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1、精品解析：北京市海淀区2012届高三5月高考二模数学（理）试题解析（教师版）【试题总体说明】本套试卷的题型分布与2011年北京高考题没有区别，延续了北京的8、6、6分布， 6道大题的考点与以往也没有什么不同，分别涉及了三角函数、立体几何、概率、函数大题、解析几何、新题型。1命题覆盖面广，琐碎知识考察力度加大。这套前14道小题，几乎没有高中同一章节的内容，考察内容十分分散。其实，这是新课标的一个重要特点。新课标的理科教材与原大纲相比，内容有增无减，增加了算法、三视图、积分、几何概型、平面几何、参数方程极坐标等许多内容，而这些内容一定要体现在高考试卷中。本套试题的小题1-6,9-13等试题难度较低
2、，考查学生的基础知识掌握情况.2.中档题较少，新颖试题难度较大。这次试题中的7设计比较新颖，考查学生的空间想象能力；8、14题都是综合问题，第8题是以函数为背景考查命题真假，计算量较大；第14题考查抛物线的定义和轨迹问题，考察学生综合运用知识的能力，稍有失误就会失分。3.解答题中规中矩，体现知识的综合性，考查学生的素质和能力.这次解答题的命题点与以往是没有变化的，变化的只是具体的题目。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若，则角是 （A）第一或第二象限角 （B）第二或第三象限角（C）第三或第四象限角 （D）第二或第四象限角
3、【答案】D【解析】（2）已知命题：，则是（A）， （B），（C），（D），【答案】A【解析】，故答案为A.（3）直线（为参数）的倾斜角的大小为（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】将直线方程化为普通方程为.（4）若整数满足 则的最大值是（A） （B） （C） （D）xyABC【答案】B【解析】画出可行域，可知过点B时取得最大值5.（5）已知点是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】根据椭圆的对称性可知，设是关于原点的对称点，也在椭圆上，故显然当和为短轴的两个端点时，取得最小值为2b=2.（6）为了得到函数的图象，可将函数
4、的图象上所有的点的（A）纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 （B）纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度 （C）横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度 （D）横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度【答案】A【解析】故纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度得到函数的图像，答案为A。（7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 （A） （B） （C） （D） 【答案】A【解析】如图所示，该几何体为一个正方体去掉一个四棱
5、锥，O为正方体的中心，其体积为ABPOMNxy（8）点是曲线上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点，点是坐标原点. 给出三个命题：；的周长有最小值；曲线上存在两点，使得为等腰直角三角形其中真命题的个数是 （A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】设点故正确的周长故正确；如图所示，存在点M.N使得为等腰直角三角形，且设,可求得故正确.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）在面积为1的正方形内部随机取一点，则的面积大于等于的概率是_ 【答案】 【解析】的面积大于等于，（10）已知. 若数列是一个单调递增数列，则的最大值是 . 【答案】【解析
6、】由题意可知的最大值应为二项式系数最大的一项，即为中间项（11）在中，若，的面积为，则= . 【答案】 【解析】由三角形面积公式可知，再由余弦定理可知：（12）如图，的直径与弦交于点， ，则_.【答案】 【解析】由割线定理可知，（13）某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，设，则. 请你参考这些信息，推知函数的图象的对称轴是 ；函数的零点的个数是 . （14）曲线是平面内到定点的距离与到定直线的距离之和为3的动点的轨迹. 则曲线与轴交点的坐标是 ；又已知点（为常数），那么的最小值= . 【答案】；11.5x=2Ay=1-1x=-4-1.4B1B2B
7、3B4MN【解析】设点在曲线上，则有令两边平方化简得：如图所示：若P点在B1或B4的位置时，即的最小值为 若P点在B2位置时，即时，根据抛物线定义可知： 的最小值为；若P点在B3位置时，即时，根据抛物线定义可知： 的最小值为；综上可知：=三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）已知公差不为的等差数列的前项和为，且成等比数列. （）求数列的通项公式； （）求数列的前项和公式.式组成，一般采用“倒序相加法”.第二问主抓数列的通项公式采用裂项相消法的方法求解.解：（）设等差数列的公差为. 因为，所以. 3分因为成等比数列，所以. 5分
8、由，可得：. 6分所以. 7分（）由可知：.9分所以. 11分所以.所以数列的前项和为. 13分(16)（本小题满分14分）如图所示，平面，点C在以AB为直径的O上，点E为线段PB的中点，点M在上，且（）求证：平面平面PAC；（）求证：平面PAC平面；（）设二面角的大小为，求的值【命题分析】本题考查面面平行、面面垂直的证明，二面角的求解，考查学生的空间想象能力和计算能力。面面垂直的证明方法：定义法；面面垂直的判断定理；向量法：证明两个平面的法向量垂直.解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技 因为 平面，平
9、面，所以 平面平面PAC. 5分延长交于点.因为 ，所以 .所以 . 12分同理可求平面的一个法向量n. 13分所以 .所以 . 14分 (17)（本小题满分13分）某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A,B两个项目可供选择：(1)投资A项目一年后获得的利润X1(万元)的概率分布列如下表所示：X1111217Pa0.4b且X1的数学期望E(X1)=12；(2)投资B项目一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整有关， B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0 p 1)和1-p. 经专家测算评估:B项
10、目产品价格一年内调整次数X(次)与X2的关系如下表所示： X(次)012X2(万元)4.1211.7620.40（）求a,b的值；（）求X2的分布列；（）若E(X1) E(X2)，则选择投资B项目，求此时 p的取值范围.【命题分析】本题考查随机事件的期望和性质，以及独立事件的概率和期望问题。第一问中所以X2的分布列为:X24.1211.7620.40Pp (1-p)p2+(1-p)2p (1-p) 9分（）由（）可得：. 11分因为E(X1) E(X2)，所以.所以.当选择投资B项目时，的取值范围是.13分 (18)（本小题满分13分）已知椭圆:的右焦点为，且点在椭圆上.（）求椭圆的标准方程；
11、（）已知动直线过点，且与椭圆交于，两点.试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【命题分析】本题考查椭圆的方程和直线与椭圆的相交问题，考查学生利用待定系数法和解和进行转化和探索.当直线的斜率为0时，.当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：，. 由可得：. 显然. 10分 (19)（本小题满分14分）已知函数.（）求的单调区间；（）若，求证：函数只有一个零点，且；（）当时，记函数的零点为，若对任意且都有成立，求实数的最大值.（本题可参考数据：）令，或. 当时，函数与随的变化情况如下表：00极小值极大值所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.3分当时，. 所以，函数的单调递减区间是. 4分当时，函数与随的变化情况如下表：000极小值极大值所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.5分（）证明：当时，由（）知，的极小值为，极大值为.因为，且在上是减函数，所以至多有一个零点. 7分 又因为，所以 函数只有一个零点，且.9分所以 . 13分所以 的最小值为.所以 使得恒成立的的最大值为.
