 3 0 1 ) 0 . 3 2 2 .1 3 . 一工厂生产某种设备的寿命X ( 以年计) 服从指数分布，概率密度为0 , x 1 o ( H P 整 - x ； x d-! 4尸y = 2 0 0 = 尸 牙 氏沃) iL 4J。2 + i / 2 ) -0 2n +n=0 z1 5 . 对随机变量x 和 y,已知。 ( X ) = 2

117、 , D ( y ) = 3 , C o v( * y ) = 1 ,计算：C o v ( 3 4 2 Y + 1 , X + 4 Y - 3 ) .解Cov(3X - 2Y +1, X + 4y - 3) = 3Z)(X) +1 OCov( X, 丫 )一 87)(7)3 x2 +1 Ox (- 1)- 8x 3= -2( 因常数与任一随机变量独立，故 C o v( 4 3 尸C o v( K 3 尸0 , 其余类似) .1 6 . 设二维随机变量( X, /)的概率密度为1,X2-yi 1,f (x, y) =s 7 C.0, 其他.试验证X 和 y是不相关的，但X 和 丫不是相互独立的.

118、【 解】设。 = ( x / ) | x 2 + y 2 l .6 2E( X) = / 力卜s j)dxdy = Jf x dx dy-OO -0 0兀x2+y2= J_ f2nJ,rco s0 ydrd0 = 0.兀 0 0同理E( y) =o而 C o v 外 x J + J +8 在 角 ) 祝 y(刃 x (y , X y Q O - OC= ff x y dx dy = 27tJ!r2 sin 0 c o s0 / d 0 = 0 ,兀 兀 0 0x2 +y2 E ( D 再由相关系数性质知嗫尸0 ，即 x与 y的相关系数为o,从而x和 y是不相关的.3 3 1又尸 丫 = - 1

119、 吗丫 = - 1 =尸#=尸 丫 = - 1 = - 1 O O O从而x与 丫不是相互独立的.1 8 . 设二维随机变量( x , y ) 在 以 ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求 C o v ( x , y ) , 4 T【 解】如图，s =,故 ( X, Y)的概率密度为题 1 8 图2 ,( x ,y ) e D,其他.E ( X) = J J 切( x , y ) dx dy = f dx J, _ vx E 2 dyo o 3DE( Xz) = J J x 2 / ( x9j ； ) dx dy = x A x

120、xx Ix iA y = 0 0 6D从 而 X) = E ( X2 ) - E ( X) 211 8同理 E ( y ) = ：, o ( y ) = 4 .3 1 o而所以从而E( XY ) = J Jx y f ( x , ) dx dy = J J2x y dx dy - f dx j| _ J C2x y dy = -L.o o 1 2D DC o v( X, Y ) = E( XY ) - E ( X) 印 = - L- 1 x l = - J , .1 2 3 3 J o1p = C ovJ r r ,_) 一否 1 D(T)U/ W 匚 r r 2T 8XVT 81 9 . 设

121、 ( x , r )的概率密度为1 sm (z x + y )、, 0八 x 兀,八0 y 兀,f ( x , y ) = 2 2 20 ,其他.求协方差co v ( x , r )和相关 系 数 %.【 解】E( X) = J的 ”必( %了)八十=Jn/2( hJi 2x y sin( x + )d x d y = - 1,o o 2故 C o v X Z = ) E / 心)E 取 近 g ) ) 1 % =F ： 1 .丁兀- 4 12Co v ( X ,y ) ) ( 71- 4 )2 712 - 871 + 16p _ _ _ =- - - - - - - - - = - - -

122、- - - - - - - - =- - - - - - - - - - .x y兀2+兀 2 兀2+8兀32 7 1 2 +871- 3216 + 21 r20 .已知二维随机变量( x , y )的协方差矩阵为,. , 试求z , * 2y和z,= 2jjy的相关1 4 J 1 2系数.【 解】由已知知：D( X) = l ,D( Y ) = 4,Cov ( X,Y ) = l .从而D( Z ) = D ( X - 2Y ) = D( X) + 4 D ( K)- 4 Co v ( X ,Y ) = 1+ 4 x 4 - 4 x 1 = 13,D( Z ) = Z )( 2X -V )

123、= 4 Z )( X ) + D ( K)- 4 Co v ( X ,V ) = 4 x 1 + 4 - 4 x 1 = 4 ,2Co v ( Z ,Z ) = Co v ( X - 2y ,2 X - Y )1 2= 2 C o v V X - ) 4 C b v X ) Jifo M , ) HE= 2O( X )- 5 C o K ( y ,+ ) 。2y等)x 2 k i k 2= 4 5 .p帝 -_ cCo v:( Z而,Z )Z ) -_ 65义 平_- 云5 *-21 .对于两个随机变量匕W , 若 E ( P ), E ( 游 )存 在 ，证明： ( /%) 2 ( p )

124、E ( 心 ).这一不等式称为柯西许瓦兹( Co u chy - S chw a r z)不等式.【 证】令g( /) = E 卜 + /% 2 ,/eR显然0 1 / 5 的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2 小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间丫的分布函数尸).【 解】设 r表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间1X-EW,E( X) = = 5 .A ,依题意 y = min( X ,2).对于产0 /0 0 = 尸 9 = 0 .对于这 2,F&)= P ( 贬y )= l.对于g_ y 0 时，在( 0 ,x )

125、内无故障的概率分布为P 心 = 1 - 1 嶙所以F( y ) = P Y y = Pmin( X 2) = P - 7 = 1 -23 .已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3 件合格品和3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品.从甲箱中任取3 件产品放乙箱后，求：( 1 ) 乙箱中次品件数Z的数学期望；( 2 ) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【 解】(1 ) Z的可能取值为0 , 1, 2, 3, Z的概率分布为( 2)设/表示事件“ 从乙箱中任取出一件产品是次品” ，根据全概率公式有PZ = k = ya2-*,左= 0 ,1,236Z= k0123pk12092092012

126、01 9 9 1 3因 止 匕 ，E(Z) = 0 x _ + lx _ + 2 x _ + 3x_L = i .20 20 20 20 2P(4) = m PZ = kJPA Z = kk=0= -1 xOA + 9 x_1 + _9 x _ +2 _x1 _ =3 120 20 6 20 6 20 6 424 .假设由自动线加工的某种零件的内径X （ 毫米）服从正态分布N （ / ） ，内径小于10或大 于12为不合格品，其余为合格品. 销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（ 单位：元）与销售零件的内径X有如卜关系-1, 若X10,片彳2 0 ,若 1 04X 4 12

127、,-5 , 若X12.问：平均直径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？【 解】E（T） = -P X 10 + 20P10 X 12=-P X - ZK 1 0- it- 2(P H -X u - B 外 出 1 2u= 2( D (Iw2 )一 QI ” 5 H ( 12 )= 2 5D (l u -) E 1 -(zl 0- ) 5.故12 = 25p( 12 ) x ( 1)2 kp( 10M) x ( 1 1 - 0 (这里( p(x)=e-22),dw得2 5 e ( i 2 - w ) 2 / 2 = 2 1 e - ( i o -M) 2 / 2 两边取对数有ln 2 5 -l

128、(1 2 - ) 2 = ln 2 1 -l(1 0 -u ) 2.1 2 5 1解得 =1 1勺 =1 L 2 1 n L央 1德 源)2 8由此可得，当“=10.9毫米时，平均利润最大.25 . 设随机变量X的概率密度为f(x)=1 x 八_cos_, 0 x a2 20, 其他.对X独立地重复观察4次，用y表示观察值大于兀/3的次数，求 修的数学期望.（ 2002研考）【 解】令1,工= : = l _ P x 4及P X q = jY c o s g d A = (,3 3 3 0 2 2 2所 以 叫) 43)$”) = 44 = 2,D( y) = 4 x lx _ = l = (

129、72) - ( 7 ) 2 ,从而双丫2 ） =。（ 丫 ） + 颐丫） 2 =1 + 22 =5.26 . 两台同样的自动记录仪， 每台无故障工作的时间7； （ i=l,2）服从参数为5的指数分布， 首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自 动开启. 试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+7,的概率密度/ 用） ,数学期望 （ 7）及方差。（ 7） .【 解】由题意知：5 e - 5 / , t 0,0, f 0,0,/ d .7 128 . 某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(Ovpvl)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修. 设开机后第一次停机时已生

130、产了的产品个数为X ,求 E( X ) 和 D ( X ) .【 解】记 q=l p X 的概率分布为PX=i=qi pj-l, 2, /故 E (X ) =E iq i-ip =/=1P( iq1P又 E(X?) = E izq i-p = 2 +Z07P 依 、n= p q G q i)+ =pqPi+ p2 Pq + 1 _ l + q _ 2 p(j)3 P P2 P 2所以题 29图29 . 设随机变量X 和 y 的联合分布在点(0, 1), (1, 0 ) 及(1, 1 ) 为顶点的三角形区域上服从均匀分布. ( 如图) ，试求随机变量。 =x+y的方差.【 解】 ( U)=DX+

131、 Y)=D(X)+D(y)+2Cov(XY)=DX+D(Y)+2E(XY)- E(X)-E(Y).由条件知X 和 Y 的联合密度为2. (x. y) e G,/(x ,y ) = - G = ( x , y ) | 9 x 1,“yN0, t 0.从而 / (x) = JE /( x J)dy = J 2dy = 2x.X -oo -x因此E (X ) = . x f (x)dx = J2x2dx = ,E(X2)= y2x3dx = ,o x o 2 o 21 4 1Z)(X) = E(X2 )-E(X)231同理可得 成丫) = 。( 丫) =2 1 oE(XY) = ff 2xydxdy

132、 - 211 xdxf1 ydy - - ,o -x 12G5 4 1Cov(X,y) = E(W )-E(X ) E(Y) = -于是D(U)= DX+ Y ) J -：1 O 1 O J O 1 o30.设随机变量U在区间-2,2上服从均匀分布，随机变量-1, U-1, f-1, u ,y= -, ,若U1.试 求（ i） x和y的联合概率分布：（ 2）D（ x+y） .【 解】（ i）为求x和y的联合概率分布， 就要计算（ x,y）的4个可能取值（ - i,-1） ,（ - 1）及（ 1,1）的概率.Px=- 1 , =1 =PU- 1 g = PU-114px=- i,r=i=pt/i

133、=p0 =o,PX=,Y= =PU-= P-1 /-1,/ i = Pu 1门 上 =1i 4 4故得x与y的联合概率分布为(-1,-1) (-1,1) (1-1) (1,1)( x ,y ) i o i i.4 2 4因。（ x + y ） = E（ x + y ） 2 E（ x + y ） 2 . x+y 及（ x+y） 2 的概率分布相应为0 4( x + y) 2 1 12 2从而 E(X + y) = (-2)x； + 2x = 0,E(X + y) 2 = 0xg + 4xJ = 2,所以 a x +y) = EX+Y)2-E(x +y) 2 = 2.3 1 . 设随机变量X 的概

134、率密度为火x ) = g e 、 l, ( - oo x + oo)( 1 ) 求 E ( Z ) 及 。 ( X) ；(2)求 C ov ( X, 必0,并问X与因是否不相关?(3)问X 与因是否相互独立，为什么？【 解】名(X) = JxoLe-wdr = 0. 4 - -0 0-iex 仅 2-x x = d 2 .0(2) Cov(X,| X) = E(X X I) - E(X)M(| X |) = E(Xq X |)=-0 0x | x Qle - i . v i d x = O,所以X 与| R互不相关.( 3 ) 为判断因与X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对

135、定义域- 8 VXV+ 0 0 中的子区间( 0 , + oo )上给出任意点%,则有-x X x = Xx uX x .0 0 0 0所以0尸|X|vx PXx 1.0 0故由PXx ,X x = PXPXx DPX 3 x 4 = 一6所以 0 ( Z) = 4 6 1 = 3 . 因C ov ( X, Z) = C o v ( X , / + g=1 C o v ( X, X ) + 1 C o v ( X, y )3 21 1 9= - ( % -x 3 = 0 ,所以P= 。 )=o由p贬 = = o得 X 与 Z 不相关又因Z N11,3) ,X N (1,9),所以X 与 Z 也

136、相互独立.3 3 . 将一枚硬币重复掷次， 以X 和 y表示正面向上和反面向上的次数. 试求X 和 y的相关系数 P .XY【 解】由条件知X+ y = ，则有。 ( X+ y ) = D ( n ) = 0 .1再由 X B ( n ,且 p= q =二 ,从而有 0 ( X) = n p = 。 丫4所以 o =o w+y) = 。 耳 力 。 丫 (+川 白 尸 丁 酒 厂 ()=K + 2 P 7 5 故 P = - 1 .2 XY 4 A T3 4 . 设随机变量X 和 y的联合概率分布为X-10 100 . 0 70 . 1 80 . 1 510 . 0 80 . 3 20 . 2

137、 0试求x和 y的相关系数p.【 解】由已知知E ( X) = 0 . 6 , E ( y ) = 0 . 2 , 而X X 的概率分布为- 1 0 1P 0 . 0 8 0 . 7 2 0 . 2所以 E ( A T) = - 0 . 0 8 + 0 . 2 = 0 . 1 2 DC ov ( X, Y ) = E( XY ) EX) -E( Y) = 0 . 1 2 - 0 . 6 x Q. 2 = 0 从而P =0XY3 5 . 对于任意两事件/ 和5 , 0 P( 4) l , O P ( B ) 1 , 则称P(AB) P(A)- P(B)JP (A )P (B )P 0P 为 事

138、件 / 和B的相关系数试证:(1)事 件 / 和 8独立的充分必要条件是0 = 0 ；( 2 ) | p| P所以，事件4和 8的相关系数就是随机变量x和 y的相关系数. 于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得WL3 6 . 设随机变量X 的概率密度为1 1 八, -1 x 0 ,2尸 ,0 x 2,0 , 其他.令 y = , F ( x , y ) 为二维随机变量( X, r )的分布函数，求：( 1 ) Y的概率密度/ , , & ) ；( 2 ) C ov ( Xl) ；( 3 ) 叫, 4).解 ： (1 ) Y的分布函数为F y P Y y P X 2 y .当 心 时 ， 勺。

139、 ) = Q 4 ( 力 = ；当 0 y l 时，3 ) = P -QX W6 = P S 4XO +R OX3 = ： 1 ,34 ”中当 1 乡4 时， F ( y ) = P - 1 X 0 + P 0 X J 7 =L + L 一= 挤当 即 寸 ，0 ) = 1 , / ( ) = 0.故 丫的概率密度为f =, 1 y 4,s0, 其他.故(3 )3 7 .E ( X尸J+8V (x)d r = J xd x + f2 xd r ,4 x , 2 o 4 4E ( y ) = ( X 2 ) = f+ wx2f (x)d x = f l . x2 d x + f2l - x2 d

140、 x = 2) ,E ( X Y = E ( Y i ) = + xx ifx (x)d x = J Ixsd x + J2l x3 d x = Z ,c o v （ /y ） = E （ ; v y） E （ x ） . E（ y ） q.F ( - l , 4 ) = P X -l,r 4 = P X - L , X 1 4= P X - L - 2 X 2 = P - 2 X - = P -1 X 5：_ + x&- = 一9 1D (X ) = E X i ) - E X ) 2 = _i i i 67 )2.2 _ 3 5n1+666 6又司， 蒋禹乙独立同分布.从而 E(X) =

141、E ( X x )= EE(X) = 4 x1 = 14,i i 2/=!D (X) = 0 ( XX)= ZQ(X) = 4X1 = 1 1/=1 i=所以 P (k X 18主。 闪一 14 | 0. 2 7 1,2 .假设一条生产线生产的产品合格率是0.8. 要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90% ,问这批产品至少要生产多少件？【 解 】v。， 若第i个产品是合格品今X V1 0 ,其他情形.而至少要生产n件，则i=l,2,典且X ,毛，X“独立同分布， =尸=1=08现要求， 使 得 “ X尸0.76 _一 0.9.n即P0.76 一0.8J x0.8x0.2X

142、 X 0.872x0.8x0.2(184/7-0.8/7 QJ x0.80.20.9,整理得中2 0.95,查表零上1.64,心268.9 6 ,故取=269.3 .某车间有同型号机床200部， 每部机床开动的概率为0.7,假定各机床开动与否互不影响,开动时每部机床消耗电能15个单位. 问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.【 解 】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值加，而 / 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m的概率为95%,于是我们只要供应15加单位电能就可满足要求. 令X表同时开动机床数目，则X8 (200, 0.

143、7),E(X) = 140,(X) = 42,0.95 = P0Xm = P(X 1 0 5 的近似值.kk= l1 0 0【 解】易知颊匕） =5 ,。 （r p= ,k= 1 , 2 , . . . , 2 0由中心极限定理知，随机变量( 20x5 近妒1 2 2 x 2 01 2泮 V - 2 0 x 5Z2 0于是 P / 1 0 5 = P7 - 2 0 x 5- - - - - - - - - - 1 0 0- - -x 2 01 21 0 5 - 2 0 x 52 x回- t t (0 . 3 = 8 7) 0 . 3 4 8,即有 P K 1 0 5 0 . 3 4 85 .有

144、一批建筑房屋用的木柱，其 中80 %的长度不小于3 m .现从这批木柱中随机地取出1 0 0根，问其中至少有3 0根短于3m的概率是多少？【 解】设1 0 0根中有X根短于3m,则 8 （ 1 0 0 , 0 . 2 ）从而产 X 2 3 0 = 1- 尸 X 7 5 = l - P X 4 75 k l i=75 - 1 0 0 x 0 . 8、71 0 0 x 0 . 8 x 0 . 2 ?= 1 - 0 ( - 1 . 25 O (1 . 2 5 ) 0 . 8 X8(100,0.7),尸 X、75 = 1 1 0 0义0 . 7- 8 0 0 x 0 . 7 x 0 . 3 J= 1

145、一 (1 . 89 ) 0 . 1 3 7 9 .7 . 用 Laplace中心极限定理近似计算从批废品率为0.05的产品中，任 取 1000件，其中有20件废品的概率.【 解】令 1000件中废品数X , 则p=0.05,n=1000-S( 1000,0.05),(X)=50, O(A)=47.5.故P = 2 0 = 1 = (?. 4 7. 52 0 - 5 0 1 ( 3 06 . 89 5 I 6 . 89 5 )(9 5-5 3 5 O a 1 = 1 0 (0 . 9 1 3 ) = 0 . 1 81 4 .9 . 上题中的电子器件若每件为a 元，那么在年计划中一年至少需多少元才

146、能以95%的概率保证够用(假定一年有306个工作日，每个工作日为8 小 时 ).【 解】设至少需n 件才够用. 则E(T)=10, 0(7)=100,(7)=10/?, D (T)=lOOn.故从而T 2 3 0 6 x 8 = 0 . 9 5 ,即 0 . 0 5 a 3 0 6 x 8- 1 0 n /0 . 9 5 = 01 0一 2 4 4 8、7,r t - 2 4 4 . 8 e r 、1 . 6 4 =- - - , n x 2 72 .所以需272a元 .1 0 .对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为

147、0.05,0.8,0.15. 若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.( 1 )求参加会议的家长数X超过450的概率？(2)求 有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.【 解】(1)以匕(41,2,400)记第i个学生来参加会议的家长数. 则为的分布律为X； | 0 1 2-P 0.05 08 015易知 E ( X = l.l)， 。 氏 尸0.19,户1,2,.,400.而丫 = 罢X, ， 由中心极限定理得-400x 1.1 30 x1 . 17 4 0 0 x0 . 1 9哽地 N( 0 , l ) .5yT7T7于是 P X 4 5 0 =

148、1 -P X 4 5 0 * 1 - 04 5 0 - 4 0 0 x1 . 1J4 xl 9= 1 - J( 1 . 1 4 7 0 . 1 3( 2 )以Y记有一名家长来参加会议的学生数. 则y8(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得PY 3 4 0 ”芋- 4 0 0 x 8 8 =已5 ) = 0 . 993 8 .1 4 0 0 x0 . 8 x0 . 2 )11 .设男孩出生率为0.515,求 在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【 解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则X8 (10000, 0.515) 要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求P X 5 W Q

149、.由中心极限定理有D ( 5 0 0 0 - 1 0 0 0 0 x0 . 5 1 5 nnA1_P X _ - | = 5 3 ) = 1 ( 3 ) = 0 . 0 0 1 3 5 . 1 0 0 0 0 x0 . 5 1 5 x0 . 4 8 5 )12 .设 有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9. 以95%概率估计，在一次行动中：( 1 )至少有多少个人能够进入？( 2 )至多有多少人能够进入？【 解】用芭表第i 个人能够按时进入掩蔽体(/=1,2,.,1000).令耳力+ 占+ + 芭。 (1 )设至少有机人能够进入掩蔽体，要求P ， 於SnS1000 2

150、0 .9 5 ,事件mS =n加 1000x0.9 S - 900)-J；5aBi_000x0.9x0.1 回)由中心极限定理知:Pm S = 1 -PS 0.95.从而m - 900、回0.05,故m - 900-r = - 1.65,所以m=900-15.65=884.35=884 人(2 )设至多有人能进入掩蔽体，要求尸 0警, 31公沙. 95.PSn900、网,0.95.900查 表 知 一 = = 1.65,A/=900+15.65=915.65-916 人1 3 .在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可

151、向保险公司领得1000元赔偿费. 求：(1) 保险公司没有利润的概率为多大；(2) 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？【 解】设X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则 片 2 (10000, 0.006).公司没有利润当且仅当“ 1000X= 10000X12”即X= 120”.于是所求概率为1120-10000x0.006、PX = 120 j (D 5/10000x0.006x0.994 0000x0.006x0.9946 4 )0. 0 5 1x7 -3 e 18S 0( 2 ) 因为“ 公司利润260000”当且仅当“0三室60”匚于是所求概率为P0X 60 060-1

152、0000x0.006、.TTOOOOx 0.006x0.994,一 (0-10000x0.0060000x0.006x0.994， 6 0 、= 皿0 ） _ L = 0 . 5 .（ 7 5 9? 6 4 J1 4 .设随机变量X 和 Y 的数学期望都是2 ,方差分别为1 和 4,而相关系数为0 . 5 试根据契比雪夫不等式给出P X K 2 6 的估计. （ 20 0 1 研考）【 解】令 Z = X- Y, 有颐Z ） = o , o （ z ） = D（X - y） = o（ x ） + Z ） （ y） - 2 P = 3 .所以1 5 .某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗

153、索赔户占2 0 % , 以X 表示在随机抽查的 1 0 0 个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.（ 1 ） 写出X 的概率分布；（ 2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不 少 于 1 4 户且不多于3 0 户的概率近似值.（ 1 98 8 研考）【 解】（ 1 ） X 可看作1 0 0 次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是0 . 2 , 因此，并 8 （ 10 0 , 0 . 2 ） ,故X的概率分布是P X = 6 = O 0.2*0.8IO O-A-, 左= 1, 2 , , 10 0 .100被盗索赔户不少于14户且不多于3 0 户的概率即为事件 1

154、4WX W3 0 的概率. 由中心极限定理，得八 它 /3 0 - 10 0 x 0 . 2、 不P 144 X 3 0 0 - - -| 0 0 x 0 . 2 x 0 . 8 J14- 10 0 x 0 . 2 1 10 0 x 0 . 2 x 0京 ,=b 2 . 5 ） 6 1. 与 0 . 9 4- 9= 3 3 16 . 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的. 假设每箱平均重5 0 千克，标准差为 5千克， 若用最大我重量为5吨的汽车承运， 试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0 . 97 7 .【 解】设 可 （ i = l , 2 ,

155、 . . . , ）是装运，箱的重量（ 单位：千克） ，力为所求的箱数，由条件知，可把X： , X , , ， X 视为独立同分布的随机变量，而箱的总重量7 = % + 毛+ +X是I 2 n fi I 2 n独立同分布随机变量之和，由条件知：E （ X , ） =50,严门=5 ,E（T）= s o ? , .n ”依中心极限定理，当 ”较大时,J%近 8 地N（ 0 , l ） ,故箱数取决于条件PT 5000 = P 0 . 9 7 3(2 ) .10 0 0 - 10 / ? c因此可从- - - - = 2解出“ 3 ) = P( Z | 3 0 / 15 ) = 1- P(| Z

156、| 2 )=2 1- O ( 2 ) 4 2 (- 1 0 . 9 7 = 7 2 ) 02 . 从正态总体N (4. 2 , 5 2 ) 中抽取容量为的样本，若要求其样本均值位于 区 间 (2 . 2 , 6 . 2 )内的概率不小于0 . 95 , 则样本容量至少取多大？【 解】X-4Z = 7rN (0 , l )5 / J ”D S、 - T7 公 0 、 p / 2 . 2 4. 2 厂 6 . 2 4. 2 广、P(2 . 2 X 6 . 2 ) = P- - 6 Z 1. 96 ,即 ” 2 4. 0 1, 所以至少应取2 53 . 设某厂生产的灯泡的使用寿命片N (10 0 0

157、 , C)(单位：小时) ，随机抽取一容量为9 的样本，并测得样本均值及样本方差. 但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为= 10 。 2 , 试求产( X 10 6 2 ) .【 解】 = 10 0 0 , ” = 9, 5 2 = 10 0 2X-1000100/3 ，(8)P(X 1062) = P(t = Pt 1.86) = 0.054 . 从一正态总体中抽取容量为10的样本， 假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差.X - L I _【 解】Z= 丁 LN(o , l ) ,由尸(|X - 川4尸0.02得4 7 n所以 5. 4

158、3.2. 3 35 . 设总体片N ( ，1 6 ),西 ， 苍 ，为。 是来自总体X的一个容量为10的简单随机样本,加为其样本方差，且 尸(S2a) = 0 .1 ,求 。之值.【 解】 2 =9s2 ( 9a、七 为2(9),P(Sa) = P 殍 =0.1.16 16;95216查表得所以9a =1 4. 684,1614. 6&4 16 ,a =-= 2 6. 1 0 5.6.设总体X服从标准正态分布， 多 , 苍，.计量9. , X是来自总体X的一个简单随机样本，试问统n(-1 )X X 2v=- -,-n-51=6服从何种分布？【 解】X2 = 2 X 2 小, 2 = Z x .

159、2 Xi(n-5)且为2与2相互独立.I2所以r =X” 5X iln-5-F (5,M-5)7.求总体X-N (20, 3 )的容量分别为10, 15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3的概率.【 解】令X的 容 量 为1 0的样本均值， 丫为 容 量 为1 5的样本均值， 则X N(20,310),_ 3 -7(20, ) ,且X与y相互独立.则X y 0,2_ + 2_ = N(0,0.5),那么zX -Y N(0,l),所以P(.X-Y0.3)=P |Z|2l-o (0.424)= 2(1 0. 6 6 2为)0. 6 72 + 2 + . . . + X 2、8.设总体心N

160、(0) (72) 4皿X ,为总体的一个样本.则丫 = 品 - - - - - -W )1 10 15 2X 2 +X 2 + .+ X 2 /II 12 15服从 分布, 参数为_.【 解】巴N(O,l),i=i,2,15.Q那么岑/=1 ,j %2(1 0 ),为2斗高; 殍i= ll 且2与2相互独立,I2所以X 2 + + X 2 * 2 / 1 0-1 -W = 1 -2(X2 +. + X2) X2/5II 15 2 2 10,5)所以丫尸分布，参 数 为(10,5).9.设总体长N (/2), 总体yM /夕J 2 ) X /，X“和Q %，X“分别来自总体X和y的简单随机样本，

161、则E （ x - X ） 2 + S （ y - r ） 2i JE -77+77-21 2【 解】令 52 = _ L X （ x - T ） 22 = _ LS （ y - y ） , n -1 i 2 n 2)是总体X的一个样本，了 = ，- 艺X ,令1 2 2 2n ii=ly = Z （ X + X - 2 * ） 2 ,求i n+ii=l【 解】令2=又+ 入+ ， 户1,2,., .则ZM 2 , 2 （T2 ） （ 1 q f ） , 且 Z*2,Z“ 相互独立.令 Z = Z 4 , S 2 = Z （ Z -Z ） 2/rt-l,niI=I i=i则艺U Z z李,2n

162、2ni=l故那么Z = 2Xy = Z （ X + X -2 X ） 2 = S （ Z - z ） 2 = （ 77-1） 52,i n+i i/= 1 /= 1所以E( y) = ( _= 2( _ 1A 2.11.设总体x的概率密度为/U尸ge l ( -8VXV+8) 3， &,，为总体X的简单随机样本，其 样 本 方 差 为 求 ( & ) .解：由题意，得x) =2.e.r, x 0,12E ( a ) = D (X E( X J 见( X)于是 (X)=J+8 x/(勾dJ +8 _ 4必 0- 00 / 一 o oE(H)=J+ 荣 / ( 力 d*I J +0 2+ 8 4

163、e dx 2 ,- c o 乙 一0 0所以E(S2) = 2.习题七1 .设总体X服从二项分布6 (n, p) , n已知，为 ， 苍 ，毛 为来自X的样本，求参数p的矩法估计.【 解】(X) = 夕 ,(X) = 4 = X ,因此p=T所以P的矩估计量XP = n2 .设总体X的密度函数2_(0- x), Ox0,f a。) = 0 ,( 1 ) f ( X , 6 )= Lo ,x 0 .0处i ,0x 1 ,( 2 ) f ( x, e )= 0 ,其他.【 解】(1)似然函数 = P l / ( x , 。)=O He * =O，e e e/=1Z = 1g = nL = nI n

164、 O 一 。Z xi= T由d g _ d ln Zd O = d O-= _ Zx j=O 知i = l人 n0 = -Z x/ = 1八1所以8的极大似然估计量为。=.( 2 )似然函数F I xO - 1 , 0 X 1,I=1,2, n ,i ii= I n A = ln。4 - ( 0 - l ) l n F I xf = ld l n n f I TT 八由 F - = k + ln I J Lx =0 知d 0 0 ii= lnn0 = -= _I n Fix Zl nx/ = 1 / = 1- n所以6的极大似然估计量为 0 =-Zl nx/ = 14.从批炒股票的股民年收益率

165、的数据中随机抽取1 0人的收益率数据，结果如下:序号1234567891 0收益率0 .0 1- 0 .1 1- 0 .1 2- 0 .0 9- 0 .1 3- 0 .30 .1- 0 .0 9-0.1- 0 .1 1求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.【 解】 T = -0. 094 s = 0 .1 0 1 8 9 = 9EX = x = -0.094., , X2 人由E(X 2) = O (X ) + E(X )2,(X 2) = N = 一 知 W 2 + (X )2 = Z ， 即有2n2/=!三 瓦 而 7 + 标啰 2 -I O(X) 2 于是 O=TS = JO

166、-9 0 ),那么0 = maxx 时，L=L(6 ) 最大，1 /8 1所以。的极大似然估计值=0.9.因为E(9)=E( maxx ) 0 ， 所以S=maxx 不是。的无偏计.1 /8 1 1 ;E ( X 如 中=0。0中2 ,i ir i i于是 E d 2 = q 心 K )# k(cn 1)即。 2 - ( 1 R ,/ 11 =1那么当后 ( 6 2 ) = 0 2 ,即2。2( _ 1)左= b 2时 ,有17.设X , 是从正态总体N( ,。2 ) 中抽取的样本2 1 1 3 1 1口 =_ X+_X; Q =_ X+_X; 口 =_ X+_X;1 3 1 3 2 2 4

167、1 4 2 3 2 1 2 2试证口， 口， 口都是的无偏估计量，并求出每一估计量的方差.I 2 3( 2 1 、 2 1 2 1 证明( 1 ) | = - i) + _ E ( X ) = + =1 3颐口 ) = J (X) + ：E ( X ) = N,2 4 i 4 2颐 匕 ) =9 ( ) + ; 5 ) =氏所以口， 口 ， 口均是的无偏估计量.1 2 3， 2 、2 1 Y 4 5 ( 5 2( 2 ) 。( 匕) = | j ) D ( X J + | j J 0 ( X , ) = g X b 2 = _ _ ,0 ( ) = CT D ( X ) + gT D ( X

168、)= 浮，2 I M 1 2 80 (0) =， ( )拜，3 I 2 28. 某车间生产的螺钉，其直径片N ( ， ( 72 ) , 由过去的经验知道。2 =0 . 0 6 , 今随机抽取6枚,测得其长度( 单位mm)如下：1 4 . 7 1 5 . 0 1 4 . 8 1 4 . 9 1 5 . 1 1 5 . 2试求的置信概率为0 . 95 的置信区间.【 解】n= 6,o 2=0 . 0 6 , a =1 - 0 . 95 =0 . 0 5 ,x = 1 4 . 95 , w = u - - 1 . 96 ,a . 0. 252的置信度为0 . 95 的置信区间为 x u 二 = (

169、1 4 . 95 0 . 1 x 1 . 96 ) = ( 1 4 . 75 4 , 1 5 . 1 4 6 )(a /2 / )9. 总体 片 M ” , 。2 ) ,。2已知，问需抽取容量多大的样本，才能使“的置信概率为1 - a ,且置信区间的长度不大于L?【 解】山。2已知可知的置信度为1 - a 的置信区间为于是置信区间长度为 隼 ，J n 口22o 4a 2 Q )2那 么 由 ; 0/ 得 2 -产 z 10. 设某种砖头的抗压强度片N （ ， 。2） , 今随机抽取20块砖头， 测得数据如下（ kg -cm-2） ：64 69 49 92 55 97 41 84 88 9984

170、 66 100 98 72 74 87 84 48 81（ 1） 求的置信概率为0.95的置信区间.（ 2） 求o 2的置信概率为0.95的置信区间.【 解】x 76.6,5 = 18.14,a = 1 0.95 = 0.05,n - 20,t ( - 1 )= ， ( 1 与 2. 09 3,a / 2 0 .0 2 5殍 ( -1)=殍( 1 灼 32.& 52, =(1 9) 8. 907a / 2 0 .0 2 5 0 .9 7 5(1) 的置信度为0.95的置信区间(_ c A ( is 14 、x t ( 77-1) = 76.6 一 x2.093 =(68.11,85.089)(

171、6”2 八 / )（ 2） 。2的置信度为0.95的置信区间(/7 - 1) 52 、19I机( 一D 忆 * 7厂132.85219 、xl8.142,8 X18.142 =(190.33,702.01)11.设 总 体 叼 =,(0 + 1)x0, 0% 1X 也, ， 丫是X 的一个样本，求6 的矩估计量及极大似然估计量.【 解、 E(X) = J+8 切( x) dx = J (0 +1 裨+ 也- r i x? 0 c 1 ( / 1， 2,- = 0 其他取对数In L = l n ( 0 + l ) + e Z l n x ( 0 x l ;l z ri),i=ld In n-

172、- - - = - - - - - +d 0 9 + 1Z l n x =0 ,i=八 n所以6的极大似然估计量为e =- 1 - - - - - - - -In X6Xz0 _ x1 2 . 设总体 火% ) =, 0 30 ,0 x 0 ; 0 ;/ = 1 , 2 ,0 其 他l n L = “ l n 2 - 2 X ( x - 0 ) , x 0 ;z = 1 , 2 ,i iZ=1由% = 2 0知 l n e ) td t )那么当。=m i n x 0 J - In A ( 0 ) = m a x l n L( 0 )lao所以9的极大似然估计量0 - = m i n x l

173、n 1 4 .设总体X 的概率分布为X0 123p仇20(1-0)1-20其 中 8 (0 * J)是未知参数，利用总体的如下样本值3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3 , 求 。的矩估计值和极大似然估计值.【 解】3 -( 1 ( X ) = 3 - 4 0 ,令 E ( X ) =% 得 。= 一4/=1八 3 X 1所以9 的矩估计值0 = =( 2 ) 似然函数L = rf P (x ,0) = 406(1-02)(1-20)4.Z=1In L = In 4 + 6 1 n。+ 2 1 n ( l - 9) + 4 1 n ( l - 9) ,d l n A 6 2 8 6 -

174、 2 80 + 2 4 6 2 nd 9 -0 1 - 0 1 - 2 0 -9( l - e ) ( l - 2 0 )-解 6 2 8。+2 4。 2 = 0由于11 2) 一2所以。的极大似然估计值为 0 = 7一 严 .1 5. 设总体X的分布函数为0 , x a .其 中 未 知 参 数 加 设X I唱 ， 乙， 为来自总体X的样本(1)当a =l时，求的矩估计量；(2)当a =l时，求的极大似然估计量；(3)当代2时，求a的极大似然估计量.【 解】当a =1 时，/ ( x , P ) = F i (x , l , P ) = x P + i?X0 , x (Y 当G =2 时，/

175、 (x , a ) = K (x , a , 2) = 7， 一 ，X0 , x 1 , (/ = 1 , 2, , );其他.I n A = / ?l n p -(p + l )Z l n x ,/=1d l n n V二 k 一乙I n x = 0 ,d p p ,i=人 n所以P的极大似然估计量B = -X nxi=(3 )似然函数2 a 2L 11 f (x ,ot)= a,(z = 1,2,其他., )；显然 = ( a ) t那么当戊= minx 时, = (d ) = max ( a ) ,10所以a 的极大似然估计量a =m inx.IS lS M 16 . 从正态总体XN(3

176、.4, 62)中抽取容量为n的样本， 如果其样本均值位于区间(1.4, 5.4)内的概率不小于0 .9 5 ,问M至少应取多大？P(Z)= J z-0 0Z1.281.6451.962.33(p(z)0.90.950.9750.99【 解】X N(3.4,竺 )则2 =X - 3 46 /J ”P A X 5.4 = P1.4-3.4 5.4-3.4- -6 / J 7 6 / J 7=PZ=0)律 卜 ( -f l = 2( f)T 2 0.95于是( 平 40.975则 2 1.96, 35.17 . 设总体X 的概率密度为0,f ( x , e) = 1-6,o,0x 1,lx 2,其他

177、.其中。是未知 参 数 (0。 z g所以拒绝 ，认为总体平均值有显著性变化.2 . 某种矿砂的5个样品中的含银量（ ）经测定为:3 . 24 3 . 26 3 . 24 3 . 27 3 . 25设含保量服从正态分布，问在a =0 . 0 1 下能否接收假设：这批矿砂的含银量为3 . 25 .【 解】设 ： p . = N =3 . 25 ; / / :|LI g =3 . 25 .0 0 1 0n - 5 , a - 0 . 0 1 , / ( 一 l ) = f (4 ) - 4 . 6 0 4 1a / 2 0.005x = 3 . 25 2, 5 1 = 0 . 0 1 3 ,0 .

178、 0 1 3 Y|“ f (4 ).0.005所以接受练，认为这批矿砂的含银量为3 . 25 .3 .在正常状态下， 某种牌子的香烟一支平均L 1 克， 若从这种香烟堆中任取3 6 支作为样本;测得样本均值为1 . 0 0 8（ 克） ， 样本方差s z =0 . 1 （ 0） . 问这堆香烟是否处于正常状态. 已知香烟（ 支）的 重 量 （ 克）近似服从正态分布（ 取a =0 . 0 5 ）.【 解】设H ： 口=日 =1 . 1 ； : 日 =1 . 1 .0 0 I 0n = 3 6 , 0 1 = 0 . 0 5 , / ( l ) = z (3 5 ) = 2. 0 3 0 1 ,

179、” =3 6 ,0/2 0.025T = 1 . 0 0 8, 5 2 =0 . 1 ,X - H （ 1 . 0 0 8-1 . 1 ） / 1t =-= - X 6 = 1 . 7 4 5 6 ,H = 1 . 7 4 5 6 21. 5 ; / 7 平 -z = - 1. 6 5 .0.05所以接受4 0 , 认为电池的寿命不比该公司宣称的短.5 . 测量某种溶液中的水分， 从它的10个测定值得出亍= 0. 4 5 2（ %） 产 0. 037 （ %） . 设测定值总体为正态，为总体均值，。为总体标准差，试在水平a = 0. 05 下检验.( 1) Ha： = 0. 5 ( % ) ；

180、 ” 0. 04 ( % ) .【 解】p . = 0. 5 ; = 10, a = 0. 05 , ，( z ? -1) = z ( 9 ) = 1. 8 331,oax = 0. 4 5 2, 5 = 0. 037 ,0.05r - p i ( 0. 4 5 2- 0. 5 )t =- -= =_ _ _ _s/y f n0. 037x/ i O = - 4 . 1024 1,t -t ( 9 ) = - 1. 8 331.0.05所以拒绝练，接受力.(2)o 2 = ( 0. 04 ) 2, ? ? = 10, o t = 0. 05 , % 2 = % 2 ( 9 ) = 3. 325

181、 ,0 l- a 0.95x = 0. 4 5 2, 5 = 0. 037 ,X2( 一 1” 9 x0. 037 2a 0. 04 20=7 . 7 006 ,殍 /J 9 ) .所以接受 ，拒绝6. 某种导线的电阻服从正态分布N （ 3 0.005 2）. 今从新生产的一批导线中抽取9 根，测其电阻，得 5=0.008欧对于a = 0 .0 5 ,能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?【 解】H :-0. 005 ; / / * 0. 005 .0 0 1 0n = 9 , o t = 0. 05 , 5 = 0. 008 ,%（ 8 ） =/5（ 8 ） = 17 . 5 35也2

182、（ 8 ） = %力 （8 ） = 2.。8 8 ,X2( M - l ) 5 2 _ 8 x0. 008 2 %2 ( 8 ) .0. 0 2 5故应拒绝练，不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005.7. 有两批棉纱，为比较其断裂强度，从 中 各 取 个 样 本 ，测试得到:第一批棉纱样本：= 200, =0.532kg, 5 =0.218kg；第二批棉纱样本：”,=200, =0.57kg, 52=0.176kg.设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异？=0.05）【 解】H : 口= 口； / / ： |1叩 .0 I 2 I I 2n = n = 200,

183、 o t = 0. 05 ,t ( n + n -2) -t ( 39 8 ) z - 1. 9 6 ,Ct/2 I 2 0.025 0.025一l ) s 2 + ( _32 119 9 x( 0. 218 2 + 0. 17 6 2)S = i- I - 1 - 3- 3- = . I- V n + n - 2 v 39 80. 19 8 1,所以接受 ，认为两批强度均值无显著差别.8. 两位化验员48 对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了 5 次分析，得到样本方差分别为0.4322(%2)与 0.5006(%2).若 4, 8 所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为乙2, O

184、2,试在水平a =0.05下检验方差齐性的假设H ：O 2 = C 2；H ：52 W O 2 .0 A B 1 A B【 解】n = n = 5 , a = 0. 05 , 5 2 = 0. 4 322, 5 2 = 0. 5 006 ,1 2 1 2F ( n - l , n - 1) = F ( 4 , 4 ) = 9 . 6 ,a /2 I 2 0.025M， 4 )1_ L = 0. 104 2,F ( 4 . 4 ) 9 . 60.025厂 s 2 0. 4 322 八 coF = - =- - - - - - = 0. 8 6 34 .5 2 0. 5 0062( 4 , 4 )

185、 F F .0.05故灯丝材料对灯泡寿命无显著影响.表 9-1-1方差分析表方差来源平方和S自由度均方和不F值因素影响4 4 36 0. 7314 7 8 6 . 92. 15误差15 135 0. 8226 8 7 9 . 5 9总和19 5 7 11. 5 4252. 一个年级有三个小班，他们进行了一次数学考试，现从各个班级随机地抽取了一些学生,记录其成绩如下：IIIIII7 36 68 87 76 84 18 96 07 83 17 95 98 24 54 87 85 66 84 39 39 16 29 15 38 03 65 17 67 17 97 37 78 59 67 11 57

186、48 08 75 6试在显著性水平0 . 0 5 下检验各班级的平均分数有无显著差异. 设各个总体服从正态分布，且方差相等.【 解】r = 3 , n = = 4 0 ,ii=lS = X2 _= 9 9 4 6 2 - 1 8 5 7 7 6 . 9 = 1 3 6 8 5 . 1 ,Ty n/=1 j= y 1 T 2S = 乙 乃 一一 = 1 8 6 1 1 2 . 2 5 - 1 8 5 7 7 6 . 9 = 3 3 5 . 3 5 ,才 n niW SJ 3349.65,S /（ F - 1 ） 1 6 7 . 7b = 一- - - - - -=- - - - -= 0 . 4

187、 6 55 /（ n - r ） 3 6 0 . 8F （ 2 ： 3 7 ） = 3 . 2 3 尸 .0 . 0 5故各班平均分数无显著差异.表 9-2-1方差分析表方差来源平方和S自由度均方和不尸值因素影响335.352167.680.465误差13349.6537360.80总和13685393 . 下面记录了 3 位操作工分别在不同机器上操作3 天的日产量.甲乙丙415151719191616182141717171515151922221517161817161818184182022151617171717取显著性水平咛0.05,试分析操作工之间，机器之间以及两者交互作用有无显著

188、差异？【 解】由已知 r=4,5=3,/=3.T 的计算如表9-3-1.表 9-3-1T 操机 器甲乙丙TL.A1475455156A2514563159A3485154153A4604851159Tj -206198223627S立 注 X2 = 1 1 0 6 5 - 1 0 9 2 0 . 2 5 = 1 4 4 . 7 5 ,T驻 rSt/=1 y=l k=S 玉2 = 1 0 9 2 3 - 1 0 9 2 0 . 2 5 = 2 . 7 5 ,/ st - rsti= S = _ L XT2 - = 1 0 9 4 7 . 4 2 - 1 0 9 2 0 . 2 5 = 2 7 .

189、 1 7 ,B rt j rstS /O2 土_ s - S = 7 3 . 5 0 ,AXB t ij. rst A B /=1 j= /S = S - S - S - S = 4 1 . 3 3 .E T A B AxB表9-3-2得方差分析表方差来源平方和S自由度均方和fF 值因素A （ 机器）2.7530.92F =053A因素B（ 操作工）27.17213.58F =7.89B交互作用AxB73.50612.25F =7.12AxB误差4.33241.72总和1094.75F (3 , 2 4 ) = 3 . 0 1 , F (2 , 2 4 ) = 3 . 4 0 , R (6 ,

190、 2 4 ) = 2 . 5 1 .0.05 0.05 0.05接 受 假 设 ，拒 绝 假 设 ， ,01 02 03即机器之间无显著差异，操作之间以及两者的交互作用有显著差异.4 . 为了解3 种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异，对 3 种不同品种的猪各选3 头进行试验，分别测得其3 个月间体重增加量如下表所示，取显著性水平a = 0.05,试分析不同饲料与不同品种对猪的生长有无显著影响？假定其体重增长量服从正态分布， 且各种配比的方差相等.【 解】由已知尸产3,经计算了 =52, T =50.66,K, =53体重增长量因素5 （ 品种）/B,因素/4515645（ 饲料）535749

191、45258475 = 5 2 .3 4 , =52, T=57, T =47,s=( x - T ) 2 = 1 6 2 ;T ij/=1 j=S =s (r 丁)2 = 8 . 7 3 ,A i./=!S = (r - r ) 2 = 1 5 0 ,B Jj=lS =S S S = 3 . 2 7 .E T A B表 %4-l得方差分析表方差来源平方和S自由度均方和亍F值饮料作用8 . 6 824 . 3 45 . 2 3品种作用1 5 027 59 0 . 3 6试验误差3 . 3 240 . 8 3总和1 6 2由 于 R (2 , 4 ) = 6 . 9 4R (2 , 4 ) F .

192、0.05A 0.05 B因而接受假设“， 拒绝假设”.01 02即不同饲料对猪体重增长无显著影响， 猪的品种对猪体重增长有显著影响.5 . 研究氯乙醇胶在各种硫化系统下的性能(油体膨胀绝对值越小越好) 需要考察补强剂( A ) 、防 老 剂 (8 ) 、硫化系统(C ) 3个因素(各取3个水平) ，根据专业理论经验，交互作用全忽略，根据选用 4 (3 4 ) 表作9次试验及试验结果见卜表：表头设计试验列号1234结果试验号111117 . 2 5212225 . 4 8313335 . 3 5421235 . 4 0522314 . 4 2623125 . 9 0731324 . 6 8832

193、135 . 9 0933215 . 6 3(1 ) 试作最，优生产条件的直观分析，并对3因素排出主次关系.(2 ) 给 定 - 0 . 0 5 , 作方差分析与(1 ) 比较.【 解】(1 ) 对试验结果进行极差计算，得 表 9 - 5 - 1 .表 9-5-1Tij1 8 . 0 81 7 . 3 31 9 . 0 51 7 . 3 07 - 5 0 . 0 1T2 /1 5 . 7 21 5 . 8 01 6 . 5 11 6 . 0 6由于要求油体膨胀越小越好， 所以从表9 - 5 - 1的极差勺的大小顺序排出因素的主次顺序为：主一次84CT3/1 6 . 2 11 6 . 8 81 4

194、 . 4 51 6 . 6 5Rj2 . 3 61 . 5 34 . 4 61 . 2 4最优工艺条件为：A B C .2 2 31 J. T2 利用表9 - 5 - 1的结果及公式S =_ 7 2 得表9 - 5 - 2 .j r U Pi=表 9-5-2A1B2C34S1 . 0 3 40 . 4 1 23 . 5 3 90 . 2 5 6S =5.241Ts表9 - 5 - 2中第4列为空列，因此S =S = 0 .2 5 6 ,其中/ =2,所以m = 0 .12 8方差分析。4 J表 9-5-3表如表9 -5 -3 .方差来源sjfjS I fj js sF = 一 f fJ e显著

195、性A1.0 3 420 .5 174 .0 3 9B0 .4 1220 .2 0 61.6 0 9C3 .5 3 921.7 6 913 .8 2 8e0 .2 5 620 .12 8由 于 九5 （ 2 , 2 ）g故因素C作用较显著，次之，8较次，但由于要求汕体膨胀越小越好，所以主次顺序为：BA C ,这与前面极差分析的结果是一致的.6 .某农科站进行早稻品种试验（ 产量越高越好） ，需考察品种J ） ,施氮肥量（B）,氮、磷、钾肥比例（ C） ,插植规格（ 。）4个因素，根据专业理论和经验，交互作用全忽略，早稻试验方案及结果分析见下表：因素试验号A品种B施氮肥量C氮、磷、钾肥比例D插植规

196、格试验指标产量11 （ 科6号）1( 2 0 )1( 2 ： 2 ： 1)1( 5 x 6 )19 .0212 ( 2 5 )2 ( 3 ： 2 ： 3 )2 ( 6 x 6 )2 0 .032 （科5号）1122 1.9422212 2 .351（科7号）1212 1.0612122 1.072 （珍珠矮）12218 .08221118 .2( 1)试作出最优生产条件的直观分析，并对4因素排出主次关系.( 2 )给 定 咛0 .0 5 ,作方差分析，与比较.【 解】被考察因素有4个：A , B, C ,。每个因素有两个水平，所以选用正交表4 ( 2 7 ) ,进行极差计算可得表9 -6 -1

197、.表 9-6-1列号水平试验号1A23B4C5D67试验结果1111111119 .0211122222 0 .0312211222 1.9412222112 2 .3521212122 1.0621221212 1.07221122118 .08221211218 .2屋8 3 .28 1.07 5 .27 9 .98 0 .18 0 .58 0 .37 = 16 1.4T岁 7 8 .28 0 .48 6 .28 1.58 1.38 0 .98 1.1R-4-5 .00 .611.01.61.20.40 .8从表9 -6 -1的极差凡的大小顺序排出因素的主次为：B,匕为DJ最优方案为：AB

198、 C D1 2 2 2( 2 )利用表9 -6 -1的结果及公式S =-J牙 7T2 - A得 表% 6 -2 .j r u P)=i表 9-6-21A23B4C5D67Sj3 .12 50 .0 4 515 .12 50 .3 2 00 .18 00 .0 2 00 .0 8 0S =18.895T表9 -6 -2中 第1, 3 , 7列为空歹i j ,因此s , = S j + $ 3 + 5 7 = 18 .3 3 0 4 = 3 ,所以，= 6 .110 .而在上表中其他列中.故将所有次均并入误差，可得S A=S =18.895,/A =7.e T e整理得方差分析表为表9 -6 -3

199、 .表 9-6-3方差来源sfjsjS 5 AF = 一 f %j e显著性A0 .0 4 510 .0 4 50 .0 17B0 .3 2 010 .3 2 00 .119C0 .18 010 .18 00 .0 6 7D0 .0 2 010 .0 2 00 .0 0 7e18 .3 3 036 .110e A18 .8 9 572 .6 9 9由于 0,.7 ) = 5 .5 9 , 故 4因素的影响均不显著，但依顺序为：B,尤 允 D 与( 1) 中极差分析结果一致.习题十1.在硝酸钠( N a N O J 的溶解度试验中，测得在不同温度x ( C ) 下，溶 解 于 10 0 份水中的

200、硝酸钠份数V的数据如下，试求y关于x的线性回归方程.X.0410152 12 93 65 16 86 6 .7 7 1.07 6 .38 0 .68 5 .79 2 .99 9 .4113 .612 5 .1【 解】经计算得,= 2 3 4 , 2 L _ y = 8 11.3 , x 2 = 10 14 4 ,i i i= 2 4 6 2 8 .6 ,/=! i=l I =1 ( =1S = 10 14 4 -1( 2 3 4 ) 2 = 4 0 6 0 ,XX9S = 2 4 6 2 8 .6 - l x 2 3 4 x 8 11.3 = 3 5 3 4 .8 .v9ASA8 11.3 A

201、 2 3 4故 b = = 0 .8 7 0 6 , a = - -bx 一 = 6 7 .5 0 7 8 ,S 9 9从而回归方程：J -= 6 7 .5 0 7 8 + 0 .8 7 0 6 % .2 .测量了 9对父子的身高，所得数据如下( 单位：英 寸 ) .父亲身高rI6 06 26 46 66 76 87 07 27 4儿子身高无6 3 .66 5 .26 66 6 .96 7 .16 7 .46 8 .37 0 .17 0求 ( 1) 儿子身高y关于父亲身高x的回归方程.(2)取 a = 0 .0 5 , 检验儿子的身高、与父亲身高x之间的线性相关关系是否显著.(3)若父亲身高7

202、 0 英寸，求其儿子的身高的置信度为9 5 % 的预测区间.【 解】经计算得,Xx = 603,=6 0 4 . 6 , 2 x 2 =4 0 5 6 9 , Xxy =4 0 5 8 4 . 9 , 2 尸=4 0 6 5 1 . 6 8/=!i= lS =4 0 5 6 9 - 1 (6 0 3 )2 =1 6 8 ,X X 9S =4 0 5 8 4 . 9 - 2 x 6 0 3 x 6 0 4 . 6 = 7 6 . 7 ,. V 9S =4 0 6 5 1 . 6 8 - 1 (6 0 4 . 6 )2 =3 5 . 9 9 5 6 .yy91=1(i y =| x u = 0 .

203、 4 5 6 5 , 3 = 2x / 9 - b x H x / 9 = 3 6 . 5 8 9 1 ,故回归方程：5 = 3 6 . 5 8 9 1 + 0 . 4 5 6 5 .S2(2 ) Q = = 3 5 . 0 1 7 2 , 0 =Q - Q = 3 5 . 9 9 5 6 - 3 5 . 0 1 7 2 = 0 . 9 7 8 4 ,回 S 剩 总 回XXQF = = 2 5 0 . 5 4 3 9 尸(1 , 7 ) = 5 . 5 9 .Q l n-2 c o s剩故拒绝为 , 即两变量的线性相关关系是显著的.(3万= 3 6 . 5 8 9 1 + 0 . 4 5 6

204、5 x 7 0 = 6 8 . 5 4 7 4 ,0n SXX0 . 3 7 3 9 ,1 . 0 7 9 2 ,1 6 8给定 a = 0 . 0 5 , / (7 ) = 2 . 3 6 4 6 , 60 . 0 2 5故t (7 2 -a / 2+ - +(% 7 = 2 . 3 6 4 6 X 0 . 3 7 3 9 x 1 . 0 7 9 2 = 0 . 9 5 4 0 .n SXX从而其儿子的身高的置信度为9 5 %的预测区间为(6 8 . 5 4 7 4 0 . 9 5 4 0 )=(6 7 . 5 9 3 4 , 6 9 . 5 0 1 4 ).3. 随机抽取了 1 0个家庭，

205、调查了他们的家庭月收入x (单位：百元)和月支出M单位：百元)，记录于下表：求：(1 )在直角坐标系下作x与夕的散点图，判断y与x是否存在线性关系.(2 )求y与x的一元线性回归方程.(3 )对所得的回归方程作显著性检验.( 牛0 . 0 2 5 )【 解】(1 )散点图如右，从图看出，y与x之间具有线性相关关系.(2 )经计算可得X2 01 52 02 51 62 01 81 92 21 6y1 81 41 72 01 41 91 71 82 01 3= 191gy =1 7 0 , x 2 = 3731? xy =3 3 1 0 , 2 y 2 = 2 9 4 8 ,ii i i i ii

206、 = /=1 i = i = l Z=1S =8 2 . 9 , S =6 3 , S =5 8 .xx xy yyA S 1 7 0 1Q1故b = 1 = 0 . 7 6 0 0 , a = 一 一 0 . 7 6 x 一 = 2 . 4 8 4 9 ,S 1 0 1 0从而回归方程：/ = 2 . 4 8 4 9 + 0 . 7 6 x .y12io8642O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20题3图S2 。 =- u _ = 4 7 . 8 7 7 0 , 。=Q - Q =5 8 - 4 7 . 8 7 7 = 1 0 . 1 2 3 0 ,。回 s 剩 总 回XXQ

207、F = = 3 7 . 8 3 6 0 尸（ 1 , 8 ） = 7 . 5 7 .Q /M- 2 D o s剩故拒绝， 即两变量的线性相关关系是显著的.4 . 设为树干的体积，为离地面一定高度的树干直径，X 2 为树干高度，一共测量了 3 1 棵树，数据列于下表，作出y对外玉的二元线性回归方程，以便能用简单分法从否和乙估计一棵树的体积，进而估计一片森林的木材储量.【 解】根据表中数据，得正规方程组X,（直径）高）M体积）W直径）匐M体积）8 . 37 01 0 . 31 2 . 98 53 3 . 88 . 66 51 0 . 31 3 . 38 62 7 . 48 . 86 31 0 .

208、21 3 . 77 12 5 . 71 0 . 57 21 0 . 41 3 . 86 42 4 . 91 0 . 78 11 6 . 81 4 . 07 83 4 . 51 0 . 88 31 8 . 81 4 . 28 03 1 . 71 1 . 06 61 9 . 71 5 . 57 43 6 . 31 1 . 07 51 5 . 61 6 . 07 23 8 . 31 1 . 18 01 8 . 21 6 . 37 74 2 . 61 1 . 27 52 2 . 61 7 . 38 15 5 . 41 1 . 37 91 9 . 91 7 . 58 25 5 . 71 1 . 47 6

209、2 4 . 21 7 . 98 05 8 . 31 1 . 47 62 1 . 01 8 . 08 05 1 . 51 1 . 76 92 1 . 41 8 . 08 05 1 . 01 2 . 07 52 1 . 32 0 . 68 77 7 . 01 2 . 97 41 9 . 131b +411.76 +23566 =923.9,0 I 2 411.76 +5766.556 +31598.7b =13798.85,0 1 22356b +31598.76 +1802746 =72035.6.1 0 I 2解之得，=-54.5041=4.8424,%=0.2631.故回归方程：V =54.

210、5041+4.8424、+0.263lx,.5. 一家从事市场研究的公司，希望能预测每日出版的报纸在各种不同居民区内的周末发行量，两个独立变量，即总零售额和人口密度被选作自变量. 由=2 5 个居民区组成的随机样本所给出的结果列表如下，求日报周末发行量y 关于总零售额%和人口密度X2的线性回归方程 .【 解】类似于习题4 , 可得正规方程组居民区日报周末发行量为（ X 104 份）总零售额今（ 105 元）人口密度工，（ X 0.001 m2）13.021.747.823.324.151.334.737.476.843.929.466.253.222.651.964.132.065.373.6

211、26.457.484.331.666.894.735.576.4103.525.153.0114.030.866.9123.525.855.9134.030.366.5143.022.245.3154.535.773.6164.130.965.1174.835.575.2183.424.254.6194.333.468.7204.030.064.8214.635.174.7223.929.462.7234.332.567.6243.124.051.3254.433.970.825 h +739.5 h +1576.6 b =98.2,0 1 2 739.5 b +22429.15 b +477

212、09.1 b =2968.58,0 1 21576.6 b +47709.1 6 +101568 6 =6317.95.1 0 I 2解之得，=0.3822,=0.0678,4=0.0244.故回归方程：y =0.3822+0.0678x+0.0244x,.6. 一种合金在某种添加剂的不同浓度之下，各 做 3 次试验，得数据如下:浓度X10.015.020.025.030.0抗压强度V25.229.831.231.729.427.331.132.630.130.828.727.829.732.332.8(1 )作散点图.( 2 ) 以模型产+ 6内 + % 2+苕 M。 。 2)拟合数据，其中

213、必,。2与 x 无关，求回归方程 j) = b + bx+b0 1 2【 解】(1 )散点图如下图.03 04 o5 v(2 )令 xl=%x2=x2,根据表中数据可得下表题 6 图浓度x ( xi)1015202530X,(X,)1002254006254900抗压强度25.229.831.231.729.4y27.331.132.630.130.828.727.829.732.332.8根据上表中数据可得正规方程组15 b +300 6 +6750 b =450.5,0 1 2b o o b +6750 b +165000 b =9155,0 I 26750 b +165000 b +4263750 b =207990.、 0 1 2解之得) = 19.0333,4=1.0086也=-0.0204.故y关于玉与x2的回归方程：=19.0333+1.00864-0.0204.5从而抗压强度y关于浓度x的回归方程：y =19.0333+1 ,0086X-0.0204A-2.