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1、06-07-1线性代数试题A一、选择题(每小题4分,共20分)1设四阶矩阵,其中均为4维列向量,且已知行列式,则行列式( )(A) 5; (B) 4; (C) 50; (D) 40。2设为33矩阵,为44矩阵,且,则( )。(A) ; (B) ; (C) ; (D) 1。3设A是n阶方阵,且,则在A的n个行向量中( ).(A)必有r个行向量线性无关(B)任意r个行向量线性无关(C)任意r个行向量都构成极大线性无关组(D)任意一个行向量都可以由其余个行向量线性表示4 若齐次方程组有无穷多解,则非齐次方程组 ( ) 必有无穷多解; 可能有唯一解 必无解; 有解时必有无穷多组解.5设三阶方阵的三个特
2、征值为, , ,对应于的特征向量为 ,对应的特征向量为,记向量,则( ). 是对应于特征值的特征向量. 是对应于特征值 的特征向量. 是对应于特征值的特征向量. 不是的特征向量.二、填空题(每小题4分,共20分)1设维向量组 线性无关, 则向量组 的秩为 .2 已知矩阵与相似,则矩阵的特征值为 。3行列式 .4设,向量满足,则 .5设A为n阶方阵,且,则 .三、(8分) 计算阶行列式四、(8分) 求解下面矩阵方程中的矩阵五、(8分)设向量组线性相关,向量组线性无关,证明(1) 能由线性表示;(2) 不能由线性表示.六、(10分)设,问取何值时,此方程组有惟一解,无解或无穷多解?并且有无穷多解时
3、,求通解。七、(10分)求向量组的秩和它的一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。其中, , , .八、(16分)已知二次型,通过正交变换化作标准形,给出所作的正交变换。06-07-1线性代数试题B一、选择题(每小题4分,共20分)1设 则( ) 2是n阶矩阵,k是非零常数,则(A) ; (B) ; (C) ; (D) 3 若向量组线性无关,线性相关,则( )。(A)必可由线性表示 (B)必不可由线性表示(C)必可由线性表示 (D)必不可由线性表示4齐次线性方程组仅有零解的充要条件是( ).(A)系数矩阵A的行向量组线性无关;(B)系数矩阵A的列向量组线性无关;(C)系数矩阵A的行
4、向量组线性相关;(D)系数矩阵A的列向量组线性相关。5设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵,已知n维列向量是A的属于特征值的特征向量,则矩阵的属于特征值的特征向量是( )(A); (B) ; (C) ; (D) 。二、填空题(每小题4分,共20分)1.若, = .2 已知矩阵与相似,则矩阵的行列式 .3. 设 , 则 = .4向量组,线性相关,则 。5. 设矩阵,其中都是维列向量,若的行列式,的行列式 则的行列式 。三、(8分)计算行列式,其中四、(8分)设A,B为3阶方阵,且满足,若,求B。五、(8分)证明题(1) 证明可逆矩阵的特征值都不为零.(2) 设矩阵及都可逆,证明也可逆,并求其逆
5、矩阵.六、(10分)取何值时,方程组有解,有解时求出通解。七、(10分)设有向量组,求该向量组的秩和它的一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。八、(16分) 用正交变换化二次型 为标准形,给出所用的变换,并指出是否为正定的.06-07-2线性代数试题A一填空题(本题满分12分,每小题3分)1、设0是矩阵的特征值,则_2、已知矩阵,且的秩,则_3、设,则.4、设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则 .二、选择题(本题满分12分,每小题3分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内)1设是4阶矩阵,且的行列式,则中【 】 . 必有一列元素全为
6、0; . 必有两列元素成比例; . 必有一列向量是其余列向量的线性组合; . 任意列向量是其余列向量的线性组合2设 , , , ,则必有【 】 . ; . ; . ; . 3设均为维列向量,为矩阵,下列选项正确的是【 】(A) 若线性相关,则线性相关. (B) 若线性相关,则线性无关. (C) 若线性无关,则线性相关. (D) 若线性无关,则线性无关. 4设是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为,则,线性无关的充分必要条件是【 】(A) . (B) . (C) . (D) .三计算行列式(本题满分6分)四(本题满分12分) 设阶矩阵和满足条件: 证明:是可逆矩阵,其中是阶单位 已知矩
7、阵,求矩阵五(本题满分14分) 当、为何值时,线性方程组有唯一解,无解,有无穷多组解,并求出有无穷多组解时的通解六(本题满分12分)求矩阵 的特征值和特征向量,并回答是否能对角化?为什么?七(本题满分12分) 问取何值时,二次型为正定二次型?八(本题满分8分) 已知三维向量空间的一组基为,求向量在上述基下的坐标九(本题满分12分)设维向量组线性无关,线性相关,试用两种不同的方法证明可由线性表示,且表示法唯一.06-07-2线性代数试题B一填空题(本题满分15分,每小题3分)1、已知是关于的一次多项式,该式中的系数为_2、已知线性方程组有解,则_3、设,则4、设二次型则该二次型的秩为_.5、已知
8、为2维列向量,矩阵,.若行列式,则 .二、选择题(本题满分15分,每小题3分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内)1设是矩阵,而且的行向量线性无关,则【 】 . 的列向量线性无关; . 线性方程组的增广矩阵的行向量线性无关; . 线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关; . 线性方程组有唯一解 2、若阶方阵与的秩相等,则下列成立的是 【 】(A)必存在阶可逆矩阵使得(B)必存在阶可逆矩阵使得(C)必存在阶可逆矩阵使得(D)必有3已知是非齐次线性方程组的两个不同的解向量,是齐次线性方程组的基础解系,为任意常数,则方程组的通解必是【 】(A)
9、 ; (B) ;(C) ; (D) 。4阶矩阵具有个不同特征值是与对角阵相似的【 】 . 充分必要条件; . 充分而非必要条件; . 必要而非充分条件; . 既非充分也非必要条件5、设线性无关, 线性相关,则【 】 线性无关 线性相关 能由线性表示 能由线性表示三计算行列式(本题满分6分)四(本题满分8分) 已知 ,且,其中是3阶单位矩阵,求矩阵五(本题满分12分) 问为何值时,线性方程组有解,并求出解的一般形式六(本题满分8分)已知矩阵 的特征值 求一个正交阵把矩阵角化.七(本题满分10分)若二次型是正定二次型,求的取值范围八(本题满分10分)已知向量组,求(1)向量组的秩;(2)向量组的一
10、个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示出来.九(本题满分10分)设A为三阶矩阵,是线性无关的三维列向量,且满足,.(I) 求矩阵B, 使得;(II)求矩阵A的特征值;十、(本题满分6分)设向量线性无关,且 证明向量组线性无关. 07-08-1线性代数试题A一、 单项选择题(每小题3分,共18分)1、设矩阵,则下列运算可行的是 【 】 , , 2、设为阶方阵,为阶单位矩阵,则下列等式成立的是 【 】 3、设方阵有特征值、,是与 对应的特征向量,是与对应的特征向量,下列判断正确的是 【 】与线性无关 是的特征向量与线性相关 与正交4、设4阶方阵的行列式为2,则的伴随矩阵的行列式为 【 】
11、(A) 2; (B) 4; (C) 8; (D) 15、 【 】6、与为同阶方阵,如果与具有相同的特征值,则 【 】(A) 与相似;(B) 与合同;(C) ; (D) 二、填空题(每小题3分,共18分)7、,则.8、设3阶矩阵,且矩阵行列式,则矩阵行列式 .9、设矩阵,则的非零特征值为_.10、若方阵A有一个特征值是1,则 .11、维向量空间的子空间的维数是_12、设表示由阶单位矩阵第行与第行互换得到的初等矩阵,则E_.三、解答下列各题(每小题6分,共24分)13、计算行列式 14、设矩阵,求行列式。15、解矩阵方程 16、问取何值时,二次型为正定二次型?四、综合题(每小题10分,共40分)1
12、7、设向量组(1)求向量组的秩,并判断其相关性; (2)求向量组的一个极大无关组,并把其余向量用该极大无关组线性表示.18、设线性方程组为,问,各取何值时,线性方程组无解,有唯一解,有无穷多解?在有无穷多解时求出其通解19、已知是矩阵的一个特征向量 1)试求参数、及特征向量所对应的特征值;2)问是否相似于对角阵?说明理由20、已知向量组 () ; () ; () 如果各向量组的秩分别为,证明:向量组() 的秩为4.06-07-1线性代数A卷参考答案一、1(D);2(C);3(A);4(D);5(D)二、1. s;2. 2,5;3. abcd;4.;5.。三、将第二列,第n1列加到第一列得四、设则 ,;五、证(1)因线性无关,所以线性无关。又线性相关,所以可由线性表出。(2)若可由线性表出,则存在使,又