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1、 1 一元三次方程() 32 00axbxcxda+= 的解法 先把方程0 23 =+dcxbxax化为0 3 =+qpxx的形式: 令 a b yx 3 =,则原式变成 原式0) 3 () 3 () 3 ( 23 =+d a b yc a b yb a b ya 0) 3 () 93 2 () 273 ( 2 2 2 3 3 2 22 3 =+d a b yc a b a by yb a b a yb a by ya 0 393 2 273 2 32 2 2 32 23 =+d a bc cy a b y a b by a b y a b byay 0) 327 2 () 3 ( 2 32
2、3 =+ a bc a b dy a b cay 0) 327 2 () 3 ( 23 3 2 2 3 =+ a bc a b a d y a b a c y 如此一来二次项就不見了,化成0 3 =+qpyy,其中 2 2 3a b a c p=, 23 3 327 2 a bc a b a d q+=。 对方程0 3 =+qpyy直接利用卡尔丹诺公式: 2323 33 1 223223 qqpqqp y =+ 2323 2 33 2 223223 qqpqqp y =+ 2323 2 33 3 223223 qqpqqp y = + 其中 13 2 i + =。 23 23 qp =+ 是根
3、的判别式:0 时、有一个实根两个共轭虚根; 0 时、有三个实根,且其中至少有两个根相等; 0 时、有三不等实根。 2 三次方程求根公式的推导过程 0 3 =+qpyy (1) 不妨设 p、q 均不为零,令yuv=+ (2) 代入(1)得,0)3)( 33 =+qpuvvuvu (3) 选择uv、,使得 33 3 p uv uvq = += 即 3 33 33 27 p u v uvq = += (4) 故 3 u、 3 v关于 t 的一元二次方程0 27 3 2 =+ p qtt的两个根。 设, 23 23 qp D =+ , 2 q T=, 又记 3 u的一个立方根为 1 u ,则另两个立方
4、根为 112 uu= , 123 uu= ,其中 1 、 2 为 12 1313 ; 22 ii + = 以下分三种情形讨论: 1)若0,即0D时,则 3 u、 3 v均为实数,可求得DTu+= 3 ,DTu= 3 。 取 3 1 DTu+=, 3 1 DTv=, 在 ji vuy+=,()3 , 2 , 1,=ji组成的九个数中,有且只有下面三组满足 3 p uv= , 即 1 u、 1 v; 2 u、 2 v; 3 u、 3 v,也就是满足 32 1 1223 3 3 p u vu vu vTD= , 于是方程(1)的三个根为 111 yuv=+ , 21 12 1 ywuw v=+, 2
5、211 1 yw uwv=+ , 这时方程(1)有一个实根 1 y ,两个共轭虚根 2 y , 3 y ,其表达式就是前面给出的“卡 丹公式”的形式,这里的根式D及 3 TD都是在实数意义下的。 2)若0 =,即0D =时,可求得 33 uvT=。取 3 11 uvT=, 故可求得 3 3 111 24yuvTq=+= ; () 3 3 231 12 112 4 2 q yywuw vT ww =+=+= 方程(1)有三个实根,其中至少有两个相等的实根。 3)若0,即 D0 时,因为 23 0 23 qp + ,故0p , 则 3 u、 3 v均为虚数,求出 3 u、 3 v,并用三角式表示,
6、就有 3 uTiD=+, 3 vTiD=, 其中 T,D都是实数, 3 故虚数 3 u、 3 v模均为 () 23 2 332 23 qp uvTDD =+= 所以 () 3 3 33 3 2 cossin 39 33 q pppD uii pp =+= + 同理() 3 3 cossin 9 pp vi = , 其中 2 33 arccos 2 qp p = 且0 取 1 3 cossin 333 p ui = + ; 1 3 cossin 333 p vi = 则 21 1 322 cossincossin 33333 p uwuii =+ 322 cossin 333 p i + =+ 22 1 344 cossin 333 p vw vi + = 32 1 344 cossin 333 p uw ui + =+ 31 1 322 cossin 333 p vwvi + = 于是方程(1)得三个实根为 111 yuv=+, 222 yuv=+, 333 yuv=+ ,故有 具体表示出来就为: 1 23 cos 33 p y = ; 2 3 cos3sin 333 p y = + ; 3 3 cos3sin 333 p y = ; 2 33 arccos 2 qp p = 且0