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1、学 海 无 涯,圆锥曲线的焦半径公式及其应用 圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点 的焦半径。利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半 径公式。 1.椭圆的焦半径公式,0 0,a2 b2,2 2 (1)若P(x ,y )为椭圆 x + y =1(ab0)上任意一点，F 、F,1 2,分别为椭圆的左、右焦点，则 PF1 =a+e x 0 , PF2 =a-e x 0 .,0 0,a2 b2,2,2 2 (2) 若P(x ,y )为椭圆 y + x =1(ab0)上任意一点，F 、,F 1 分别为椭圆的上、下焦点，则 PF1 =a+e y 0 , PF2 =a-e y 0 .
2、2.双曲线的焦半径公式,0 0,a2 b2,2 2 (1)若P(x ,y )为双曲线 x - y =1(a0，b0)上任意一点，,F 1 、F 2 分别为双曲线的左、右焦点，则 当点P 在双曲线的左支上时，PF1 =-e x 0 -a, PF2 = -e x 0 +a. 当点P 在双曲线的右支上时， PF1 =e x 0 +a, PF2 = e x 0 -a.,0 0,a2 b2,2 2 (2)若P(x ,y )为双曲线 y - x =1(a0，b0)上任意一点，,F 2 、 F 1 分别为双曲线的上、下焦点，则 当点P 在双曲线的下支上时，PF1 =-e y 0 -a, PF2 = -ey
3、0 +a. 当点P 在双曲线的上支上时， PF1 =ey 0 +a, PF2 = ey 0 -a. 3.抛物线的焦半径公式,学 海 无 涯 (1)若P(x 0 ,y 0 )为抛物线 y =2px(p0)上任意一点，则 PF = 2,0,x + p,2 (2) 若P(x 0 ,y 0 )为抛物线 y =-2px(p0)上任意一点，则 2,0,2,PF = -x + p,(3) 若P(x 0 ,y 0 )为抛物线 x =2py(p0)上任意一点，则 PF = 2,0,y + p,2 (4)若P(x 0 ,y 0 )为抛物线 x =-2py(p0)上任意一点，则 PF = 2,0,-y + p,2
4、下面举例说明上述各公式的应用,16 25,1 2,2 2 例 1求椭圆 x + y =1 上一点 M(2.4,4)与焦点F 、F 的距,离.,1 0,解：易知 a=5,e= 3 且椭圆的焦点在轴上， MF = a+ey =5+ 3,5 5,2 0,5 5 5,4= 37 , MF = a-e y =5- 3 4= 13 。,2 2 例 2.试在椭圆 x + y =1 上求一点 P，使它到左焦点的距离是 25 9 它到右焦点的距离的两倍,解：由,PF1 2 PF2 PF1 PF2 10,，得,1,3,PF 20,PF2 3,10 。,0 0 1 0,0 0,5 3 12,设 P(x , y ),
5、则 PF =a+ex ,即 5+ 4 x = 20 ，解之得 x = 25 ，,所以P( 25 , 12,4,119 ).,学 海 无 涯 2 2 例 3.在双曲线 x - y =1 上求一点 M，使它到左、右两焦点的 16 9 距离 的比为 3：2，并求M 点到两准线的距离。 解：设点 M 的坐标为（x 0 ，y 0 ）, 左、右两焦点分别为 F1 、 F 2 ，则由 MF1 ： MF2 =3：2，知 MF1 MF2 ,所以点 M 在双曲线,16 9,0,MF1 MF2,0,x2 - y2 =1 的右支上， =ex +a, = ex -a，即,0 0 0 0,4,(ex +a):( ex -
6、a)=3:2， 2(ex +a)=3(ex -a),把a=4, e= 5 代,入，得x 0 =16, y 0 = 3 15 ,即M（16， 3 15 ）。故双曲线的准线 a2 16 96 64 方程为x= = ,M 点到两准线的距离分别为 和 。 c 5 5 5 例 4 (1994 年全国高考题) 设F1 、F 2 是双曲线 x2 -y 2 =1(ab0)的左、右两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足 4 F 1 PF 2 =90 ，则F1 PF 2 的面积是 （ ） A1 B 5 C2 D 5 2 解：根据对称性，可设点 P(x 0 ,y 0 )在双曲线的右支上，则,2,PF =e x +a,
7、 = e x -a.由F PF =90 ，得 +,2,PF PF PF,2,1 0 2 0 1 2 1 2 1 2,= FF ，,即(e x 0 +a) +(e x -a) =4c ,e x +a =2 c ,即 e x =2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0,1 2 0,c 2 -a 2 = a 2 +2b 2 ,S= 1 PF PF = 1 ( e 2 x 2 - a 2 )= b 2 =1,故选(A). 2 2,2 2 练习： (XXXX 年全国高考题)双曲线 x - y =1 的左、右两个 9 16 焦点为F 1 、F 2 ，点 P 在双曲线上，若 PF1 PF 2 ，则
8、点 P 到 x 轴 的距离为 .,学 海 无 涯,P,25 9 16,提示：仿照例 2 可求出x 2 = 41 9 ，代入双曲线 x2 - y =1， 2,P,25 5,2 得 y 2 = 16 ,点 P 到 x 轴的距离 d= 16 .,9 4,1 2,2 2 例 5.(XXXX 年全国高考题)椭圆 x + y =1 的焦点为 F 、F ，,点 P 为其上的动点，当F 1 PF 2 为钝角时，点 P 横坐标的取值范 围是 .,3,0 1,解：易知 e= 5 .设点 P 的横坐标为 x ,则 PF =a+e,3,0 0,2 0,3,0,x =3+ 5 x , PF =a-e x =3- 5 x
9、 .由余弦定理，得 cos,1 2,1,2,2 PF PF,PF 2 PF 2 F F 2,2,5,x,1,2(9 5 x2 ),F PF = 1 2 1 2 = 9 =,5x2 9,2(81 5x2 ),1 2,F PF 是钝角，,1 2,-1 cosF PF 0,即-1,9 5x2 9,0,2(81 5x2 ) 5 5,0,解之得- 3 5 0)上纵坐标的平方成等差数列的三 点依次为A(x1 ,y1 )、B(x 2 ,y 2 )、C(x 3 ,y 3 ),则y1 =2px1 ，y 2 =2px 2 ， 2 2 y 3 =2px 3 . 2 由 y 1 +y 3 =2y 2 ,得x 1 +x
10、 3 =2x 2 . 2 2 2,1 3,2 2,1,AF + CF =(x + p )+(x + p )=x +,学 海 无 涯,3 2 2,2,x +p=2x +p=2(x + p )=2 BF ， AF ， BF ， CF 成等差数列,故,选 A. 例 7在抛物线 x 2 =2py(p0)上有一点 A(m,4)，它到该抛物 线的焦点的距离为 5，求此抛物线的方程和点 A 的坐标. 解：根据抛物线的焦半径公式，有 4+ p =5，p=2,故抛 2 物线的方程为 x 2 =4y。 将x=m,y=4 代入 x 2 =4y,得m= 4, 点A 的坐标为（-4，4）或（4，4）.,13 12,1
11、1,2 2 例 8在双曲线 x - y =-1 的一支上有不同的三点 A(x ,y )、,B(x 2 ,6)、C(x 3 ,y 3 )与焦点F(0,5)的距离成等差数列。 (1)求y 1 + y 3 ;(2)求证线段 AC 的垂直平分线经过某一定点， 并求出该定点的坐标。 解(1)：由题设知，A、B、C 在双曲线的上支上，故有 AF =e y 1 - 12 ， BF =6e - 12 ， CF =e y 3 - 12 . AF ， BF ， CF 成等差数列,26e= (e y1 - 12 )+( e y 3 - 12 ),即y 1 + y 3 =12.,2,x,2,13 12,y,2,2,1
12、 1,13 12,x y,证(2)：A、C 在双曲线 - =-1 上， - =-1，,2 2 x3 - y3 =-1，两式相减，得 13 12,y1 y3 = 12 x1 x3 = x1 x3 ，即k,AC,x1 x3 13 y1 y3 13 13,= x1 x3 ,于是线段 AC 的垂直,平分线方程为 y-6=- x1 x3 (x- x1 x3 ),即 13 2,13,x1 x3,x+y- 25 =0,又 2,学 海 无 涯,13,x1 x3,是实数，x=0 且 y= 25 ，故直线经过定点(0, 25 ). 2 2,1 2,a2 b2,2 2 例 9设 F 、F 是椭圆 x + y =1(
13、ab0)的左、右两个焦点，,P 是椭圆上的任意一点，且F 1 PF 2 =2 ，求证：F1 PF 2 的面积 S=b 2 tan . 证明：设点 P 的坐标为（x 0 ,y 0 ），则 PF1 =a+e x 0 , PF2 =a-e x 0 . 由余弦定理，得（a+e x 0 ） +（a-e x 0 ） -2（a+e x 0 ）（a-e x 0 ） 2 2 cos2 =(2c) 2 ,即a 2 + e 2 x 2 -( a 2 - e 2 x 2 ) cos2 =2c 2 ,a 2 (1- 0 0 cos2 )+ e 2 x 2 (1+ cos2 )=2c 2 ,a 2 sin 2 + e 2
14、 x 2 cos 2 =c 2 , 0 0,e 2 x,0,cos2 ,2 = c a sin , S= 1 2 2 2,2,0,PF PF sin2 = 1 （a+e x ）（a-e 2 1 2,1,2,2 2,0 0,x ）sin2 = ( a - e x 2 ),sin2 = 1 ( a 2 - c a sin )sin2 = 1 a cos c a sin 2sin c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos2 2 cos2 os = b 2 tan . 说明：1.题设中的F 1 PF 2 通常称为椭圆的焦点三角形，且 此结论对于焦点在 y 轴上的椭圆也适用。 用同样的方法可得双曲线的焦点三角形的面积公式 S=b 2 cot ,其中F PF =2 （P 为双曲线上的任意一点）. 1 2 利用本例结论很容易求解下面的习题：,1 2,4,x2,2,设F 、F 为椭圆 + y =1 的左、右两个焦点，点 P 在椭圆,上且满足F 1 PF 2 =90 ，则F 1 PF 2 的面积是 （ ）,学 海 无 涯 A1 B. 5 C.2 D. 5 2 请读者不妨一试，答案：选 A. 例 10.过抛物线的焦点F 作不垂直于对称轴的直线交抛物线 与 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线交对称轴于 N，求证： AB 2 NF
