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1、06-07-1线性代数试题A一、选择题（每小题4分，共20分）1设四阶矩阵，其中均为4维列向量，且已知行列式，则行列式（ ）（A） 5； （B） 4； （C） 50； （D） 40。2设为33矩阵，为44矩阵，且，则（ ）。（A） ； （B） ； （C） ； （D） 1。3设A是n阶方阵，且，则在A的n个行向量中（ ）.（A）必有r个行向量线性无关（B）任意r个行向量线性无关（C）任意r个行向量都构成极大线性无关组（D）任意一个行向量都可以由其余个行向量线性表示4 若齐次方程组有无穷多解，则非齐次方程组 ( ) 必有无穷多解； 可能有唯一解 必无解； 有解时必有无穷多组解.5设三阶方阵的三个特
2、征值为, , ，对应于的特征向量为 ，对应的特征向量为，记向量，则( ). 是对应于特征值的特征向量. 是对应于特征值 的特征向量. 是对应于特征值的特征向量. 不是的特征向量.二、填空题（每小题4分，共20分）1设维向量组 线性无关， 则向量组 的秩为 .2 已知矩阵与相似，则矩阵的特征值为 。3行列式 .4设，向量满足，则 .5设A为n阶方阵，且，则 .三、(8分) 计算阶行列式四、(8分) 求解下面矩阵方程中的矩阵五、（8分）设向量组线性相关，向量组线性无关，证明(1) 能由线性表示；(2) 不能由线性表示.六、（10分）设，问取何值时，此方程组有惟一解，无解或无穷多解？并且有无穷多解时
3、，求通解。七、（10分）求向量组的秩和它的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。其中， ， ， .八、（16分）已知二次型，通过正交变换化作标准形，给出所作的正交变换。06-07-1线性代数试题B一、选择题（每小题4分，共20分）1设 则（ ） 2是n阶矩阵，k是非零常数，则（A） ； （B） ； （C） ； （D） 3 若向量组线性无关，线性相关，则（ ）。（A）必可由线性表示 （B）必不可由线性表示（C）必可由线性表示 （D）必不可由线性表示4齐次线性方程组仅有零解的充要条件是（ ）.（A）系数矩阵A的行向量组线性无关；（B）系数矩阵A的列向量组线性无关；（C）系数矩阵A的行
4、向量组线性相关；（D）系数矩阵A的列向量组线性相关。5设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量是A的属于特征值的特征向量，则矩阵的属于特征值的特征向量是（ ）（A）； (B) ； (C) ； (D) 。二、填空题（每小题4分，共20分）1.若， = .2 已知矩阵与相似，则矩阵的行列式 .3. 设 , 则 = .4向量组，线性相关，则 。5. 设矩阵，其中都是维列向量，若的行列式，的行列式 则的行列式 。三、（8分）计算行列式，其中四、（8分）设A，B为3阶方阵，且满足，若，求B。五、（8分）证明题（1） 证明可逆矩阵的特征值都不为零.（2） 设矩阵及都可逆，证明也可逆，并求其逆
5、矩阵.六、（10分）取何值时，方程组有解，有解时求出通解。七、（10分）设有向量组，求该向量组的秩和它的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。八、(16分) 用正交变换化二次型 为标准形，给出所用的变换，并指出是否为正定的.06-07-2线性代数试题A一填空题（本题满分12分，每小题3分）1、设0是矩阵的特征值，则_2、已知矩阵，且的秩，则_3、设，则.4、设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 .二、选择题（本题满分12分，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1设是4阶矩阵，且的行列式，则中【 】 . 必有一列元素全为
6、0； . 必有两列元素成比例； . 必有一列向量是其余列向量的线性组合； . 任意列向量是其余列向量的线性组合2设 ， ， ， ，则必有【 】 . ； . ； . ； . 3设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是【 】(A) 若线性相关，则线性相关. (B) 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关. (D) 若线性无关，则线性无关. 4设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是【 】(A) . (B) . (C) . (D) .三计算行列式（本题满分6分）四（本题满分12分） 设阶矩阵和满足条件： 证明：是可逆矩阵，其中是阶单位 已知矩
7、阵，求矩阵五（本题满分14分） 当、为何值时，线性方程组有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解六（本题满分12分）求矩阵 的特征值和特征向量，并回答是否能对角化？为什么？七（本题满分12分） 问取何值时，二次型为正定二次型？八（本题满分8分） 已知三维向量空间的一组基为，求向量在上述基下的坐标九（本题满分12分）设维向量组线性无关，线性相关，试用两种不同的方法证明可由线性表示，且表示法唯一.06-07-2线性代数试题B一填空题（本题满分15分，每小题3分）1、已知是关于的一次多项式，该式中的系数为_2、已知线性方程组有解，则_3、设，则4、设二次型则该二次型的秩为_.5、已知
8、为2维列向量，矩阵，.若行列式，则 .二、选择题（本题满分15分，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1设是矩阵，而且的行向量线性无关，则【 】 . 的列向量线性无关； . 线性方程组的增广矩阵的行向量线性无关； . 线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关； . 线性方程组有唯一解 2、若阶方阵与的秩相等，则下列成立的是 【 】（A）必存在阶可逆矩阵使得（B）必存在阶可逆矩阵使得（C）必存在阶可逆矩阵使得（D）必有3已知是非齐次线性方程组的两个不同的解向量，是齐次线性方程组的基础解系，为任意常数，则方程组的通解必是【 】(A)
9、 ； (B) ；(C) ； (D) 。4阶矩阵具有个不同特征值是与对角阵相似的【 】 . 充分必要条件； . 充分而非必要条件； . 必要而非充分条件； . 既非充分也非必要条件5、设线性无关， 线性相关，则【 】 线性无关 线性相关 能由线性表示 能由线性表示三计算行列式（本题满分6分）四（本题满分8分） 已知 ，且，其中是3阶单位矩阵，求矩阵五（本题满分12分） 问为何值时，线性方程组有解，并求出解的一般形式六（本题满分8分）已知矩阵 的特征值 求一个正交阵把矩阵角化.七（本题满分10分）若二次型是正定二次型，求的取值范围八（本题满分10分）已知向量组，求（1）向量组的秩；（2）向量组的一
10、个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示出来.九（本题满分10分）设A为三阶矩阵，是线性无关的三维列向量，且满足，.(I) 求矩阵B, 使得；（II）求矩阵A的特征值；十、（本题满分6分）设向量线性无关,且 证明向量组线性无关. 07-08-1线性代数试题A一、 单项选择题（每小题3分，共18分）1、设矩阵，则下列运算可行的是 【 】 , , 2、设为阶方阵，为阶单位矩阵，则下列等式成立的是 【 】 3、设方阵有特征值、，是与 对应的特征向量，是与对应的特征向量，下列判断正确的是 【 】与线性无关 是的特征向量与线性相关 与正交4、设4阶方阵的行列式为2，则的伴随矩阵的行列式为 【 】
11、(A) 2； (B) 4； (C) 8； (D) 15、 【 】6、与为同阶方阵，如果与具有相同的特征值，则 【 】(A) 与相似；(B) 与合同；(C) ； (D) 二、填空题（每小题3分，共18分）7、，则.8、设3阶矩阵，且矩阵行列式，则矩阵行列式 .9、设矩阵，则的非零特征值为_.10、若方阵A有一个特征值是1，则 .11、维向量空间的子空间的维数是_12、设表示由阶单位矩阵第行与第行互换得到的初等矩阵，则E_.三、解答下列各题（每小题6分，共24分）13、计算行列式 14、设矩阵，求行列式。15、解矩阵方程 16、问取何值时，二次型为正定二次型？四、综合题（每小题10分，共40分）1
12、7、设向量组（1）求向量组的秩，并判断其相关性; （2）求向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.18、设线性方程组为，问,各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解19、已知是矩阵的一个特征向量 1）试求参数、及特征向量所对应的特征值；2）问是否相似于对角阵？说明理由20、已知向量组 （） ； （） ； （） 如果各向量组的秩分别为，证明：向量组（） 的秩为4.06-07-1线性代数A卷参考答案一、1（D）；2（C）；3（A）；4（D）；5（D）二、1. s；2. 2，5；3. abcd；4.；5.。三、将第二列，第n1列加到第一列得四、设则 ，；五、证（1）因线性无关，所以线性无关。又线性相关，所以可由线性表出。（2）若可由线性表出，则存在使，又
