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1、学 海 无 涯 国家实力分析 2011年5月 国家综合实力一、 问题重述随着科技合生活水平的发展，一些高层研究人员要对美、俄、中、英、法、日、德等大国的国家综合实力进行分析判断，运用层次分析法为其提供了一种手段，即在国民收入、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易进行主要数据统计，把专家意见和分析者的客观判断结果直接而有效的结合在一起，确定合适的准则及进行实事求是的对比。一个供参考的层次结构如图7所示1。国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、英、法、日、德等大国 图 1 国家综合实力问题一、根据层次分析法得出准则层的各因素相对重要性的两两判断矩阵，即综合国力的国民收入
2、、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易的成对比较矩阵，并对其进行检验。问题二、用同样的方法构造对象层对准则层中的每一个准则的成对比较矩阵。问题三、计算组合权向量并做组合一致性检验。最终得到综合国力最强的国家，并且可以将其他各国家的综合国力进行排名。 二、 问题分析在针对各个国家综合实力的比较分析判断出综合实力最强的国家，其要考虑的因素有各个方面，如：国民收入、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易等，在比较、判断、评价时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择会起着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。明显在本题中我们用层次分析法来解决国家综
3、合实力的比较。将其分为目标层、准则层、对象层。并利用Matlab2软件进行计算。针对问题一、通过对国民收入（GDP）的数据处理，用把专家意见和分析者的客观判断结果直接而有效的结合在一起，处理得到准则层的各因素相对重要性的两两判断矩阵，即综合国力的国民收入、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易的成对比较矩阵，并求出该成对比较矩阵的特征向量。利用一致性指标、随即一致性指标和一致性比率对该矩阵做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化3后）即为权向量。若检验不通过，要重新进行成对比较，或对已有的矩阵修正。 针对问题二、用问题一中同样的方法构造对象层对准则层中的每一个准则的成对比较矩阵，对于每一个成
4、对比较矩阵计算最大特征根及对应特征向量，并进行一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量。若检验不通过，要重新进行成对比较，或对已有的矩阵修正。针对问题三，计算最对象层对目标层的组合权向量，并在酌情做组合一致性检验。若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行判断。最终得出综合国力最强的国家，并且可以对其他各个国家进行综合国力的排名。三、 模型建立3.1模型准备3.1.1 层次分析法4层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复
5、杂的判断问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济和、能源政策和分配、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。它在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时(譬如多于9个)应进一步分解出子准则层。并且你可以先确定这些准则在你的心目中各占多大比重
6、。接着构造成对比较阵，从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层诸因素，用和19比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量(归一化后)即为权向量：若不通过，需重新构造成对比较阵。计算最下层对目标的组合权向量，并根据公式做组合一致性检验，若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵。运用层次分析法有很多优点，其中最重要的一点就是简单明了。层次分析法不仅适用于存在不确定性和主观信息的情况
7、，还允许以合乎逻辑的方式运用经验、洞察力和直觉。也许层次分析法最大的优点是提出了层次本身，它使得选择的一方能够认真地考虑和衡量指标的相对重要性。 3.1.2建立层次结构模型 将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。在本题中其目标层的目的是选择国家综合实力最强的国家，准则层为国民收入、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易五块内容，最后的方案层是美、俄、中、英、法、日、德七个国家。其层
8、次结构模型如图 1所示。3.1.3构造成对比较矩阵： 图表一中分三层，即目标层、准则层和对象层。从上图中可以看出，建立了梯阶层次结构之后，系统内部各层次之间的关系也就随之确定，采用两两重要性比较的形式建立各准则层指标之间的判断矩阵。比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重aij来描述。设共有 n 个元素参与比较，则称为成对比较矩阵。 成对比较矩阵中aij的取值可参考 Satty 的提议，按下述标度进行赋值。aij在 1-9 及其倒数中间取值。 aij = 1，元素 i 与元素 j 对上一层次因素的重要性相同； aij = 3，元素 i 比元素 j 略
9、重要； aij = 5，元素 i 比元素 j 重要； aij = 7， 元素 i 比元素 j 重要得多； aij = 9，元素 i 比元素 j 的极其重要； aij = 2n，n=1,2,3,4，元素 i 与 j 的重要性介于aij = 2n 1与aij = 2n + 1之间； 当且仅当aji = n。成对比较矩阵的特点：备注：当i=j时候，aij = 13.1.4一致性检验 从理论上分析得到：如果A是完全一致的成对比较矩阵，应该有 但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。 由分析可知，对
10、完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。对成对比较矩阵 的一致性要求，转化为要求： 的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。 检验成对比较矩阵一致性的步骤如下： 计算衡量一个成对比矩阵 （n1 阶方阵）不一致程度的指标CI： （1）其中是矩阵 的最大特征值。 注解: 从有关资料查出检验成对比较矩阵 一致性的标准RI（RI称为平均随机一致性指标）它只与矩阵阶数有关，如下表所示。表格 1平均随机一致性指标R.I对照表矩阵阶数12345R.I.000.520.891.12按下面公式计算成对比较阵 的随机一致性比率 CR： （2）判断方法如下： 当时，判定成对比较阵 具有满意
11、的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否则就调整成对比较矩阵，直到达到满意的一致性为止。 3.2 问题一3.2.1 构造目标层的成对比较矩阵通过对网上收集的数据处理，把专家意见和分析者的客观判断结果直接而有效的结合在一起，处理得到准则层的各因素相对重要性的两两判断矩阵，即综合国力的国民收入、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易的成对比较矩阵。其取值可参考 Satty 的提议得到原始矩阵3.2.2 计算权向量并做一致性检验在层次分析法中用正互反阵（即成对比较阵）的最大特征根的特征向量来作为权向量，用最大特征根定义一致性指标（1）式进行一致性检验。众所周知，用高等代数中的定义计算矩阵的特征根和特
12、征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高的时候；另一方面，因为在前面成对比较矩阵通过近似后得到的矩阵是比较粗超的，对它做精确计算是不必要的，所以完全可以用简便的近似方法计算其特征根和特征向量，在本文中通过和法1来计算的特征之和特征向量。其计算方法如下：（1）首先，将的每一列向量进行归一化处理，得（2）对按行求和可以得到每一行的和组成的一个列向量， 其中， （3）将归一化，那么即为近似特征向量，。（4）最后，计算出特征根的近似值，这个方法实际上是将的列向量归一化后取平均值，作为的特征向量。因为当为一致阵时它的每一列向量都是特征向量，所以，若的不一致性不严重，则取的列向量（归一化后）的平均值作为近似
13、特征向量是合理的。在计算出的特征根和特征向量后根据3.1.4中的一致性检验来检验是否满足一致性。经过附录中的Matlab程序 1 特征值特征向量求解和程序 2 、矩阵的一致性检验得到其运行结果：的特征根为 的特征向量为 那么查表得满足一致性条件，所以的一致性检验通过。3.3 问题二在针对问题二时通过附录 1 综合国力的各类指标及总体得分中的数据进行处理后，得到美、俄、中、英、法、日、德各个国家的国民收入、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易的表格数据。表格 2 各国家的数据统计科技水平军事力量国民收入社会稳定对外贸易美97.4291.8596.5576.1173.38俄56.3384.796
14、652.1467.05中61.4275.6968.7663.469.45英73.7551.2672.8763.6171.77法73.562.2975.4258.6168.12日86.3157.3486.354.7971.93德77.3570.0379.4959.9366.463.3.1 科技水平指标在针对问题二时通过表格 2 各国家的数据统计中的数据，得到各个国家的科技水品的原始表格 3：表格 3 各国科技水平比较科技美俄中英法日德美11.731.591.321.331.131.26俄0.5810.920.760.770.650.73中0.631.0910.830.840.710.79英0.761.311.2011.000.850.95法0.751.301.201.0010.850.95日0.891.531.411.171.1711.12德0.791.371.261.051.050.901此时可以得到原
