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1、高一数学不等式知识点总结 一、要点精析 1. 比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它 是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比 较法(简称为求差法 ) 和商值比较法 (简称为求商法 ) 。 (1) 差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a- b0ab;a -b0ab”。其一般步骤为：作差：考察不等式左右 两边构成的差式，将其看作一个整体; 变形：把不等式两边的差进 行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为 一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式 分解是经常使用的变形手段; 判断：根据已知条件与上述变形结果， 判断不等式
2、两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。 应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使 用差值比较法。 (2) 商值比较法的理论依据是：“若a，bR+ ， a/b1ab;a/b 1ab”。其一般步骤为：作商：将左右两端作 商; 变形：化简商式到最简形式; 判断商与 1 的大小关系，就是 判定商大于 1 或小于 1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、 指数式时，一般使用商值比较法。 2. 综合法利用已知事实 (已知条件、重要不等式或已证明的不等 式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理， 最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从 “已知
3、”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2B3 BnB ，即从已知 A逐步推演不等式成立的必要条件从而得 出结论 B。 3. 分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立 的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是 “执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用 分析法证明 AB的逻辑关系为： BB1B1B3 BnA ，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为 真，从而有，这只需证明B2为真，从而又有，这只需证明 A为真，而已知 A为真，故 B必为真。这种证题模式告诉我们，分 析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。 4. 反证
4、法有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难 则反的角度考虑，即要证明不等式AB ，先假设 AB，由题设及其 它性质，推出矛盾，从而肯定AB 。凡涉及到的证明不等式为否定 命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不 可能”等词语时，可以考虑用反证法。 5. 换元法换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的 关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化 原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。 主要有两种换元形式。 (1) 三角代换法：多用于条件不等式的证明， 当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑 三角代换，将两个
5、变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当， 可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据 具体问题，实施的三角代换方法有：若x2+y2=1，可设 x=cos， y=sin ; 若 x2+y21，可设 x=rcos ，y=rsin (0r1); 对 于含有的不等式，由于 |x| 1，可设 x=cos; 若 x+y+z=xyz，由 tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可设 x=taaA，y=tanB，z=tanC， 其中 A+B+C= 。(2) 增量换元法：在对称式 ( 任意交换两个字母，代 数式不变 )和给定字母顺序 ( 如 abc等)的不等式，考虑用增量法
6、进 行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。 如 a+b=1，可以用 a=1-t ，b=t 或 a=1/2+t ，b=1/2-t进行换元。 6. 放缩法放缩法是要证明不等式A 二、难点突破 1. 在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确 定不等号的方向。 3. 分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要 要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件。 如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分 析法只能使用于证明等价命题了。用分析法证明问题时，一定要恰 当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语。 4.
7、反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一 一加以导出矛盾。 5. 在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有 一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果。这是 换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用。 6. 运用放缩法证明不等式时要把握好“放缩”的尺度，即要恰当、 适度，否则将达不到预期的目的，或得出错误的结论。另外，是分 组分别放缩还是单个对应放缩，是部分放缩还是整体放缩，都要根 据不等式的结构特点掌握清楚。 1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。 不等式的基本性质有： (1) 对称性： abb (2) 传递性：若 ab，bc，则 ac;
8、(3) 可加性： aba+cb+c; (4) 可乘性： ab，当 c0 时，acbc;当 cb，cd，则 a+cb+d; (2) 异向相减：， . (3) 正数同向相乘：若ab0，cd0，则 acbd。 (4) 乘方法则：若 ab0，nN+ ，则 ; (5) 开方法则：若 ab0，nN+ ，则 ; (6) 倒数法则：若 ab0，ab，则。 2、基本不等式 定理：如果，那么 (当且仅当 a=b 时取“=”号) 推论：如果，那么 (当且仅当 a=b 时取“=”号) 算术平均数 ; 几何平均数 ; 推广：若，则 当且仅当 a=b 时取“=”号; 3、绝对值不等式 |x|0)的解集为： x|-a |x
9、|a(a0)的解集为： x|xa 或 x-a 。 棱柱： (1) 概念：如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两 个面的交线互相平行。这样的多面体叫做棱柱。棱柱中两个互相平 行的面叫棱柱的底面，其余各个面都叫棱柱的侧面，两个侧棱的公 共边叫做棱柱的侧棱，棱柱中两个底面间的距离叫棱柱的高。 (2) 分类：按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱和直棱柱。 侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱 柱; 按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边 形、分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱， 棱锥： (1) 概念：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各个面是有 一个公共顶点的
10、三角形，那么这个多面体叫棱锥。在棱锥中有公共 顶点的各三角形叫做棱锥的侧面，棱锥中这个多边形叫做棱锥的底 面，棱锥中相邻两个侧面的交线叫做棱锥的侧棱，棱锥中各侧棱的 公共顶点叫棱锥的顶点。棱锥顶点到底面的距离叫棱锥的高，过棱 锥不相邻的两条侧棱的截面叫棱锥的对角面。 (2) 分类：按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为：三棱锥、 四棱锥、五棱锥 (3) 正棱锥的概念：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在 底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。 棱台： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分 叫做棱台，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。 圆柱的概念： 以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所 围成的几何体。 旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的 底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面; 无论旋转到什 么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱侧面的母线。 圆锥的概念： 以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围 成的几何体 ; 圆台的概念： 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分; 猜你喜欢：
